微分多様体

　x , y をn次元多様体 M の局所座標とします。ただし後の便宜のために、その第 n - 1 座標 x^n-1 , y^n-1 は常に正の値を取るものとします。任意の局所座標は、定義域を有界な領域に制限し、第 n - 1 座標のみ値を平行移動すればこの条件を満足しますから、このように仮定しても一般性を失いません。
　y _° x^-1 は Rⁿ₊ の開集合から Rⁿ₊ の開集合への微分同型ですから、第８節の (8-29) により、これは Rⁿ_o の点を Rⁿ_o に写します。これは sÎM に対する条件 x(s)ÎRⁿ_o が、局所座標の取り方によらないことを意味しています。そこで

(12-1)  ¶M = { sÎM | s を定義域に持つ局所座標に対して x(s)ÎRno }

と置き、これを M の境界といいます。局所座標 x とその定義域 U に対し、U_oÌ U と x_o : U_o ® R^n-1₊ を

(12-2)  Uo = UÇRno

(12-3)  xo(s) = (x¹(s) ,¼, xn-1(s))†

で定義します。別の局所座標 y : V ® Rⁿ₊ に対して同様に V_o と y_o を作ると、y_o° x_o^-1 は R^n-1₊ の開集合から R^n-1₊ の開集合への微分同型ですから、x_o , y_o は ¶M の局所座標になり、したがって ¶M は n - 1 次元多様体になります。
　さらに、x_o , y_o の第 n - 1 座標成分は常に正ですから、¶M には境界がありません：

(12-4)  ¶¶M = Æ

　さて、f = y _° x^-1 ,  f_o = y_o° x_o^-1 と置くと、

(12-5)  f(ξo, 0) = ( fo(ξo), 0)       ( ξoÎxo(UoÇVo) )

となるので、まず

(12-6)  f n(ξo , 0) = 0

により

(12-7)  ¶i f n(ξo , 0) = 0       ( i = 1 ,¼, n-1 )

が成り立ち、(12-6) と

(12-8)  f n(ξo , xn ) > 0       ( xn > 0 )

により ¶_n  f ⁿ(ξ_o , 0) ³ 0 が成り立ちますから、

(12-9)  det Ñ f(ξo , 0) = {det Ñ fo(ξo)}¶n  f n(ξo , 0)

となります。ところがこの左辺は 0 でないので

(12-10)  ¶n  f n(ξo , 0) > 0

かつ det Ñf(ξ_o , 0) と det Ñf_o(ξ_o) の符号は同じであることがわかります。
　一方、前節 (11-29) により m^x と m^y の違いは det Ñf の符号に一致し、同様に m^x_o と m^y_o の違いは det Ñf_o の符号に一致します。以上を合わせると、

(12-11)  mxs = mys  Û  mxos = myos       ( sζM )

となりますが、M に向きが付いていれば、これは

(12-12)  (-)x mxo = (-)y myo

と同値です。そこで、M が向き m を持つとき、¶M の向き ¶m を次のように定めます：

(12-13)  (¶m)s = (-1)n (-)x(s) mxos       ( sζM )

ただし x は s を定義域に含む M の局所座標です。(12-12) により、この定義は局所座標の取り方に依存しません。ゆえに ¶M は向き ¶m の付いた n - 1 次元多様体になりますから、(12-13) により、任意の局所座標 x に対して、その定義域を U とすれば、

(12-14)  (-)xo(s) = (-1)n (-)x(s)       ( sζMÇU )

が成り立ちます。

　さて、境界という概念は部分多様体に対しても定義できます。N = (L, y) を M の部分多様体とするとき、y の ¶L への制限を y_o として、

(12-15)  ¶N = (¶L, yo)

と置きます。定義により、N が向きのついた部分多様体なら ¶N も向きのついた部分多様体になります。

　ここでいよいよ表題のStokesの定理の説明に入ります。M をn次元多様体、N = (L, y) を M の向きの付いた p次元部分多様体、w を y^-1(supp ω) がコンパクトであるような M の p - 1 形式とします（N がコンパクトならもちろん条件は成り立ちます）。このとき、

(12-16)

òN

dw =

ò¶N

w

が成りたつ、というのが Stokesの定理です。

　部分多様体上の積分の定義と (9-36) により、(12-16) の左辺は

(12-17)

òN

dw =

òL

y*dw =

òL

d(y*w)

となり、右辺は、i : ¶L ® L を埋め込みとすれば、y_o = y _° i と (9-16) により、

(12-18)

ò¶N

w =

ò¶L

yo*w =

ò¶L

i*(y*w)

と変形されます。また supp(y*w) Ì y^-1(supp w) ですから、結局 L を M 、p を n 、y*w を w とみなすことにより、台 がコンパクトな n 形式 w に対して

(12-19)

