微分多様体

　第７節 (7-19) によれば、n次元多様体 M のp形式 w が w = dh と表されれば dw = 0 となるのでした。では逆に、dw = 0 ならば、ある h によって w = dh と書けるでしょうか。結論を言えば、M から Rⁿ の星状領域 Ω への同型 x : M ® Ω が存在するならばそれは正しいのです。ただし、星状領域とは、ξÎΩ , 0 £ t £ 1 ならば tξÎΩ であるような領域 Ω のことを言います（例えば原点を含む凸集合は星状領域です）。以下でこれを詳しく説明しましょう。

　0 < t £ 1 に対し、M のベクトル場 v_t を、

(16-1)  vt =

1 —–  t

n å i=1

xi

¶  —–  ¶xi

で定義し、v_t に沿って動き、t = 1 で恒等写像となる M から M への部分多様体を (M, y_t) とします。(14-43a) を f = xⁱ として適用すれば、(16-1) により、

(16-2)

¶ —– ¶t

(yt*xi) = yt*(vtxi) =

yt* xi ——–  t

　よって

(16-3)  y1 = id

となる解は、

(16-4)  xi ° yt = yt* xi = t xi

　すなわち

(16-5)  yt = x-1 ° (t x)

で、Ω が星状領域であることから、0 < t £ 1 に対して y_t は M 全体で定義されることがわかります。ここで (15-6) と (15-7) を T_t = w として適用し、w が t に依存しないため ¶w/¶t = 0 となることと、(7-1),(9-36) を使えば、

(16-6)

¶ —– ¶t

yt*w = yt*Lvtw = yt*ivtdw + yt*divtw = yt*ivtdw + dyt*ivtw

が成り立ちます。したがって、これを t について 0 から 1 まで積分すると、y₁* が恒等写像であることに注意すれば、

(16-7)  w -

lim t ¯ 0

yt*w = Idw + dIw

が成り立ちます。ただし、I は、M のp形式 wに対して、

(16-8)  Iw =

ò

1 0

yt*ivtw dt

を対応させる演算子です。この I がうまく定義されることを確かめましょう。まず、p = 0 なら被積分関数が 0 なので Iw = 0 となります。次に p ³ 1 の場合ですが、w が標準表示した場合の一つの項：

(16-9)  w = wk(x) dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(p)

である場合を考えれば十分です（ただし w_k(x) = w_{k °} x ）。(16-1) により

(16-10)  vt xi =

xi —–  t

ですから、(7-39) と (16-9) により、

(16-11)  ivtw = t-1 wk(x)

p å i=1

(-1)i-1 xk(i) dxk(1) ^ ¼ ^

Ù dxk(i)

^ ¼ ^ dxk(p)

　ただし、頭に Ù を付けたのはそれを除くという意味です。一方、(16-4),(16-5) により

(16-12)  yt*(wk(x)) = wk(x ° yt) = wk(tx)

(16-13)  yt*dxi = dyt*xi = d(txi) = t dxi

ですから、(16-11) に y_t* を施せば、(16-12),(16-4),(16-13) により

(16-14)  yt*ivtw = t p-1 wk(tx)

p å i=1

(-1)i-1 xk(i) dxk(1) ^ ¼ ^

Ù dxk(i)

^ ¼ ^ dxk(p)

となり、p ³ 1 ですから、これは t に関して区間 [0, 1] で可積分であることがわかり、(16-8) の I は、p 形式から p - 1 形式への演算子としてうまく定義できることがわかります。

　次に、(16-7) の左辺第２項を評価するために、w が (16-9) で与えられたとすれば、(16-12),(16-13) により

(16-15)  yt*w = yt*(wk(x)) yt*dxk(1) ^ ¼ ^ yt*dxk(p) = t p wk(tx) dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(p)

なので、

(16-16)

lim t ¯ 0

yt*w =

ì í î

wk(0)       ( p = 0 のとき )     0       ( 1 £ p £ n のとき )

となることがわかります。したがって、(16-7),(16-16) と、p = n なら dw = 0 であることと、p = 0 なら Iw = 0 であることを使うと、

(16-17a)  w - wk(0) = Idw       ( p = 0 のとき )

(16-17b)  w = Idw + dIw       ( 1 £ p £ n - 1 のとき )

(16-17c)  w = dIw       ( p = n のとき )

