微分多様体

　本節では、計量というものを持った多様体におけるベクトル場の内積、外積や、体積分、面積分、線積分でおなじみの体積要素、面積要素、線素などを定義します。

　n次元多様体 M の n 形式 w は、至る所 0 でないとき（すなわち全ての sÎM に対して w_s ¹ 0 のとき）、これを体積要素と言います。向きの定義により、もし M に体積要素 w が一つでも存在すれば、M は向き付け可能です。向きのついた M において、各 sÎM における向きが w_s の向きと一致するとき、ω は M の（M は ω の）向きを持つということにします。
　さて、w が体積要素なら、任意の n 形式 a に対し、唯一つ 0 形式 f が存在して、

(19-1)  a = fw

と書けることは明らかで、このような f を a/w で表すことにします。また w を体積要素、b を任意の n - 1 形式とすれば、

(19-2)  b = iDw

を満たすベクトル場 D が唯一つ存在することが証明できます。その証明の準備として、n - 1 形式 h に対し、

(19-3)  任意の 0 形式 f に対して df ^ h = 0 ならば、h = 0

となることに注意しておきます。実際、h の標準表示は

(19-4)  h =

n å i=1

hi dx¹ ^ ¼ ^ dxi-1 ^ dxi+1 ^ ¼ ^ dxn

という形をしていますから、dxⁱ ^ h = 0 なら h_i = 0 となるからです。
　さて、(19-2) の証明に戻りましょう。任意の 0 形式 f に対し、df ^ b は n 形式ですから、Df = (df ^ b)/w と置くと、

(19-5)  df ^ b = (Df )w

となります。すると f , g を２つの 0 形式とすれば、

(19-6)  D( fg) = {d( fg) ^ b}/w = { fdg ^ b + gdf ^ b}/w = fDg + gDf

が成り立つので、D はベクトル場になっていることがわかります。さて、df ^ w は n 次元多様体の n + 1 形式ですから恒等的に 0 です。従って、これに i_D を施して (6-12) と (7-36) を用いれば、

(19-7)  0 = iD(df ^ w) = (iDdf )w - df ^ iDw = (Df )w - df ^ iDw

　よって、(19-5) と (19-7) により df ^ b = df ^ i_Dw が得られ、(19-3) により (19-2) が導かれます。

　さて、対称な２階の共変テンソル g は、任意の sÎM で正則、すなわち

(19-8)  すべての vÎTsM に対して gs(u, v) = 0 ならば、u = 0

が成り立つとき、(不定)計量と呼び、計量が与えられた多様体を Riemann多様体と呼びます。以下、

(19-9)  A · B = g(A, B)

とも書くことにし、左辺のように書いた場合、これを A と B の内積と呼びます。g の対称性を内積の記号で表せば

(19-10)  A · B = B · A

となります。次に、( p,1)-テンソル場 T とp個のベクトル場 D₁ ,¼, D_p に対して T(D₁ ,¼, D_p ) を

(19-11)  T(D1 ,¼, Dp ) f = T(D1 ,¼, Dp ; df )       (  fÎE(M) )

で定義すると、明らかに T(D₁ ,¼, D_p ) はベクトル場になります。これをベクトル値 p 階共変テンソル場とよび、これが引数に関して反対称のとき、ベクトル値 p 形式とよぶことにします。
　さらに、ベクトル場 D とベクトル値 p 階共変テンソル場 T から

(19-12)  (D · T )(D1 ,¼, Dp ) = D · {T(D1 ,¼, Dp )}

で定義される p 階共変テンソル D · T のことを D と T の内積と呼ぶことにします。

　ベクトル値 p 形式の具体例として、線素と呼ばれる(1,1)-テンソル場 ds を

(19-13)  ds(D, w) = w(D)

