微分多様体

(9-1)  y*f = f ° y       (  fÎE(M) )

で定義したとき、y*(E(M)) Ì E(N) 、いいかえると、fÎE(M) Þ f _° yÎE(N) が成り立つことをいいます。例えば x を U で定義された N の局所座標とすると、x は多様体 U から多様体 Rⁿ への滑らかな写像です。
　さらに M から別の多様体 L への滑らかな写像 j : M ® L が与えられたとすると、

(9-2)  (j ° y)*f = f ° (j ° y) = ( f ° j) ° y = (j*f ) ° y = y*(j*f )

ですから、

(9-3)  (j ° y)* = y* ° j*

が成り立ちます。また、sÎN に対し、T_sN の元に対する写像 y_* を

(9-4)  y*v = v ° y*       ( vÎTsN )

で定義します。これは言いかえると、fÎE(M) に対して

(9-5)  (y*v) f = v(y*f )= v( f ° y)

と置くことを意味します。f, gÎE(M) に対し、

(9-6)  (y*v)( fg) = v(( fg) ° y)) = v(( f ° y)(g ° y)) = ( f ° y)(s) v(g ° y) + (g ° y)(s) v( f ° y) = f(y(s))(y*v)g + g(y(s))(y*v) f

が成り立ちますから、y_*v Î T_y(s)M です。よって、y_* は T_sN を T_y(s)M に写す線形写像です。また、

(9-7)  (j ° y)*v = v ° (j ° y)* = v ° (y* ° j*) = (v ° y*) ° j* = (y*v) ° j* = j*(y*v)

ですから、

(9-8)  (j ° y)* = j* ° y*

が成り立ちます。さてここで、

(9-9)  v º

æ è

¶  —–  ¶xi

ö ø

s

ΠTsN

に対する y_*v を計算してみましょう。y を y(s) の近傍で定義された M の局所座標とすると、

(9-10)  (y*v)y j = v( y j ° y) =

¶  —– ¶xi

( y j ° y)(s) = ¶i( y j ° y ° x-1)(x(s)) = ¶i f j(x(s))

　ただし

(9-11)  f = ( f ¹ ,¼, f m)† = y ° y ° x-1

と置きました。ここで (1-26) を y_*v に適用し、(9-10) を用いれば、

(9-12)  y*

æ è

¶  —–  ¶xi

ö ø

s

=

m å j=1

(y*v)y j

æ è

¶  —–  ¶y j

ö ø

y(s)

=

m å j=1

¶i f j(x(s))

æ è

¶  —–  ¶y j

ö ø

y(s)

が得られ、y_* が全単射であることと行列 Ñf(x(s)) が正則であることは同値であることがわかります。このとき、前節の逆関数定理により、f(x(s))ÎRⁿ の近傍で定義された f のなめらかな逆関数 f ^-1 が存在し、(9-11) により、y は局所的に逆関数：

(9-13)  y-1 = x-1 ° f -1 ° y

を持ちます。一般に、y : N ® M が滑らかな逆写像 y^-1 : M ® N を持つとき微分同型といいますが、以上の考察から、全単射な y について、微分同型であることと y_* が至るところ全単射であることは同値であることがわかりました。

　次に、y(s) のp階共変テンソル τ の y による引き戻し y*τ を次のように定義します。

(9-14)  (y*τ)(v1 ,¼, vp ) = τ(y*v1 ,¼, y*vp )       ( viÎTs )

　明らかに y*τ は s のp階共変テンソルです。

(9-15)  ((j ° y)*τ)(v1 ,¼, vp ) = τ((j ° y)*v1 ,¼, (j ° y)*vp ) = τ(j*(y*v1) ,¼, j*(y*vp )) = (j*τ)(y*v1 ,¼, y*vp ) = y*(j*τ)(v1 ,¼, vp )