となることがわかります。

　以上の結果から、次のPoincaréの補題が得られます。

Poincaréの補題１ 　w を Rn の星状領域と同型な n 次元多様体 M の p 形式とすると、次のことが成り立つ。 (a) p = 0 の場合： 　dw = 0 ならば、w は定数である。 (b) 1 £ p £ n - 1 の場合： 　dw = 0 ならば、ある p - 1 形式 h によって w = dh と書ける（具体的には h = Iw と置けばよい）。 (c) p = n の場合： 　無条件で、ある n - 1 形式 h によって w = dh と書ける（具体的には h = Iw と置けばよい）。

　次に、台がコンパクトな p 形式に関する同様な問題を考えてみます。すなわち台がコンパクトな M の p 形式 w が dw = 0 を満たすとき、同じく M で台がコンパクトな p - 1 形式 h が存在して w = dh と書けるか、という問題です。
　今度は M に関する条件をやや強めて、M から Rⁿ の凸領域 Ω への同型 x : M ® Ω が存在すると仮定します。今度は ξÎΩ と 1 £ t < ¥ に対し、ベクトル場 v_ξ,t を

(16-18)  vξ,t =

1 —–  t

n å i=1

(xi - xi)

¶  —– ¶xi

で定義し、v_ξ,t に沿って動き、t = 1 で恒等写像となる M から M への部分多様体を (M, y_ξ,t) とします。(14-43a) を f = xⁱ として適用すれば、(16-18) により、

(16-19)

¶ —– ¶t

(yξ,t*xi) = yξ,t*(vξ,txi) =

yξ,t*(xi - xi) —————–  t

=

yξ,t*xi - xi —————  t

　これを初期条件 y_ξ,1*xⁱ = xⁱ のもとで解くと、

(16-20)  xi ° yξ,t = yξ,t*xi = xi + t (xi - xi)

　すなわち

(16-21)  yξ,t = x-1( ξ + t (x - ξ) )

となります。ただし、ξ + t(x(s) - ξ) が Ω の外に出てしまうような s , t の組に対しては、y_ξ,t*w の値は 0 とします。

　さて、(16-6) の v_t を v_ξ,t に、y_t を y_ξ,t にそれぞれ置き換え、Ω で台がコンパクトで、その積分が 1 に等しい ξ の滑らかな関数 r(ξ) を乗じて、ξ について Ω で積分すると、

(16-22)

¶ —– ¶t

òΩ

r(ξ)yξ,t*w dξ =

òΩ

r(ξ)yξ,t*ivξ, t dw dξ + d

ì í î

òΩ

r(ξ)yξ,t*ivξ, tw dξ

ü ý þ

　一方、y_ξ,1* は恒等写像ですから、

(16-23)

òΩ

r(ξ)yξ,1*w dξ =

òΩ

r(ξ)w dξ = w

　従って、(16-22) を t について 1 から ¥ まで積分して符号を変えれば、

(16-24)  w -

lim t®¥

òΩ

r(ξ)yξ,t*w dξ = Jdw + dJw

　ただし、J は、M の台がコンパクトな p 形式 w に対して、

(16-25)  Jw = -

ò

¥ 1

dt

òΩ

r(ξ)yξ,t*ivξ, tw dξ

を対応させる演算子です。この J がうまく定義されることを確かめましょう。そのためには w が (16-9) で与えられる場合のみを考えれば十分です。(16-18) により

(16-26)  vξ,t xi =

xi - xi ———  t

ですから、(7-39) と (16-9) により、

(16-27)  ivξ, tw = t-1 wk(x)

p å i=1

(-1)i-1 (xk(i) - ξk(i)) dxk(1) ^ ¼ ^

Ù dxk(i)

^ ¼ ^ dxk(p)

　一方、(16-20),(16-21) により

(16-28)  yξ,t*(wk(x)) = wk(x ° yξ,t) = wk( ξ + t (x - ξ) )

(16-29)  yξ,t*(xi - xi) = yξ,t*xi - xi = t (xi - xi)

(16-30)  yξ,t*dxi = dyξ,t*xi = d{xi + t (xi - xi)} = t dxi

ですから、(16-27) に y_ξ,t* を施せば、(16-28)~(16-30) により

(16-31)  yξ,t*ivξ, tw =

p å i=1

(-1)i-1 qξ,t,i dxk(1) ^ ¼ ^

Ù dxk(i)

