微分多様体

　向きの付いた縁のないn次元多様体 M 上のp形式 w の全体を Ω^p(M ) 、そのうち台がコンパクトなものの全体を Ω^p_o(M ) 、台が M のコンパクト集合 K に含まれるものの全体を Ω^p_K(M ) と書くことにします。
　次に、w を p形式、x を M で相対コンパクトな定義域 U を持つ M の局所座標とするとき、

(13-1)  ||w||x,k = sup

ì í î

½ ½

¶a1  ——– ¶x1a1

¼

¶an  ——– ¶xnan

wi¼j(s)

½ ½

½ ½ ½

1 £ i < ¼ < j £ n  ;  a1 + ¼ + an £ k  ;  sÎU

ü ý þ

と置きます。ただし座標の成分を下付き添字で書き、

(13-2)  wi¼j = w

æ è

¶  —– ¶xi

,

¼

,

¶  —– ¶xj

ö ø

と置きました。K をコンパクト集合とするとき、Ω^p_K(M ) は、K を覆う有限個の相対コンパクト集合 U_l ( l = 1 ,¼, L )を定義域に持つ局所座標族 x_l ( l = 1 ,¼, L ) とずべての自然数 k に対するセミノルム || · ||_xl,k によって完備距離局所凸空間(F-空間)になります。
　Ω^n-p_o(M ) 上の線形汎関数 q で、各コンパクト集合 K に対して Ω^n-p_K(M ) 上で連続であるようなものを、p次のカレントとよびます。特に、0次のカレントを超関数といいます。また、p次のカレントの全体を Ω' ^p(M ) と書き、q(w) のことを á w, q ñ とも書くことにします。
　任意のp形式 h は、wÎΩ^n-p_o(M ) に対して

(13-3)  á w, h ñ =

òM

w ^ h

と置くことにより、p次のカレントとみなすことができます。
　p形式 h とq次のカレント q に対し、p + q 次のカレント h ^ q を

(13-4)  á w, h ^ q ñ = á w ^ h , q ñ       ( wÎΩn-p-qo(M ) )

で定義します。これは q がq形式のときは微分形式に対する定義と一致します。
　さて、q が p形式ならば、wÎΩ^n-p-1_o(M ) に対し、¶M = Æ と Stokesの定理により

(13-5)

òM

dw ^ q + (-1)n-p-1

òM

w ^ dq =

òM

d(w ^ q) =

ò¶M

w ^ q = 0

が成り立ちますから、p次のカレント q の外微分 dq を

(13-6)  á w, dq ñ = (-1)n-p á dw, q ñ       ( wÎΩn-p-1o(M ) )

で定義します。また、q が p形式ならば、wÎΩ^n-p+1_o(M ) に対し、w ^ q はn次元多様体の n + 1 形式なので 0 、したがって任意のベクトル場 D に対して

(13-7)  iD w ^ q + (-1)n-p+1 w ^ iDq = iD(w ^ q) = 0

が成り立ちますから、p次のカレント q の内部積 i_D を

(13-8)  á w, iDq ñ = (-1)n-p á iD w, q ñ       ( wÎΩn-p+1o(M ) )

で定義します。ただし p = 0 に対しては i_Dq = 0 とします。また、p次のカレント q のLie微分 L_D q を

(13-9)  LDq = iDdq + diDq

で定義します。これらの演算に対し、

(13-10)  á w, ddq ñ = (-1)n-p-1 á dw, dq ñ = - á ddw, q ñ = 0

(13-11)  á w, iD' iDq ñ = (-1)n-p+1 á iD' w, iDq ñ = - á iD iD' w, q ñ = á iD' iD w, q ñ = (-1)n-p+2 á iD w, iD' q ñ = - á w, iD iD' q ñ

(13-12)   á w, LDq ñ = á w, iDdq ñ + á w, diDq ñ = (-1)n-p+1 á iD w, dq ñ + (-1)n-p-1 á dw, iDq ñ = - á diD w, q ñ - á iDdw, q ñ = - á LD w, q ñ

等が成り立つので、微分形式に対して成立していた代数的な関係式は、カレントに対してもすべて成り立ちます。
　さて、p形式 q とベクトル場 D₁ ,¼, D_p に対して

(13-13)  q(D1 ,¼, Dp ) = iDp ¼ iD1q

が成り立つので、p次のカレント q に対しても、左辺を右辺で定義することにします。これは一つの超関数になります。また、超関数 f とベクトル場 D に対し、超関数 Df を

(13-14)  Df º LD f = diD f + iDd f = iDd f = d f (D)

