微分多様体

　本節では、M の任意のr形式 w に対してr+1形式 dw を与える E(M)-線形な演算子 d で、関係式

(7-1)  LD = iD ° d + d ° iD

を満たすものが唯一つ存在することを証明しましょう。
　(7-1) の条件は、r形式 w に i_{D °} d = L_D - d _° i_D を施して、引数に D₁ ,¼, D_r を代入すれば、

(7-2)  dw(D, D1 ,¼, Dr) = LDw(D1 ,¼, Dr) - d(iDw)(D1 ,¼, Dr)

という形に書きなおすことができます。右辺の i_Dw はr-1形式ですから、これは dw を w の次数 r について 0 から順に定義していく式とみなすことができます。そこで r = 0 から順に、(7-2) で定義される dw が r+1形式になっていることを帰納法で確かめていきましょう。さらにその際、p形式 a とq形式 b（ただし p+q=r）について

(7-3)  d(a ^ b) = da ^ b + (-1)p a ^ db

が成り立つことも同時に証明していくことにします。
　まず p = 0 の場合は、w は0形式、すなわち fÎE(M) ですが、(6-2) により i_D f = 0 ですから、(7-2) により、

(7-4)  df(D) = LD f = Df

でなければなりません。この (7-4) で定義された df が1形式であることは明らかです。さらに、f, gÎE(M) に対し、(1-12) により、

(7-5)  d( fg)(D) = D( fg) = fDg + gDf = fdg(D) + gdf(D)

ですから

(7-6)  d( fg) = fdg + gdf

となって、(7-3) が成り立っていることがわかります。また、M 全体で定義された局所座標 x がある場合は、(1-29) により、

(7-7)  df(D) = Df =

n å i=1

¶f —–  ¶xi

Dxi =

n å i=1

¶f —–  ¶xi

dxi(D)

　すなわち

(7-8)  df =

n å i=1

¶f —–  ¶xi

dxi

が成り立っていることがわかります。
　さて、(7-4) の df を使うと、(5-13) は、T がp形式 w のとき、次のように書き直すことができます。

(7-9)  LfAw(D1 ,¼, p )	= f LAw(D1 ,¼, p ) +  p å i=1 (Di f ) w(D1 ,¼, i-1 , A, Di+1 ,¼, p )
	= f LAw(D1 ,¼, p ) +  p å i=1 (-1)i-1 df(Di) w(A, D1 ,¼, i-1 , i+1 ,¼, p )
	= f LAw(D1 ,¼, p ) +  p å i=1 (-1)i-1 df(Di) iAw(D1 ,¼, i-1 , i+1 ,¼, p )
	= f LAw(D1 ,¼, p ) + 1 ——— (p-1)! å sÎSp (-)s df(Ds(1)) iAw(Ds(2 ,¼, p))
	= f LAw(D1 ,¼, p ) + df ^ iAw(D1 ,¼, p )

　これは、

(7-10)  LfAw = f LAw + df ^ iAw

を意味しています。

　さて、r > 0 として (7-2) の帰納法を続けることにします。(7-2) の右辺によって左辺を定義すると、まず dw が D₁ ,¼, D_r について E(M)-多重線形かつ反対称であることは明らかです。従って、dw がE(M)-多重線形かつ反対称であることを示すには、引数 D についてE(M)-線形であることと、D = D₁ のとき 0 になることを確かめれば十分です。
　帰納法の仮定により、0形式 f と r-1形式 i_Dw については (7-3) が成り立つと仮定しているので、

(7-11)  d( fiDw) = fd(iDw) + df ^ iDw

が成り立ちます。
　今後、表記の簡便のため、内部積の記号を、(6-1) 式における w がまだp形式であるかどうか不明な段階でも用いることにします。与えられた p形式 w に対し、(7-1) の D のところに fD を代入し、(7-10),(6-6),(7-11) を使うと、

(7-12)  ifDdw = LfDw - d(ifDw) = f LDw + df ^ iDw - d( fiDw) = f LDw - fd(iDw) = fiDdw

　これは、引数に (D₁ ,¼, D_r) を代入すれば

(7-13)  dw( fD, D1 ,¼, Dr) = fdw(D, D1 ,¼, Dr)

を意味しますから、(7-2) が D についてE(M)-線形であることがわかりました。また、(7-1),(6-17),(6-9) により、

(7-14)  iDiDdw = iDLDw - iDdiDw = LDiDw - iDdiDw = diDiDw = 0

　これは、引数に (D₂ ,¼, D_r) を代入すれば

(7-15)  dw(D, D, D2 ,¼, Dr) = 0

を意味しますから、以上で dw がp+1形式であることが証明されました。これでさらに (7-3) が証明できれば帰納法が完成します。r形式 w = a ^ b に対し、(7-1),(6-12),(5-18) により