ですから、共変テンソルに対する演算子としても

(9-16)  (j ° y)* = y* ° j*

が成り立っています。また、p階共変テンソル σ とq階共変テンソル τ のテンソル積について、明らかに

(9-17)  y*(σÄτ) = y*σÄy*τ

が成り立っています。また、置換 r に対して

(9-18)  y*(τr ) = (y*τ)r

ですから、(4-4),(9-17),(9-18) により、

(9-19)  y*(a ^ b) = y*a ^ y*b

が成り立つことがわかります。また、(6-1),(9-14) により、

(9-20)  ivy*w(v1 ,¼, vp-1) = y*w(v, v1 ,¼, vp-1) = w(y*v, y*v1 ,¼, y*vp-1) = iy*vw(y*v1 ,¼, y*vp-1) = y*iy*vw(v1 ,¼, vp-1)

ですから

(9-21)  iv ° y* = y* ° iy*v

が成り立ちます。

　さて、M のp階共変テンソル場 T に対して N のp階共変テンソル場 y*T を、次の関係式が成り立つように定義します：

(9-22)  (y*T )s = y*(Ty(s))       ( sÎN )

　これは、y*T を

(9-23)  (y*T )(D1 ,¼, Dp )(s) = (y*T )s((D1)s ,¼, (Dp )s ) = y*(Ty(s))((D1)s ,¼, (Dp )s ) = Ty(s)(y*(D1)s ,¼, y*(Dp )s )       ( DiÎX(N) )

で定義することを意味します。y*T の E(N)-線形性は明らかですから、この定義が意味を持つことを示すには、(9-23) の左辺が滑らかであることを示せば十分です。
　まず T = df のときは、(9-22) により

(9-24)  (y*df )s(v) = (y*(df )y(s))(v) = (df )y(s)(y*v) = (y*v) f = v(y*f ) = d(y*f )s(v)

ただし３番目と５番目の等号で (7-35) を使いました。したがって、

(9-25)  y*df = d(y*f ) = d( f ° y)       (  fÎE(M) )

が成り立ち、この場合、確かに y*df は M の1形式になることがわかりました。一般の場合を証明するには、滑らかさは局所的な性質ですから M 全体で定義された局所座標 y が存在する場合を考えればよく、その場合は (7-41) による標準表示：

(9-26)  T =

m å i,¼, j=1

Ti ,¼, j dy i Ä ¼ Ä dy j

を使います。

(9-27)  (y*T )s	= y*(Ty(s))
	= y* ì í î  m å i,¼, j=1 Ti,¼, j(y(s))(dy i)y(s) Ä ¼ Ä (dy j)y(s) ü ý þ
	=  m å i,¼, j=1 Ti,¼, j(y(s))y*(dy i)y(s) Ä ¼ Ä y*(dy j)y(s)
	=  m å i,¼, j=1 y*Ti,¼, j(s) d(y*y i)s Ä ¼ Ä d(y*y j)s

　ただし４番目の等号で (9-24) を使いました。これは

(9-28)  y*T =

m å i,¼, j=1

y*Ti,¼, j d(y*y i) Ä ¼ Ä d(y*y j)

を意味しているので、確かに y*T はp階の共変テンソルであることがわかります。T がp形式 w のときは、標準表示に (7-38) を用い、(9-25) を用いれば、

(9-29)  y*w =

å k(1)<¼<k(p)

y*wk d(y*y k(1)) ^ ¼ ^ d(y*y k(p))

　また、x を N の局所座標とすると、(1-17),(9-11) により

(9-30)  d(y*y j)

æ è

¶  —–  ¶xi

ö ø

=

¶  —–  ¶xi

(y*y j) = ¶i f j ° x

　したがって、(9-28),(9-29) の座標系 x による各成分は

(9-31)  (y*T )k,¼, l =

m å i,¼, j=1

y*Ti,¼, j (¶k f i ° x) ¼ (¶l f j ° x)

(9-32)  (y*w)i¼j =

å k(1)<¼<k(p)

å sÎSp

(-)s(wk ° y)(¶i f k(s(1)) ° x) ¼ (¶j f k(s(p)) ° x)

　特に p = n = m のときは、

(9-33)  (y*w)1¼n =

å sÎSn

(-)s(w1¼n ° y)(¶1 f s(1) ° x) ¼ (¶n f s(n) ° x) = (w1¼m ° y) det(Ñf ° x)