で定義します( s の外微分という意味ではなく、ds で一つの記号です )。(19-13) の w に df を代入すれば、ベクトル値 1 形式としての表現：

(19-14)  ds(D) = D

が得られます。また、ベクトル場 A との内積 A · ds として得られる 1 形式について、

(19-15)  (A · ds)(B) = A · {ds(B)} = A · B

が成り立ちます。ここで、逆に任意の１形式 w に対し、唯一つベクトル場 A が存在して

(19-16)  w = A · ds

と書けることを証明しましょう。

(19-17)  A =

n å i=1

Ai

¶  —– ¶xi

(19-18)  B =

n å  j=1

B j

¶  —– ¶xj

(19-19)  gij = g

æ è

¶  —– ¶xi

,

¶  —– ¶xj

ö ø

と置けば、

(19-20)  A · B =

n å i, j=1

gij Ai B j

ですから、(19-8) の条件は、M の全ての点で、行列 (g_ij)_i,j=1,¼,n が正則であることを意味しています。したがって、その逆行列 (g^ij)_i,j=1,¼,n が存在します。さて、

(19-21)  A · ds =

n å i, j=1

gij Aidxj

が成り立ちますから、任意の 1 形式 w を

(19-22)  w =

n å  j=1

wj dxj

と表したとき、

(19-23)  wj =

n å i=1

gij Ai

を満たす Aⁱ を求めればよく、これは

(19-24)  Ai =

n å k=1

gki wk

によって一意的に与えられることがわかります。以上で (19-16) を満たす A の存在と一意性が示されました。そこで、このような A のことを w/ds と表すことにします。

　次に、体積要素 w の向きを持つn次元多様体 M において、n個のベクトル場 A₁ ,¼, A_n に対し、

(19-25)  h = (A1 · ds) ^ ¼ ^ (An · ds)

と置くと、これは n 形式ですから、a(A₁ ,¼, A_n ) = h/w と置くと、

(19-26)  h = a(A1 ,¼, An ) w

と書けます。ところが h の定義から、a(A₁ ,¼, A_n ) は各 A_i に対して反対称なので、a は n 形式になっています。従って h = a/w と置くと、

(19-27)  a = hw

と書けます。(19-26),(19-27) により、

(19-28)  h = hw(A1 ,¼, An ) w

となります。一方 (19-25) から、

(19-29)  h(A1 ,¼, An ) =

å sÎSn

(-)s (A1 · ds)(As(1)) ¼ (An · ds)(As(n)) =

å sÎSn

(-)s(A1 · As(1)) ¼ (An · As(n)) = det [(Ai · Aj) i, j=1 ,¼, n ]

ただし [(A_i · A_j) _{i, j=1 ,¼, n} ] は A_i · A_j を第 ij 成分とする行列です。ここで g_ij を (19-19) で定義し、

(19-30)  Ai =

n å  j=1

Aij

¶  —– ¶xj

と置き、n次正方行列 A_x , g_x を A_x = [(A_i^j ) _{i, j=1 ,¼, n} ] , g_x = [(g_ij) _{i, j=1 ,¼, n} ] で定義すれば、

(19-31)  h(A1 ,¼, An ) = det(Ax gx Ax† ) = (det Ax )² det gx

　ただし、A_x^† は A_x の転置行列です。ゆえに (19-28) に A₁ ,¼, A_n を代入して (19-31) を使えば、

(19-32)  hw(A1 ,¼, An )² = (det Ax )² det gx

　この式から、A₁, ¼, A_n を一次独立にとれば、det A_x ¹ 0 となり、また g_x は至るところ正則な行列ですから、その行列式 det g_x は至るところ 0 になりません。
　ゆえに、h は至るところ 0 でなく、その符号は det g_x の符号に一致することがわかります。h は局所座標の取り方に依存しませんから、det g_x の符号も局所座標の取り方に依存しません。そこで、det g_x が正のとき (-)^g = 1 、負のとき (-)^g = - 1 という記号を導入することにし、体積要素 dV を

(19-33)  dV = Ö|h| w

で定義します( ただし dV は V の外微分という意味ではなく、dV で一つの記号です )。(19-25),(19-28),(19-33) により、次の式が成り立ちます。

