微分多様体

15．動く多様体上の積分

　本節では、実パラメター t を持つ微分形式の、t とともに動く部分多様体上の微分形式の積分について調べます。

　M をm次元多様体、L を向きの付いたp次元多様体、I を R の区間とし、tÎI に依存する M 上のベクトル場 v_t に沿って動く M の部分多様体 (L, y_t) ( tÎI ) 、すなわち

(15-1) ¶
—–
¶t (y_t*f ) ~~= y~~_t*(v_tf ) ( fÎE(M) )

の解が与えられているものとします。tÎI に依存する f_tÎE(M) が、多様体 I ´ M 上の関数として滑らかなら、(15-1) により、

(15-2) ¶
—–
¶t { f_t(y_t(s))}= ¶f_t
—–
¶t (y_t(s))+ (v_tf_t)(y_t(s))

ですから、

(15-3) ¶
—–
¶t (y_t*f_t)~~= y~~_t* ¶
—–
¶t f_t ~~+ y~~_t* v_tf_t

が成り立ちます。また、(9-36),(15-1) により、

(15-4) ¶
—–
¶t ~~y_t*df =~~ ¶
—–
¶t d(y_t*f) = d ¶
—–
¶t (y_t*f) = d{y_t*(v_tf )}~~= y~~_t*d(v_tf )

が成り立ちます。さて、tÎI に依存する L 上のp階共変テンソル T_t が与えられ、ベクトル場 D_i ( i=1 ,¼, p ) を代入したものが I ´ M の写像とみなしても滑らかであると仮定します。(7-41) の標準表示を使うと、(15-3),(15-4) により、

(15-5) ¶
—–
¶t y_t*T_t
= ¶
—–
¶t
å
kÎK (y_t*T_t,k )y_t*dx^k(1) ~~Ä ¼ Ä y~~_t*dx^k(p)

=
å
kÎK ¶
—–
¶t (y_t*T_t,k )y_t*dx^k(1) ~~Ä ¼ Ä y~~_t*dx^k(p) +
å
kÎK p
å
i=1 (y_t*T_t,k )y_t*dx^k(1) ~~Ä ¼ Ä~~ ¶
—–
¶t (y_t*dx^k(i)) ~~Ä ¼ Ä y~~_t*dx^k(p)

=
å
kÎK æ
è y_t* ¶
—–
¶t T_t,k ~~+ y~~_t*v_tT_t,k ö
ø y_t*dx^k(1) ~~Ä ¼ Ä y~~_t*dx^k(p) +
å
kÎK p
å
i=1 (y_t*T_t,k)y_t*dx^k(1) ~~Ä ¼ Ä y~~_t*d(v_tx^k(i)) ~~Ä ¼ Ä y~~_t*dx^k(p)

=y_t* ì
í
î
å
kÎK æ
è ¶
—–
¶t T_t,k+ v_tT_t,k ö
ø dx^k(1) ~~Ä ¼ Ä~~ dx^k(p) +
å
kÎK p
å
i=1 T_t,kdx^k(1)~~Ä ¼ Ä~~ d(v_tx^k(i)) ~~Ä ¼ Ä~~ dx^k(p) ü
ý
þ

=y_t* æ
è ¶
—–
¶t T_t+ L_{v_t}T_t ö
ø

　ただし最後の変形で (7-43) を使いました。そこで、t に依存する共変テンソルに対する演算子 d/dt を

(15-6) d
—–
dt T_t= ¶
—–
¶t T_t+ L_{v_t}T_t

で定義すると、

(15-7) ¶
—–
¶t ~~y_t*T_t = y~~_t* d
—–
dt T_t

が成り立ちます。しかも (5-15) により、テンソル積 S_tÄT_t に対して

(15-8) d
—–
dt (S_tÄT_t)~~= S_tÄ~~ ¶T_t
——
¶t + ¶S_t
——
¶t ÄT_t

が成り立ち、したがって特に、微分形式に対して

(15-9) d
—–
dt (a_t ^ b_t)~~= a~~_t ^ ¶b_t
——
¶t + ¶a_t
——
¶t ^b_t

が成り立ちます。また、(15-6) と (7-18) により、外微分 d に対して

(15-10) d
—–
dt ~~_°d = d _°~~ d
—–
dt

が成り立ちます。そして、動く多様体 N_t 上の積分に対しては、(15-7) により、

(15-11) d
—–
dt ò

N_t ~~w_t=~~ d
—–
dt ò_L ~~y_t*w_t=~~ ò_L ¶
—–
¶t ~~y_t*w=~~ ò_L y_t* d
—–
dt ~~w_t=~~ ò

N_t d
—–
dt w_t

　よって、これをさらに (15-6),(7-1),(12-16) を用いて変形すると、次のような、動く多様体 N_t 上の w_t の積分を t で微分した場合の公式が得られます。

(15-12) d
—–
dt ò

N_t ~~w_t=~~ ò

N_t ì
í
î ¶
—–
¶t ~~w_t+~~ L_{v_t}w_t ü
ý
þ = ò

N_t ì
í
î ¶
—–
¶t ~~w_t+ i_{v_t}dw_t + di_{v_t}w~~_t ü
ý
þ = ò

N_t ì
í
î ¶
—–
¶t w_t~~+ i_{v_t}dw~~_t ü
ý
þ + ò

¶N_t ~~i_{v_t}w~~_t

　最後に動く多様体上の積分の応用として、閉p形式の積分の不変性を証明してみましょう。N_t を、M におけるp次元の縁のない動く多様体、w を、d~~w = 0~~ を満たし、その台と N_t の交わりがコンパクトな M のp形式とします。このとき (15-12) により

(15-13) d
—–
dt ò

N_t ~~w =~~ ò

N_t L_vw= ò

N_t ~~i_vdw+~~ ò

N_t d~~i_vw=~~ ò

¶N_t ~~i_vw= 0~~

　ゆえに

(15-14) Q = ò

N_t w

の値は t に依存しないことがわかりました。