で定義します。

　さて、O を M の開集合とすれば、O もn次元多様体ですから、Ω^p(O) を考えることができ、M のカレント q は Ω^p(O) 上の連続線形汎関数、すなわち O のカレントとみなすことができます。これを、q の O への制限とよび、q|_O と表わします。
　M の開集合族 { O_l | lÎΛ } に対し、任意の lÎΛ について q|_Ol = 0 とすると、O = È{ O_l | lÎΛ } と置けば、任意の wÎΩ^p_o(O) に対し、コンパクト集合 supp w の 1 の分解 c_l で台が O_l に含まれるものが存在します。したがって

(13-15)  á q, w ñ =

å lÎΛ

á q, clw ñ =

å lÎΛ

á q|Ol , clw ñ = 0

となり、q|_O = 0 がわかります。このことから、q|_O = 0 となる最大の開集合が存在することがわかるので、その開集合の補集合を supp q と書いて、これをカレント q の台とよびます。

　次に、p次のカレント q と局所座標 x に対し、x の定義域における超関数 q_i¼j を

(13-16)  qi¼j = q

æ è

¶  —– ¶xi

,

¼

,

¶  —– ¶xj

ö ø

で定義すると、D_i = ¶/¶x_i と置けば、

(13-17)  iDi(dxj) = dij

が成り立つので、任意の n - p 形式 w に対して

(13-18)

å i< ¼< j

iDi ¼ iDj(w ^ dxi ^ ¼ ^ dxj) = (-1)(n-1)+(n-2)+¼+(n-p) w

が成立することがわかりますから、x の定義域に台を持つ任意の n - p 形式 w に対し、

(13-19)  á w,	å i< ¼< j	qi¼j dxi ^ ¼ ^ dxj ñ	=   å i< ¼< j á w ^ dxi ^ ¼ ^ dxj , qi¼j ñ
			=   å i< ¼< j á w ^ dxi ^ ¼ ^ dxj , iDj ¼ iDiq ñ
			= (-1)(n-1)+(n-2)+¼+(n-p)   å i< ¼< j á iDi ¼ iDj(w ^ dxi ^ ¼ ^ dxj) , q ñ
			= á w, q ñ

　したがって、p次のカレント q（を x の定義域に制限したもの）の標準表示：

(13-20)  q =

å i< ¼< j

qi ¼ j dxi ^ ¼ ^ dxj

が得られます。

　さて、q を M のp形式、N を向きのついた縁のない多様体、y : N ® M を滑らかな写像で、supp q の近傍で局所的に一対一、すなわち N における y^-1(supp q) の互いに素な有限開被覆 { O_l | lÎΛ } が存在し、y の O_l への制限 y_l は微分同型で、supp q Ì y(O_l) となっているものとします。
　このとき、任意の wÎΩ^n-p_o(N ) に対し、

(13-21)  á w, y*q ñ	= òN w ^ y*q
	=   å lÎΛ ò Ol w ^ yl*q
	=   å lÎΛ ò Ol yl*(yl-1)*w ^ yl*q
	=   å lÎΛ ò Ol yl*{(yl-1)*w ^ q}
	=   å lÎΛ  (-)l ò y(Ol ) (yl-1)*w ^ q
	=   å lÎΛ (-)l á (yl-1)*w, q ñ

が成り立ちます。ただし (-)^l は y_l の符号です。そこで、q が M のp次のカレントの場合にも、N のp次カレント y*q を

(13-22)  á w, y*q ñ =

å lÎΛ

(-)l á (yl-1)*w, q ñ

で定義することにします。特に、p = 0 すなわち q が超関数 f の場合は、y*f のことを f _° y とも書くことにします。p次カレント q 、q形式 h 、wÎΩ^n-p-q(M ) に対して

(13-23)  á w, y*(h ^ q) ñ	=   å lÎΛ (-)l á (yl-1)*w, h ^ q ñ
	=   å lÎΛ (-)l á (yl-1)*w ^ h, q ñ
	=   å lÎΛ (-)l á (yl-1)*w ^ (yl-1)*y*h, q ñ       ( ∵ y ° yl-1 = id )
	=   å lÎΛ (-)l á (yl-1)*(w ^ y*h), q ñ
	= á w ^ y*h, y*q ñ
	= á w, y*h ^ y*q ñ

