微分多様体

　R-加群 V の任意の元 v に対し、V のp形式 w から次式で定義される i_vw のことを w の v による内部積といいます：

(6-1)  ivw(v1 ,¼, vp-1) = w(v, v1 ,¼, vp-1)         ( p ³ 1 )

　定義から明らかなように、i_vw はp-1形式です。また、0形式 f に対しては

(6-2)  iv f = 0

と置きます。さて、明らかに

(6-3)  iv(w + w' ) = ivw + ivw'

(6-4)  iv( fw) = f ivw

(6-5)  iu+vw = iuw + ivw

(6-6)  if vw = f ivw

が成り立っています。また、任意のp+2形式 w と u ,vÎV に対して、w の反対称性から

(6-7)  iu(ivw)(v1 ,¼, vp ) = ivw(u ,v1 ,¼, vp ) = w(v, u, v1 ,¼, vp ) = - w(u, v, v1 ,¼, vp ) = - iuw(v, v1 ,¼, vp ) = - iv(iuw)(v1 ,¼, vp )

となるので

(6-8)  iu ° iv = - iv ° iu

　特に u = v とすれば、

(6-9)  iv ° iv = 0

が成り立つことがわかります。また、

(6-10)  w(v1 ,¼, vp ) = ivp¼iv1w

という公式も有用です。さて、p形式 a とq形式 b に対して、(4-4) と a, b の反対称性により、

(6-11)  iv(a ^ b)(v1 ,¼, vp+q-1)	= (a ^ b)(v, v1 ,¼, vp+q-1)
	= 1 —— p!q!  p å i=1  (-1)i-1     å (-)s sÎSp+q-1 a(vs(1 ,¼, i-1), v, vs(i ,¼, p-1)) b(vs(p ,¼, p+q-1))
	+ 1 —— p!q!  q å i=1  (-1)p+i-1     å (-)s sÎSp+q-1 a(vs(1 ,¼, p)) b(vs(p+1 ,¼, p+i-1), v, vs(p+i ,¼, p+q-1))
	= 1 ———– (p-1)!q!     å (-)s sÎSp+q-1 a(v, vs(1 ,¼, p-1)) b(vs(p ,¼, p+q-1)) + (-1)p ———–  p!(q-1)!     å (-)s sÎSp+q-1 a(vs(1 ,¼, p)) b(v, vs(p+1 ,¼, p+q-1))
	= 1 ———– (p-1)!q!     å (-)s sÎSp+q-1 iva(vs(1 ,¼, p-1)) b(vs(p ,¼, p+q-1)) + (-1)p ———–  p!(q-1)!     å (-)s sÎSp+q-1 a(vs(1 ,¼, p)) ivb(vs(p+1 ,¼, p+q-1))
	= iva ^ b(v1 ,¼, vp+q-1) + (-1)p a ^ ivb(v1 ,¼, vp+q-1)

　すなわち

(6-12)  iv(a ^ b) = iva ^ b + (-1)p a ^ ivb

が得られます。さて、

(6-13)  ivεi = εi(v) = vi

ですから、これと (6-2) により、標準表示 (4-25) に対して (6-12) を繰り返し適用すれば

(6-14)  ivw =

å k(1)<¼<k(p)

wk

p å i=1

(-1)i-1 vk(i)εk(1) ^ ¼ ^ εk(i-1) ^ εk(i+1) ^ ¼ ^ εk(p)

が得られます。
　最後にE(M)-加群 X(M) 上の内部積 i_A と、前節で考察したLie微分 L_A との間の関係式を求めてみましょう。M のp形式 w に対し、(6-1),(5-7),(5-1) により、

(6-15)  LA(iBw)(D1 ,¼, Dp-1)	= A{iBw(D1 ,¼, Dp-1)} - p-1 å i=1 iBw(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp-1)
	= A{w(B, D1 ,¼, Dp-1)} - p-1 å i=1 w(B, D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp-1)
	= LAw(B, D1 ,¼, Dp-1) + w( LAB , D1 ,¼, Dp-1)
	= LAw(B, D1 ,¼, Dp-1) + w([A, B], D1 ,¼, Dp-1)
	= iB(LAw)(D1 ,¼, Dp-1) + i[A, B]w(D1 ,¼, Dp-1)

ですから、

(6-16)  [LA, iB] = i[A, B]

が成り立ち、特に A = B とすれば、i_{[A, A]} = 0 なので

(6-17)  LA ° iA = iA ° LA

が得られます。