(19-34)  (A1 · ds) ^ ¼ ^ (An · ds) = (-)g dV(A1 ,¼, An ) dV

　また、(19-34) を満たし M の向きを持つ体積要素 dV が一意に定まることも明らかですから、(19-34) を満たす dV のことを、計量 g に伴う体積要素と呼ぶことにします。この dV を局所座標で表してみましょう。

(19-35a)  w = dx¹ ^ ¼ ^ dxn

(19-35b)  Ai =

¶  —– ¶xi

と置くと、

(19-36)  w(A1 ,¼, An ) = dx¹ ^ ¼ ^ dxn

æ è

¶  —– ¶x1

,

¼

,

¶  —– ¶xn

ö ø

= 1

で、また A_i^j = d_i^j ですから、

(19-37)  det Ax = det [(Aij ) i, j=1 ,¼, n ] = 1

となるので、(19-32) により、

(19-38)  h = det gx

となります。従って、(19-33) により、dV は

(19-39)  dV = |det gx|½ dx¹ ^ ¼ ^ dxn

という表示を持つことがわかります。
　次に、

(19-40)  dS(D1 ,¼, Dn-1) = (-1)n-1{iDn-1 ¼ iD1dV }/ ds

と置き、これを面積要素と呼びます( ただし dS は S の外微分という意味ではなく、dS で一つの記号です )。(6-8) により、dS は反対称ですから、これはベクトル値 n - 1 形式になっています。これと任意のベクトル場 B の内積を取ると、

(19-41)  B · dS(D1 ,¼, Dn-1 )	= {dS(D1 ,¼, Dn-1) · ds}(B)
	= (-1)n-1{iDn-1 ¼ iD1dV }(B)
	= (-1)n-1 dV(D1 ,¼, Dn-1, B)
	= dV(B, D1 ,¼, Dn-1 )
	= (iBdV)(D1 ,¼, Dn-1 )

　すなわち、次の関係が成り立ちます。

(19-42)  B · dS = iBdV

　従って、(19-2) により、任意の n - 1 形式 w に対し、w = B · dS を満たすベクトル場 B が唯一つ存在します。これを w/dS で表すことにします。(19-42) で B = ¶/¶xⁱ と置いて (19-39) を使えば、dS の局所座標による表示：

(19-43)  dSi º

n å  j=1

gij dS j = |det gx|½ (-1)i-1 dx¹ ^ ¼ ^ dxi-1 ^ dxi+1 ^ ¼ ^ dxn

が得られます。また、ベクトル場 dS(D₁ ,¼, D_n-1 ) のことを、D₁ ,¼, D_n-1 の外積と呼びます。特に n = 3 のときは、２つのベクトル場に対する演算になるので、これを

(19-44)  A ´ B = dS(A, B)

とも書くことにします。局所座標成分で表せば、

(19-45a)  (A ´ B)1 = |det gx|½ ( A²B³ - A³B² )

(19-45b)  (A ´ B)2 = |det gx|½ ( A³B¹ - A¹B³ )

(19-45c)  (A ´ B)3 = |det gx|½ ( A¹B² - A²B¹ )

となります。また、dS の反対称性を記号 ´ を使って表せば

(19-46)  A ´ B = - B ´ A

となり、特に

(19-47)  A ´ A = 0

が成り立ちます。さて、n が一般の場合に戻り、ここで次の２つの関係式を導いておきます：

(19-48)  (A · ds) ^ (B · dS) = (A · B) dV

(19-49)  (A1 · ds) ^ ¼ ^ (An-1 · ds) = (-)g dS(A1 ,¼, An-1) · dS

　まず (19-48) の証明ですが、(A · ds) ^ dV はn次元多様体の n + 1 形式ですから消えます：

(19-50)  (A · ds) ^ dV = 0

　ゆえに、この両辺の B の内部積をとれば、(6-12) により

(19-51)  0 = iB{(A · ds) ^ dV} = iB(A · ds) dV - (A · ds) ^ iBdV = (A · B) dV - (A · ds) ^ (B · dS)