ですから

(13-24)  y*(h ^ q) = y*h ^ y*q

が成り立ちます。また、qÎΩ' ^p(M ) 、wÎΩ^n-p-1(M ) に対して

(13-25)  á w, y*dq ñ	=   å lÎΛ (-)l á (yl-1)*w, dq ñ
	= (-1)n-p   å lÎΛ (-)l á d(yl-1)*w, q ñ
	= (-1)n-p   å lÎΛ (-)l á (yl-1)*dw, q ñ
	= (-1)n-p á dw, y*q ñ
	= á w, dy*q ñ

ですから

(13-26)  y*dq = dy*q

も成り立ちます。

　さてここで具体的なカレントの例を挙げましょう。N = (L, j) を M のp次元部分多様体とします。このとき、台がコンパクトな M のp形式 w に対して、

(13-27)  á w, N ñ =

òN

w

と置くと、N は n - p 次のカレントになります。Stokesの定理と (13-6) により、p次元部分多様体 N と台がコンパクトな p - 1 形式 w に対して

(13-28)  á w, dN ñ = (-1)p á dw, N ñ = (-1)p

òN

dw = (-1)p

ò¶N

w = (-1)p á w, ¶N ñ

となるので

(13-29)  dN = (-1)p ¶N

が成り立ちます。次に、M の任意の点 s と M の0形式 j に対して

(13-30)  á j, d s ñ = j(s)

と置けば、d ^s はn次のカレントになります。
　さて、n次のカレント q に対し、y : N ® M を supp q の近傍で局所的に一対一な滑らかな写像とすると、(13-22) により、N の任意の0形式 j に対して

(13-31)  á j, y*q ñ =

å lÎΛ

(-)l á j ° yl-1, q ñ

ですから、特に q = d ^s ならば、

(13-32)  á j, y*d s ñ =

å lÎΛ

(-)l á j ° yl-1, d s ñ =

å lÎΛ

(-)l j(yl-1(s)) =

å y(s')=s

(-)(y, s') j(s')

　ただし、(-)^{(y, s')} は、y の s' における向きの符号を表わします。ゆえに、

(13-33)  y*d s =

å y(s')=s

(-)(y, s') d s'

　特に、M , N が Rⁿ の開集合の場合は、Rⁿ から R への標準射影を πⁱ と書くと、

(13-34)  d s = ds dπ¹ ^ ¼ ^ dπn

と表示できますが、この超関数 d_s のことをデルタ関数とよびます。特に s = 0 のときは d₀ を単に d と書きます。
　ここで (13-34) に y* を施して (13-24),(9-36) を繰り返し用いると、

(13-35)  y*d s = (y*ds) dy*p¹ ^ ¼ ^ dy*pn = (ds ° y)(det y') dp¹ ^ ¼ ^ dpn

　ただし det y' は y のJacobianです。(13-33)~(13-35) により

(13-36)  (ds ° y)(det y') dp¹ ^ ¼ ^ dpn =

å y(s')=s

(-)(y, s') ds' dπ¹ ^ ¼ ^ dπn

　det y' は 0 にならないので、両辺を det y' で割って係数を比較すれば、

(13-37)  ds ° y =

å y(s')=s

(-)(y, s')

ds' ———  det y'

=

å y(s')=s

ds' ———– | det y' |

=

å y(s')=s

ds' ———— |det y'(s')|

というデルタ関数と滑らかな関数の合成に関する公式が得られます。特に1次元の場合は

(13-38)  ds ° y =

å y(s')=s

ds' ——— |y'(s')|

となります。

　この節の最後に台がコンパクトなカレントについて考察します。集合 Ω^p(M ) に、相対コンパクトな定義域を持つ M の局所座標 x に対するセミノルム || · ||_x,k の族によって位相を入れます。Ω^n-p(M ) 上連続な線形汎関数の全体を Ω' ^p_o(M ) と書くと、その元 q は Ω^n-p_o(M ) 上でも連続ですから、q はp次のカレントになります。
　さらに、q は Ω^n-p(M ) 上連続であることから、有限個の x_l , k_l ( l = 1 ,¼, L ) と正定数 C_l が存在して、任意の wÎΩ^n-p(M ) に対し、

(13-39)  |á w, q ñ| £

L å l=1

Cl || w ||xl , kl

が成り立ちます。ゆえに、x_l の定義域を U_l とするとき、すべての U_l ( l = 1 ,¼, L ) の合併の閉包を K とすれば、K はコンパクトで、w が K 上 0 であれば、(13-39) の右辺は 0 になるので á w, q ñ = 0 となります。これは supp q Ì K を意味します。
　すなわち Ω' ^p_o(M ) の元は、台がコンパクトなカレントと同一視することができます。