òM

dw =

ò¶M

i*w

が証明できればよいことがわかります。
　そこで、まず w の台が M のある局所座標 x の定義域に含まれる場合を考えます。w を x により標準表示すれば、

(12-20)  w =

n å i=1

wi dx¹ ^ ¼ ^ dxi-1 ^ dxi+1 ^ ¼ ^ dxn

　これに外微分を施すと、

(12-21)  dw	=  n å i=1 dwi ^ dx¹ ^ ¼ ^ dxi-1 ^ dxi+1 ^ ¼ ^ dxn
	=  n å i,j=1 ¶wi —— ¶xj dxj ^ dx¹ ^ ¼ ^ dxi-1 ^ dxi+1 ^ ¼ ^ dxn
	= ì í î  n å i=1  (- 1)i-1 ¶wi —— ¶xi ü ý þ dx¹ ^ ¼ ^ dxn
	= ì í î  n å i=1 (- 1)i-1 ¶i(wi ° x-1) ° x ü ý þ dx¹ ^ ¼ ^ dxn

　一方、xⁱ _° x^-1 は、Rⁿ の第 i 成分を取り出す関数なので、

(12-22)  (x-1)*dxi(¶j) = d(xi ° x-1)(¶j) = ¶j(xi ° x-1) = dji

ですから、

(12-23)  (dw)x = (x-1)*dw(¶1 ,¼, ¶p ) =

n å i=1

(- 1)i-1 ¶i(wi ° x-1)

　一方、(12-20) に i* を施すと、i*xⁱ = xⁱ _° i = x_oⁱ ( i=1 ,¼, n-1 ) , i*xⁿ = xⁿ _° i = 0 ですから

(12-24)  i*w	=  n å i=1 i*wi i*dx¹ ^ ¼ ^ i*dxi-1 ^ i*dxi+1 ^ ¼ ^ i*dxn
	=  n å i=1 (wi ° i) d(i*x¹) ^ ¼ ^ d(i*xi-1) ^ d(i*xi+1) ^ ¼ ^ d(i*xn)
	= (wn ° i) dxo¹ ^ ¼ ^ dxon-1

　したがって

(12-25)  (i*w)xo = wn ° i ° xo-1 = wn ° xo-1

　また、Rⁿ₊ 上の関数 gⁱ を

(12-26)  gi(ξ) =

ì í î

{(-)xwi}(x-1(ξ))       ( ξÎU のとき )   0       ( それ以外 )

で定義すると、gⁱ は Rⁿ₊ で台がコンパクトかつ滑らかな関数で、ξ = (ξ_o, 0)ÎU_o に対しては、(12-14) と (12-25) により、

(12-27)  gn(ξo, 0)	= {(-)xwn}(x-1(ξo, 0))
	= {(-)xwn}(xo-1(ξo))
	= (-)x(xo-1(ξo)) wn(xo-1(ξo))
	= (-1)n (-)xo(xo-1(ξo)) (i*w)xo(ξo)
	= (-1)n {(-)xoi*w}xo(ξo)

　よって、x の値域を U と書けば

(12-28)	òM	dw	= òU {(-)xdw}x(ξ) dξ
			= òU (-)x(x-1(ξ))(dw)x(ξ) dξ
			=  n å i=1  (-1)i-1 òU (-)x(x-1(ξ))¶i(wi ° x-1)(ξ)dξ       ( ∵(12-23) )
			=  n å i=1  (-1)i-1 òU ¶i{((-)x ° x-1)(wi ° x-1)}(ξ)dξ
			=  n å i=1  (-1)i-1 ò Rn+ ¶igi(ξ)dξ       ( ∵(12-26) )
			= - (-1)n-1 ò Rn-1 gn(ξo, 0) dξo
			= ò Rn-1 {(-)xoi*w}xo(ξo) dξo       ( ∵(12-27) )
			= ò¶M i*w

　ただし、４番目の等号では (-)^x _° x^-1 が局所的に定数であることを使いました。
　また、６番目の等号では、i=1, ¼, n-1 に対しては ¶_igⁱ の第 i 変数に関する積分が + ¥ における値と - ¥ における値の差となり、gⁱ の台がコンパクトなので、これらの積分は消え、残る ¶_n gⁿ については、第 n 変数に関する積分が + ¥ における値と 0 における値の差となり、前者は同じ理由で消えることを使いました。
　以上で、台がある局所座標の定義域に含まれる場合の証明が完成しました。

　一般の場合は、コンパクト集合 supp w 上の 1 の分解 c_j  ( j=1 ,¼, r ) を取ると、各 c_jw に対して (12-19) が成り立つことと、c_{j °} i  ( j=1 ,¼, r ) が supp i*w Ì ¶M Ç supp w の 1 の分解になっていることから、

(12-29)

òM

dw =

r å j=1

òM

cj dw =

r å j=1

òM

d(cjw) -

r å j=1

òM

dcj ^ w =

r å j=1

ò¶M

i*(cjw) -

ò¶M

d

æ è

r å j=1

cj

ö ø

^ w =

r å j=1

ò¶M

(cj ° i)i*w -

òM

d1 ^ w =

ò¶M

i*w

となって、一般の場合の証明が完成しました。