となって、(19-48) が示されました。

　次に、(19-48) で B に dS(A₁ ,¼, A_n-1 ) を代入すれば、(19-48),(19-42),(19-34) により、

(19-52)  (A · ds) ^ {dS(A1 ,¼, An-1 ) · dS}	= {A · dS(A1 ,¼, An-1 )}dV
	= iAdV(A1 ,¼, An-1) dV
	= dV(A, A1 ,¼, An-1 ) dV
	= (-)g (A · ds) ^ (A1 · ds) ^ ¼ ^ (An-1 · ds)

　ところで (19-16) により、任意の 1 形式、特に df の形の 1 形式に対し、df = A · ds となる A が存在しますから、(19-52) は

(19-53)  df ^ {dS(A1 ,¼, An-1 ) · dS} = (-)g df ^ {(A1 · ds) ^ ¼ ^ (An-1 · ds)}

となり、これと (19-3) により (19-49) が導かれます。(19-49) は n = 3 のときは

(19-54)  (A · ds) ^ (B · ds) = (-)g(A ´ B) · dS

となります。また (19-42) により、

(19-55)  A · (B ´ C ) = A · dS(B, C ) = (iAdV)(B, C ) = dV(A, B, C )

が成り立ちますから、dV(A, B, C ) = dV(B, C, A) = dV(C, A, B) により、

(19-56)  A · (B ´ C ) = B · (C ´ A) = C · (A ´ B)

という公式が得られます。さらに、(19-54) に (C, D) を代入すれば、

(19-57)  (A · C )(B · D) - (A · D)(B · C ) = (-)g (A ´ B) · (C ´ D)

が得られ、特に C = A , D = B と置き、A · A = A² のように書けば、

(19-58)  A²B² - (A · B)² = (-)g (A ´ B)²

となります。また、(19-57) の右辺を公式 (19-56) により (-)^g D · {(A ´ B) ´ C } と変形すれば、D が任意であることから、

(19-59)  (A · C )B - (B · C )A = (-)g (A ´ B) ´ C

という公式も得られます。(19-59) で A と C を入れ替え、右辺を (19-46) を２回使って変形すれば、

(19-60)  (A · C )B - (A · B)C = (-)g A ´ (B ´ C)

となります。

　次に、M のp次元部分多様体 (L, y) を考えます。

　y_* が T_sL の写像として単射のとき、s を L の正則点とよぶことにします。y_*( T_sL) を部分多様体 (L, y) の y(s) における接空間とよびますが、正則点とは、部分多様体の接空間がp次元である点のことに他なりません。
　正則点では L の局所座標 x と M の局所座標 y から (9-11) によって f を作ると、(8-38) のような g が存在するので、特に f は、したがって y は局所的に単射です。ゆえに局所的に考える場合は L のかわりに y(L) を考えることにより L Ì M とみなすことができます。

　また、計量 g の y による引き戻し g' = y*g が sÎL において条件 (19-8) を満たすとき、s を g' の正則点とよぶことにします。明かに正則点の集合上では g' は計量になっています。

　関係する写像の連続性により、L の正則点の集合も g' の正則点の集合も L の開集合になっています。どちらの正則点にもなっている点を単に正則点とよぶことにします。

　さて、超曲面（ = n - 1 次元部分多様体）S = (S', i) の正則点上の n - 1 形式 B · dS の積分における dS の意味を考えてみましょう。
　正則点のみを考えるので、S' = S Ì M かつ i は恒等写像として一般性を失いません。また g' は計量になるので、それに伴う S の体積要素 dS が存在します。そこで B_n = i*(B · dS)/dS と置くと、

(19-61)  i*(B · dS) = BndS

　一方 u₁, ¼ , u_n-1ÎT_sS に対し、

(19-62)  i*(B · dS)(u1 ,¼, un-1 ) = B · dS(i*u1 ,¼, i*un-1 )