^ ¼ ^ dxk(p)

　ただし、

(16-32)  qξ,t,i = t p-1 wk( ξ + t (x - ξ) ) (xk(i) - xk(i))

です。ゆえに、(16-25) の J がうまく定義できるためには、

(16-33)

ò

¥ 1

dt

òΩ

r(ξ)qξ,t,i dξ =

ò

2 1

dt

òΩ

r(ξ)qξ,t,i dξ +

ò

¥ 2

dt

òΩ

r(ξ)qξ,t,i dξ

が収束しなければなりません。まず、(16-33) の右辺第１項は、ξ の積分範囲も t の積分範囲も有界な閉集合で、被積分関数は滑らかですから、積分は収束して滑らかな関数を定めます。次に右辺第２項ですが、

(16-34)	òΩ	r(ξ)qξ,t,i dξ	= t p-1 òΩ r(ξ)wk( ξ + t (x - ξ) ) (xk(i) - xk(i)) dξ
			= t p-1 òΩ r æ è t x - ζ ——— t - 1 ö ø wk(ζ)  zk(i) - xk(i) ————–  t  dζ  ———  (t - 1)n
			= t p-2 ———  (t - 1)n òΩ r æ è t x - ζ ——— t - 1 ö ø wk(ζ) (zk(i) - xk(i)) dζ

　ただし、３番目の等号で、ζ = ξ + t (x - ξ) = (1 - t) ξ + t x と置いて積分変数を ξ から ζ に変換しました。
　さて、t ^p-2 (t - 1)^-n = O(t ^p-n-2 ) ( t ® ¥ ) で、p £ n ですから、最後の式は t について [2, ¥ [ で可積分なので、これもなめらかな関数を定めることがわかります。以上で (16-25) の J がうまく定義できることがわかりました。

　また、w_k の台と r の台を含む最小の凸集合を K とすれば、K は Ω に含まれるコンパクト集合です。もし (16-33) の積分が sÎM で 0 でないとすると、ある ξ と t ³ 1 が存在して、ζ = ξ + t (x(s) - ξ) と置くと、r(ξ) ¹ 0 かつ w_k(ζ) ¹ 0 となっていなければなりません。これは ξ, ζÎK を意味しますが、t ³ 1 で、K が凸であることから

(16-35)  x(s) =

1 —–  t

ζ +

æ è

1 -

1 —–  t

ö ø

ξ Î K

となるので、Jw の台の x による像は K に含まれる、すなわち Jw の台は Ω に含まれるコンパクト集合であることがわかります。

　次に、(16-24) の左辺第２項を評価するために、w が (16-9) で与えられたとすれば、(16-28),(16-30) により

(16-36)  yξ,t*w = yξ,t*(wk(x)) yξ,t*dxk(1) ^ ¼ ^ yξ,t*dxk(p) = t p wk( ξ + t (x - ξ) ) dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(p)

　ゆえに、

(16-37)

òΩ

r(ξ) yξ,t*w dξ = at(x) dxk(1) ^ ¼ ^ dxk(p)

　ここで、

(16-38)  at(x) = t p

òΩ

r(ξ) wk( ξ + t (x - ξ) ) dξ =

t p ———  (t - 1)n

òΩ

r

æ è

t x - ζ ——— t - 1

ö ø

wk(ζ) dζ

　ただし、積分変数を ξ から ζ = ξ + t (x - ξ) に変換しました。w_k は台がコンパクトゆえ可積分なので、Lebesgueの収束定理により、t ® ¥ のとき、

(16-39)

òΩ

r

æ è

t x - ζ ——— t - 1

ö ø

wk(ζ) dζ  ®  r(x)

òΩ

wk(ζ) dζ

となります。特に p = n なら、w_k の積分は、定義により w の M における積分に他なりませんから、

(16-40)	lim t®¥	at(x) =	ì ï í ï î	0       ( 0 £ p £ n - 1 )
				r(x)	òM	w       ( p = n )

となることがわかります。したがって、(16-24),(16-37),(16-40) と、p = n なら dw = 0 であることと、p = 0 なら Jw = 0 であることを使うと、

(16-41a)  w = Jdw       ( p = 0 のとき )

(16-41b)  w = Jdw + dJw       ( 1 £ p £ n - 1 のとき )

(16-41c)  w -

ì í î

r(x)