(7-16)  iDd(a ^ b)	= LD(a ^ b) - diD(a ^ b)
	= LDa ^ b + a ^ LDb - d{iDa ^ b + (-1)p a ^ iDb}
	= LDa ^ b + a ^ LDb - {diDa ^ b + (-1)p-1iDa ^ db} - (-1)p {da ^ iDb + (-1)p a ^ diDb}
	= {LDa- diDa}^ b + a ^ {LDb - diDb} - (-1)p-1iDa ^ db - (-1)p da ^ iDb
	= iDda ^ b + a ^ iDdb + (-1)p+1da ^ iDb + (-1)p iDa ^ db
	= iD(da ^ b) + (-1)p iD(a ^ db)

　ただし i_Da ^ b と a ^ i_Db はr-1形式なので、それらに対して３番目の等号で帰納法の仮定を用いました。(7-16) の引数に (D₁ ,¼, D_r) を代入すれば

(7-17)  d(a ^ b)(D, D1 ,¼, Dr) = da ^ b(D, D1 ,¼, Dr) + (-1)p a ^ db(D, D1 ,¼, Dr)

となって、(7-3) も証明され、帰納法が完成しました。こうして定義された d を、微分形式の外微分といいます。
　次に、M 上のp形式に対する外微分 d とLie微分 L_A に関する恒等式：

(7-18)  d ° LA = LA ° d

(7-19)  d ° d = 0

を p に関する帰納法で同時に証明してみましょう。p-1形式まで正しいと仮定し、M の p形式 w を取ります。i_Dw はp-1形式なので、帰納法の仮定により、これに対しては (7-18) が成り立つことや、(7-1),(6-16),(5-23) を使えば、

(7-20)  iDdLAw	= {LD - diD}LAw
	= LDLAw - diDLAw
	= LDLAw + d{i[A, D]w - LAiDw}
	= {LALD - [LA, LD]}w + di[A, D]w - dLAiDw
	= LALDw - {L[A, D] - di[A, D]}w - dLA(iDw)
	= LALDw - i[A, D]dw - LAd(iDw)
	= LA{LD - diD}w - i[A, D]dw
	= LAiDdw - i[A, D]dw
	= iDLAdw

　両辺の引数に (D₁ ,¼, D_p ) を代入すれば

(7-21)  dLAw(D, D1 ,¼, Dp) = LAdw(D, D1 ,¼, Dp)

となって、p形式に対して (7-18) が得られました。また、(7-19) に関しては、今証明した (7-18) と (7-1)、及び帰納法の仮定により i_Dw に対して (7-19) が成立することを用いれば、

(7-22)  iDddw = {LD - diD}dw = LDdw - diDdw = dLDw - diDdw = d{LD - iDd}w = ddiDw = 0

　両辺の引数に (D₁ ,¼, D_p+1) を代入すれば

(7-23)  ddw(D, D1 ,¼, Dp+1) = 0

となって (7-19) が証明され、帰納法が完成しました。

　さてここで、p形式 wの外微分 dw の具体的な表示式を求めてみましょう。表記の簡便のために、i_Di を i_i 、L_Di を L_i と略記することにします。(7-1) により

(7-24)  iid + dii = Li       ( i = 0 ,¼, p )

　ただし写像の合成記号は省略しました。両辺に、左から i_pi_p-1¼i_i+1 を施し、右から i_i-1¼i₁i₀ を施せば、

(7-25)  ip¼iidii-1¼i0 + ip¼ii+1dii¼i0 = ip¼ii+1Liii-1¼i0

　ただし i = p のときの左辺第２項は di_pi_p-1¼i₀w となりますが、i_p-1¼i₀w はp形式にp個の内部積を施しているので0形式であり、そこに更に i_p を施しているため 0 になります。したがって、(7-25) の両辺に (-1)ⁱ を乗じて i = 0 ,¼, p について辺々加えると、

(7-26)  ip¼i0d =

p å i=0

(-1)iip¼ii+1Liii-1¼i0

　また、i_{[Di , Dj]} を i_{[i, j]} と略記すれば、(6-16) により

(7-27)  Liij - ijLi = i[i, j]       ( 0 £ i < j £ p )