　ただし、煩雑になるので添字の s は省略しました。(19-61),(19-62) により、

(19-63)  B · dS(i*u1 ,¼ ,i*un-1 ) = BndS(u1 ,¼, un-1 )

となります。一方 B_n(s) は B_sÎT_sM の線形な汎関数ですから、ある接ベクトル n_sÎT_sM が唯一つ存在して

(19-64)  Bn = B · n

が成り立ちます。これを (19-63) に代入すれば、B の任意性により、

(19-65)  dS(i*u1, ¼, i*un-1 ) = n dS(u1 ,¼, un-1 )

　これと i_*u_i ( i = 1 ,¼, n - 1 ) の内積をとれば、

(19-66)  i*ui · n dS(u1 ,¼, un-1 ) = i*ui · dS(i*u1 ,¼, i*un-1 ) = dV(i*ui , i*u1 ,¼, i*un-1 ) = 0

　そこで、u₁ ,¼, u_n-1 を一次独立にとれば、i_*u₁ ,¼, i_*u_n-1 は部分多様体 S の接空間を張り、

(19-67)  i*ui · n = 0

となるので、n_s は s における S の接空間に直交していることがわかります。一方 (19-49) から、

(19-68)  (i*u1 · ds) ^ ¼ ^ (i*un-1 · ds) = (-)g dS(i*u1 ,¼, i*un-1 ) · dS

が成り立ちますが、多様体 S における線素を ds' と書くことにすれば、

(19-69)  (i*u · ds)(i*v) = i*u · i*v = u · v = (u · ds' )(v)

ですから、(19-68) に (i_*u₁ ,¼, i_*u_n-1 ) を代入すると、

(19-70)  {(u1 · ds' ) ^ ¼ ^ (un-1 · ds' )}(u1 ,¼, un-1 ) = (-)g dS(i*u1 ,¼, i*un-1 )²

となります。一方 (19-34) を n - 1 次元多様体 S に適用すれば、

(19-71)  (u1 · ds' ) ^ ¼ ^ (un-1 · ds' ) = (-)g' dS(u1 ,¼, un-1 ) dS

　これに (u₁ ,¼,u_n-1) を代入すれば、

(19-72)  {(u1 · ds' ) ^ ¼ ^ (un-1 · ds' )}(u1 ,¼, un-1 ) = (-)g' dS(u1 ,¼, un-1 )²

　(19-70) と (19-72) を比較すれば、

(19-73)  dS(i*u1 ,¼, i*un-1 )² = ± dS(u1 ,¼, un-1 )²

　これと (19-65) により、n は

(19-74)  n² = ± 1

を満たすことがわかります。

　次に、曲線、すなわち1次元部分多様体 C = (C', i) の正則点上の 1 形式 A · ds の積分における ds の意味を考えます。
　正則点のみを考えるので、C' = C Ì M かつ i は恒等写像と仮定します。また g' は計量になるので、それに伴う C の体積要素 ds が存在します。そこで A_t = i*(A · ds)/ds と置くと、

(19-75)  i*(A · ds) = At ds

　一方 uÎT_sS に対し、

(19-76)  i*(A · ds)(u) = (A · ds)(i*u) = A · i*u

　ただし添字の s は省略しました。ゆえに、(19-75),(19-76) により

(19-77)  A · i*u = At ds(u)

となります。t = i_*u/ds(u) すなわち

(19-78)  i*u = t ds(u)

と置けば、

(19-79)  At = A · t

が成り立ちます。(19-34) を１次元多様体 C に適用すれば、

(19-80)  u · ds' = (-)g'ds(u) ds

　これに u を代入すれば、

(19-81)  u² = (u · ds' )(u) = (-)g'ds(u)²

　一方

(19-82)  (i*u)² = i*u · i*u = u · u = u²

　従って (19-78),(19-81),(19-82) により

(19-83)  t ² = ± 1

が成り立つことがわかります。しかも (19-78) により、t は C の接空間に平行であることもわかります。