となります。
　さて、(9-22) を用いると、共変テンソル場についても (9-16) の関係が成り立つことを確かめることができます。実際、

(9-34)  ((j ° y)*T )s = (j ° y)*Tj(y(s)) = y*j*Tj(y(s)) = y*(j*T )y(s) = (y*j*T )s

となりますから、共変テンソル場に対しても (9-16) が成り立っています。

　さて、p形式 w を局所的に (7-40) の形に標準表示すれば、(9-19),(9-25),(7-3) により、

(9-35)  y*dw	=   å i<j<¼<k y*dwij¼k ^ y*dxi ^ y*dxj ^ ¼ ^ y*dxk
	=   å i<j<¼<k d(y*wij¼k) ^ d(y*xi) ^ d(y*xj) ^ ¼ ^ d(y*xk)
	=   å i<j<¼<k d{y*wij¼k d(y*xi) ^ d(y*xj) ^ ¼ ^ d(y*xk)}
	=   å i<j<¼<k d{y*wij¼k y*dxi ^ y*dxj ^ ¼ ^ y*dxk}
	= dy*w

　すなわち、任意のp形式に対して

(9-36)  y* ° d = d ° y*

が成り立ちます。(7-39),(7-43) に y* を施して (9-19),(9-17),(9-36) を用いると、

(9-37)  y*iDw =

å k(1)<¼<k(p)

y*wk

p å i=1

(-1)i-1 y*Dxk(i) dy*xk(1) ^ ¼ ^ dy*xk(i-1) ^ dy*xk(i+1) ^ ¼ ^ dy*xk(p)

(9-38)  y*LDT =

å kÎK

y*DTk dy*xk(1) Ä ¼ Ä dy*xk(p) +

å kÎK

y*Tk

p å i=1

dy*xk(1) Ä ¼ Ä dy*xk(i-1) Ä dy*Dxk(i) Ä dy*xk(i+1) Ä ¼ Ä dxk(p)

　さて、DÎX(M) と D'ÎX(N) の間に

(9-39)  Dy(s) = y*D's

という関係があるものとします。これは fÎE(M) に対して

(9-40)  y*(Df )(s) = (Df )(y(s)) = Dy(s) f = (y*D's) f = D's(y*f ) = D'(y*f )(s)

すなわち

(9-41)  y*(Df ) = D'(y*f )

が成り立つことを意味しますから、(9-37) と (9-38) はそれぞれ (7-36),(6-12) と (7-37),(5-18) を使って変形すれば、

(9-42)  y*iDw	=   å k(1)<¼<k(p) y*wk   p å i=1 (-1)i-1 D'(y*xk(i)) dy*xk(1) ^ ¼ ^ dy*xk(i-1) ^ dy*xk(i+1) ^ ¼ ^ dy*xk(p)
	=   å k(1)<¼<k(p) y*wk   p å i=1 (-1)i-1 iD'd(y*xk(i)) dy*xk(1) ^ ¼ ^ dy*xk(i-1) ^ dy*xk(i+1) ^ ¼ ^ dy*xk(p)
	= iD' ì í î   å k(1)<¼<k(p) y*wk dy*xk(1) ^ ¼ ^ dy*xk(p) ü ý þ
	= iD'y*w

(9-43)  y*LDT =	å kÎK D'(y*Tk) dy*xk(1) Ä¼Ä dy*xk(p) +   å kÎK y*Tk   p å i=1 dy*xk(1) Ä¼Ä dy*xk(i-1) Ä dD'(y*xk(i)) Ä dy*xk(i+1) ļĠdxk(p)
	=   å kÎK LD'(y*Tk) dy*xk(1) Ä¼Ä dy*xk(p) +   å kÎK y*Tk   p å i=1 dy*xk(1) Ä¼Ä dy*xk(i-1) Ä LD'd(y*xk(i)) Ä dy*xk(i+1) Ä¼Ä dxk(p)
	= LD' ì í î   å kÎK y*Tk dy*xk(1) Ä¼Ä dy*xk(p) ü ý þ
	= LD'y*T

すなわち

(9-44)  y* ° iD = iD' ° y*

(9-45)  y* ° LD = LD' ° y*

が成り立ちます。