　両辺に、左から i_pi_p-1¼i_j+1 、右から i_j-1i_j-2¼i_i+1 を施すと、

(7-28)  ip¼ij+1Liij¼ii+1 - ip¼ijLiij-1¼ii+1 = ip¼ij+1i[i, j]ij-1¼ii+1

　これを j = i+1 ,¼, p について辺々加えると、

(7-29)  Liip¼ii+1 - ip¼ii+1Li =

p å j=i+1

ip¼ij+1i[i, j]ij-1¼ii+1

　あるいは

(7-30)  ip¼ii+1Li = Liip¼ii+1 -

p å j=i+1

ip¼ij+1i[i, j]ij-1¼ii+1

　この両辺に、更に右から i_i-1¼i₀ を施せば、

(7-31)  ip¼ii+1Liii-1¼i0

= Liip¼ii+1ii-1¼i0 -

p å j=i+1

ip¼ij+1i[i, j]ij-1¼ii+1ii-1¼i0 = Liip¼ii+1ii-1¼i0 +

p å j=i+1

(-1)jip¼ij+1ij-1¼ii+1ii-1¼i0i[i, j]

　ただし最後の等号で (6-8) を繰り返し使いました。これを (7-26) に代入すれば、

(7-32)  ip¼i0d =

p å i=0

(-1)iLiip¼ii+1ii-1¼i0 +

å i< j

(-1)i+jip¼ij+1ij-1¼ii+1ii-1¼i0i[i, j]

　これをp形式 w に施し、i_p¼i_i+1i_i-1¼i₀w は0形式なので、(5-8) により

(7-33)  Liip¼ii+1ii-1¼i0w = Di(ip¼ii+1ii-1¼i0w)

となることに注意して (6-10) を用いると、次のような dw の表示式が得られます。

(7-34)  dw(D0 ,¼, Dp ) =

p å i=0

(-1)i Di{w(D0 ,¼,

Ù Di

,¼, Dp )} +

å i< j

(-1)i+j w([Di , Dj], D0 ,¼,

Ù Di

,¼,

Ù Dj

,¼, Dp )

　ただし、記号 Ù は、当該項だけ除くことを意味します。

　ここでいくつかの公式を導いておきましょう。(7-4) により、任意の fÎE(M) と vÎT_sM に対し、DÎX(M) を v = D_s となるように取れば、

(7-35)  (df )s(v) = (df )s(Ds) = df (D)(s) = Df(s) = Ds f = vf

　また、DÎX(M) ，fÎE(M) に対して、

(7-36)  iDdf = df(D) = Df

(7-37)  LDdf = dLDf = dDf

　さて、x が M 全域で定義された局所座標ならば、(7-4) と (1-19) により、dxⁱ は ¶/¶xⁱ の双対基底ですから、M のp形式 w に対する標準表示 (4-25) は、

(7-38)  w =

å k(1)<¼<k(p)

wk dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(p) =

å i<j<¼<k

wij¼k dxi ^ dxj ^ ¼ ^ dxk

となるので、両辺に i_D を施して (6-12) を繰り返し用い、(7-36) を用いれば、標準表示の内部積は

(7-39)  iDw =

å k(1)<¼<k(p)

wk

p å i=1

(-1)i-1 Dk(i) dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(i-1) ^ dxk(i+1) ^ ¼ ^ dxk(p)

となります。また、(7-38) の両辺に d を施し、(7-19) により ddxⁱ = 0 であることと (7-3) を繰り返し用いれば、標準表示の外微分は

(7-40)  dw =

å i<j<¼<k

dwij¼k ^ dxi ^ dxj ^ ¼ ^ dxk

となります。最後に、p階共変テンソル場 T の標準表示は、(4-23) と εⁱ = dxⁱ により

(7-41)  T =

å kÎK

Tk dxk(1) Ä ¼ Ä dxk(p) =

n å i, j ,¼, k=1

Tij¼k dxi Ä dxj Ä ¼ Ä dxk

　そこでこの両辺に L_D を施せば、(7-18) と (5-8) により、L_DT_k = DT_k 及び

(7-42)  LDdxi = dLDxi = dDxi = dDi

が成り立ちますから、(5-15) を繰り返し用いれば、p階共変テンソルのLie微分の標準表示として

(7-43)  LDT =

å kÎK

DTk dxk(1) Ä ¼ Ä dxk(p) +

å kÎK

Tk

p å i=1

dxk(1) Ä ¼ Ä dxk(i-1) Ä dDk(i) Ä dxk(i+1) Ä ¼ Ä dxk(p)

が得られます。同様に、T がp形式 w の場合は、(5-15) のかわりに (5-18) を繰り返し用いることにより、次の結果が得られます。

(7-44)  LDw =

å k(1)<¼<k(p)

Dwk dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(p) +

å k(1)<¼<k(p)

wk

p å i=1

dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(i-1) ^ dDk(i) ^ dxk(i+1) ^ ¼ ^ dxk(p)