微分多様体

　f は Rⁿ の開集合 U から Rⁿ の開集合 f(U) への１対１なC¹級写像で、至るところ

(10-1)  det Ñf(ξ) ¹ 0

が成り立っているものとします。本節では、このとき f(U ) 上の任意の可積分関数 F に対し、

(10-2)

òf(U )

F(η) dη =

òU

F( f(ξ )) |det Ñf(ξ )| dξ

が成り立つことを n に関する帰納法で証明します。

　まず n = 1 の場合は、det Ñf(x) = f '(x) ですから、(10-1) の条件は f が U の各連結成分 ]a, b[ で単調関数であることを意味します。もし単調増加なら、h = f(x) と置き換えることによる１変数の置換積分により、

(10-3)

òf( ]a, b[ )

F(h) dh =

ò

f(b) f(a)

F(h) dh =

ò

b a

F( f(x)) f '(x) dx =

ò]a, b[

F( f(x)) |det Ñf(x)| dx

　また、単調減少なら、f(a) > f(b) かつ f '(x) < 0 ですから、

(10-4)

òf( ]a, b[ )

F(h) dh =

ò

f(a) f(b)

F(h) dh =

ò

a b

F( f(x)) f '(x) dx = -

ò

b a

F( f(x)) f '(x) dx =

ò

b a

F( f(x)) | f'(x)| dx =

ò]a, b[

F( f(x)) |det Ñf(x)| dx

となって、いずれにせよ (10-2) で U を ]a, b[ に置き換えたものは成り立ちます。U は高々可算個の開区間の直和ですから、これらを足し合わせれば (10-2) が得られます。

　次に (10-2) が n-1 まで正しいと仮定します。
　まず、(10-2) を証明するには、任意の ξÎU に対し、ξ の近傍 U_ξ が存在して (10-2) の U を U_ξ に置き換えた式が成り立つことを示せばよいことに注意します。
　実際、ユークリッド空間の開集合 U はリンデレーフ空間なので、U の開被覆 {U_ξ | ξ ÎU } は可算部分開被覆 {U_k | kÎN } を持ちます。そこで、

(10-5)  Fk(ξ ) =

ì í î

F(ξ )     ( ξ ÎUk\ (U1ȼÈUk-1) )   0         ( それ以外 )

と置くと、仮定により、各 F_k に対しては (10-2) が成り立ちます：

(10-6)

ò

f(Uk )

Fk(η) dη =

ò

Uk

Fk( f(ξ )) |det Ñf(ξ )| dξ

　これをすべての k に対して加えれば、(10-2) が得られるからです。

　そこで、(10-2) を、U のかわりに任意に固定した ξ_oÎU のある近傍 V について証明します。
　条件 (10-1) により、少なくとも、ある i，j の組に対して ¶_i f ^j(ξ_o) ¹ 0 が成り立っています。変数の順番を並び替えることにより、一般性を失うことなく i = j = n であると仮定することができます。
　また f がC¹級であることから、V を十分小さく取れば

(10-7)  ¶n f n(ξ ) ¹ 0     ( ξ ÎV )

とすることができます。そこで関数 g : V ® Rⁿ を

(10-8a)  gi(ξ ) = xi       ( i=1 ,¼, n-1 )

(10-8b)  gn(ξ ) = f n(ξ )

で定義します。また、各 ξ' ÎR^n-1 に対して V [ξ' ] = {xⁿÎR | (ξ', xⁿ)ÎV } と置き、g_ξ' : V [ξ' ] ® R を

(10-9)  gξ' (xn) = gn(ξ )

で定義します。(10-7),(10-8b) により (g_ξ')'(xⁿ) = ¶_n f ⁿ(ξ', xⁿ) ¹ 0 ですから、必要なら V を凸に取っておくことにより V [ξ' ] は連結と仮定でき、したがって g_ξ' は単調関数となるのでなめらかな逆関数 (g_ξ')^-1 を持ちます。
　そこでさらに h を

(10-10a)  hi(η) = f i(η', (gη')-1(hn))       ( i=1 ,¼, n-1 )

(10-10b)  hn(η) = hn

で定義し、

(10-11)  hhn(η') = (h¹(η) ,¼, hn-1(η))

と置きます。ただし η = (η', hⁿ) です。このとき

(10-12)  h( g(ξ )) = h(ξ', gξ' (xn)) = f(ξ )

すなわち

(10-13)  f = h ° g

が成り立っています。合成関数の微分の公式により、

(10-14)  Ñf(ξ ) = Ñ(h ° g)(ξ ) = Ñh( g(ξ )) Ñg(ξ )

　よって

(10-15)  det Ñf(ξ ) = det Ñh( g(ξ )) det Ñg(ξ )

が成り立ちます。これと (10-1) より、特に

(10-16)  det Ñh(η) ¹ 0     ( ηÎg(V ) )

(10-17)  det Ñg(ξ) ¹ 0     ( ξÎV )

が成り立っています。また、g，h の定義と行列式の成分表示 (3-13) から明らかなように、

(10-18)  det Ñh(η) = det Ñhhn(η' )

(10-19)  det Ñg(ξ) = ¶n f n(ξ ) = ¶n gn(ξ ) = (gξ' )'(xn) = det Ñgξ' (xn)

が成り立っています。また (10-13) により、h も g ももちろん１対１です。(10-10b),(10-11) により

(10-20)  h(W )[hn] = hhn(W [hn])

ですから、Fubiniの定理と帰納法の仮定により、

(10-21)	ò	h(W )	F(ζ ) dζ	= ò R dhn  ò h(W )[hn ] F(ζ', hn) dζ'
				= ò R dhn  ò W [hn ] F(hhn(η' ), hn) |det Ñhhn(η' )| dη'
				= ò R dhn  ò W [hn ] F(h(η)) |det Ñh(η)| dη'
				= òW F(h(η)) |det Ñh(η)| dη

　また、(10-8a),(10-9) により、

(10-22)  g(V )[ξ' ] = gξ' (V [ξ' ])

が成り立っていますから、

(10-23)	ò	g(V )	G(η) dη	= ò Rn-1 dξ' ò g(V )[ξ' ] G(ξ', hn) dhn
				= ò Rn-1 dξ' ò V [ξ' ] G(ξ', gξ' (xn)) |det Ñgξ' (xn)| dxn
				= ò Rn-1 dξ' ò V [ξ' ] G( g(ξ )) |det Ñg(ξ)| dxn
				= òV G( g(ξ )) |det Ñg(ξ )| dξ

ですから、(10-21),(10-23) で

(10-24)  W = g(V)

(10-25)  G(η) = F(h(η))|detÑh(η)|

と置けば、(10-13) により h(W ) = f(V ) となることと (10-15) を用いると、

(10-26)	òf(V )	F(ζ ) dζ	= òW F(h(η)) |det Ñh(η)| dη
			= òg(V ) G(η) dη
			= òV G( g(ξ )) |det Ñg(ξ)| dξ
			= òV F(h( g(ξ ))) |det Ñh(g(ξ))| |det Ñg(ξ )| dξ
			= òV F(h( g(ξ ))) |det Ñ(h ° g)(ξ )| dξ
			= òV F( f(ξ )) |det Ñf(ξ )| dξ

となって、(10-2) の U を V に変えた式が成立し、帰納法が完成しました。