òM

w

ü ý þ

dx¹ ^ ¼ ^ dxn = dJw       ( p = n のとき )

となることがわかります。

　以上の結果から、次のような台がコンパクトな微分形式に対するPoincaréの補題が得られます。

Poincaréの補題２ 　w を Rn の凸領域と同型な n 次元多様体 M の台がコンパクトな p 形式とすると、次のことが成り立つ。 (a) p = 0 の場合： 　dw = 0 ならば、w = 0 である。 (b) 1 £ p £ n - 1 の場合： 　dw = 0 ならば、ある台がコンパクトな p - 1 形式 h によって w = dh と書ける（具体的には h = Jw と置けばよい）。 (c) p = n の場合： 　òM w = 0 なら、ある台がコンパクトな n - 1 形式 h によって w = dh と書ける（具体的には h = Jw と置けばよい）。

　さて、今度は Ω^n-p_o(M) の連続な演算子 d , J に対し、その双対空間 Ω' ^p(M ) から Ω' ^p+1(M ) への線形演算子 d と Ω' ^p(M ) から Ω' ^p-1(M ) への線形演算子 I' をそれぞれ次のように定義します：

(16-42)  á w, dq ñ = (-1)n-p á dw, q ñ       ( qÎΩ' p(M ) , wÎΩn-p-1o(M ) )

(16-43)  á w, I'q ñ = (-1)n-p+1 á Jw, q ñ       ( qÎΩ' p(M ) , wÎΩn-p+1o(M ) )

　このとき、(16-41) の各式で p を n - p に置き換えたものに qÎΩ' ^p(M) を施せば、次の関係式が成り立つことがわかります。

(16-44a)  q = dI'q       ( p = n のとき )

(16-44b)  q = dI'q + I'dq       ( 1 £ p £ n - 1 のとき )

(16-44c)  q - á r(x)dx¹ ^ ¼ ^ dxn, q ñ = I'dq       ( p = 0 のとき )

　これらから、次のようなカレントに対するPoincaréの補題が得られます。

Poincaréの補題３ 　q を Rn の凸領域と同型なn次元多様体 M のp次カレントとすると、次のことが成り立つ。 (a) p = 0 の場合： 　dq = 0 ならば、q は定数である。 (b) 1 £ p £ n - 1 の場合： 　dq = 0 ならば、ある p - 1 次カレント s によって q = ds と書ける（具体的には s = I'q と置けばよい）。 (c) p = n の場合： 　無条件で、ある n - 1 次カレント s によって q = ds と書ける（具体的には s = I'q と置けばよい）。

　また、Ω^n-p(M ) の連続な演算子 d , I に対し、その双対空間 Ω' ^p_o(M ) から Ω' ^p+1_o(M ) への線形演算子 d と Ω' ^p_o(M ) から Ω' ^p-1_o(M ) への線形演算子 J' をそれぞれ次のように定義します：

(16-45)  á w, dq ñ = (-1)n-p á dw, q ñ       ( qÎΩ' po(M) , wÎΩn-p-1(M ) )

(16-46)  á w, J'q ñ = (-1)n-p+1 á Iw, q ñ       ( qÎΩ' po(M ) , wÎΩn-p+1(M ) )

　このとき、(16-17) の各式で p を n - p に置き換えたものに qÎΩ' ^p_o(M ) を施すことにより、次の関係式が成り立つことがわかります。

(16-47a)  q - á 1, q ñ d 0 = dJ'q       ( p = n のとき )

(16-47b)  q = dJ'q + J'dq       ( 1 £ p £ n - 1 のとき )

(16-47c)  q = J'dq       ( p = 0 のとき )

　これらから、次のような台がコンパクトなカレントに対するPoincaréの補題が得られます。

Poincaréの補題４ 　w を Rn の星状領域と同型な n 次元多様体 M の台がコンパクトな p 次カレントとすると、次のことが成り立つ。 (a) p = 0 の場合： 　dq = 0 ならば、q = 0 である。 (b) 1 £ p £ n - 1の場合： 　dq = 0 ならば、ある台がコンパクトな p - 1 次カレント s によって q = ds と書ける（具体的には s = J'q と置けばよい）。 (c) p = n の場合： 　á 1, q ñ = 0 なら、ある台がコンパクトな n - 1 次カレント s によって q = ds と書ける（具体的には s = J'q と置けばよい）。