微分多様体

20．演算子 div，rot，grad

　本節では、ベクトル解析でおなじみの演算子 div , rot , grad を多様体上で定義します。まず、0 形式にベクトル場を対応させる勾配（ gradient ）と呼ばれる演算子 grad を

(20-1) grad f = df/ds

で定義し、ベクトル場に 0 形式を対応させる発散（ divergence ）と呼ばれる演算子 div を

(20-2) div B = d(B · dS)/dV

で定義します。ちなみにこの右辺は (19-42) と (7-1) を使うと

(20-3) d(i_BdV)/dV = { L_BdV ~~- i~~_Bd(dV) }/dV

と変形されますが、dV はn次元多様体の n 形式ですから、その外微分 d(dV) は 0 です。従って、(20-2) はまた

(20-4) div B = L_BdV/dV

という計量を陽に含まない表示も持つことがわかります。
　また、n ~~= 3~~ の場合のみに限定されますが、ベクトル場にベクトル場を対応させる回転（ rotation ）と呼ばれる演算子 rot を

(20-5) rot A = d(A · ds)/dS

で定義します。(20-1),(20-2),(20-5) を書きかえると、

(20-6) grad f · ds = df

(20-7) rot A · dS = d(A · ds)

(20-8) div B dV = d(B · dS) = L_BdV

となりますが、これらの演算子に関して次の式が成り立つことを示すことができます。

(20-9) div rot A ~~= 0~~

(20-10) rot grad f ~~= 0~~

(20-11) grad( fg) = f grad g + g grad f

(20-12) div( fB) = f div B + grad f · B

(20-13) rot( fA) = f rot A + (-)^g grad f ´ A

(20-14) (-)^g div(A ´ B) = B · rot A - A · rot B

　これらの証明ですが、まず (20-8) の B に rot A を代入して (20-7) と (7-19) を使うと、

(20-15) div rot A dV = d(rot A · dS) = d{d(A · ds)} ~~= 0~~

となるので (20-9) が得られます。また、(20-7) の A に grad f を代入して (20-6) と (7-19) を使うと、

(20-16) rot grad f · dS = d(grad f · ds) = d(df ) ~~= 0~~

となるので (20-10) が得られます。また、(7-6),(20-6) により、

(20-17) grad( fg) · ds = d( fg) = fdg + gdf = f grad g · ds + g grad f · ds

ですから (20-11) が得られます。また、(7-3),(19-48) を使うと、

(20-18) div( fB) dV = d( fB · dS) = df ^ (B · dS) + f d(B · dS) = (grad f · ds) ^ (B · dS) + f div B dV = (grad f · B) dV + f div B dV

となって (20-12) が導かれました。また、(7-3),(19-54) により、

(20-19) rot( fA) · dS = d( fA · ds) = df ^ (A · ds) + fd(A · ds) = (grad f · ds) ^ (A · ds) + f rot A · dS = (-)^g(grad f ´ A) · dS + f rot A · dS

となって (20-13) が導かれました。最後に、(19-54),(7-3),(19-48) により、

(20-20) (-)^g div(A ´ B)dV = (-)^g d{(A ´ B) · dS}

= d{A · ds ^ B · ds}

= d(A · ds) ^ (B · ds) - (A · ds) ^ d(B · ds)

= (rot A · dS) ^ (B · ds) - (A · ds) ^ (rot B · dS)

= (B · ds) ^ (rot A · dS) - (A · ds) ^ (rot B · dS)

= (B · rot A)dV - (A · rot B)dV

となって (20-14) が得られました。

　さて、これらの演算子 div , rot , grad が関係するStokesの定理やPoincaréの補題を考察してみましょう。
　最初にStokesの定理ですが、(12-16) で N にn次元部分多様体 Ω を、w に n ~~- 1~~ 形式 B · dS をそれぞれ代入すれば、(20-8) により d~~w =~~ div B dV となるので、

(20-21) ò_Ω div B dV = ~~ò_¶Ω~~ B · dS

が得られます。これは Gaussの定理としてよく知られているものです。次に n ~~= 3~~ とし、(12-16) で N に M の曲面、すなわち２次元部分多様体 S を、w に１形式 A · ds をそれぞれ代入すれば、(20-7) により d~~w =~~ rot A · dS となるので、

(20-22) ò_S rot A · dS = ~~ò_¶S~~ A · ds

が得られます。狭い意味で Stokesの定理と呼ばれているのはこれです。次に、再び一般の n の場合にもどり、(12-16) で N に M の曲線、すなわち１次元部分多様体 C を、w に 0 形式 f をそれぞれ代入すれば、(20-6) により d~~w =~~ grad f · ds となるので、

(20-23) ò_C grad f · ds = ~~ò_¶C~~ f

が得られます。この右辺は表示こそ積分ですが、実際は曲線 C の端点における f の値もしくはその符号を変えたものを C のすべての端点について加えたものです。詳しく言うと、¶C の向きの定義により、端点 s の近傍が C の向きを持つ局所座標で R の正の部分に写る場合、言いかえると s が C の始点のときは - f(s) を、そうでない場合、すなわち s が C の終点のときは f(s) を、それぞれ加えたものということになります。

　さて、部分多様体 (S, i) や (C, i) がすべての点で正則で、かつ埋め込み i が大域的にも単射ならば、(19-61) 又は (19-75) により i*(B · dS) = B_ndS , i*(A · ds) = A_tds と書けるので、一連の Stokesの定理 (20-21)~(20-23) を

(20-24) ò_Ω div B dV = ~~ò_¶Ω~~ B_ndS

(20-25) ò_S (rotA)_n dS = ~~ò_¶S~~ A_tds

(20-26) ò_C (grad f )_tds = ~~ò_¶C~~ f

のように書くこともできます。

　さて、次は動く多様体上の積分です。その前に準備として、内部積 i_v に関する公式をいくつか提示しておきましょう。

(20-27) i_v(rdV) ~~= r~~v · dS

(20-28) i_v(B · dS) = (B ´ v) · ds ( n ~~= 3~~ )

(20-29) i_v(A · ds) = A · v

　これらの証明ですが、まず (20-27) は、(19-42) により

(20-30) i_v(rdV) ~~= ri~~_vdV ~~= r~~v · dS

　また (20-28) は、(19-56) により、

(20-31) i_v(B · dS)(D) = B · dS(v, D) = B · (v ´ D) = D · (B ´ v) = (B ´ v) · ds(D)

　また (20-29) は、

(20-32) i_v(A · ds) = A · ds(v) = A · v

　ゆえに、(20-6)~(20-8),(20-27)~(20-29) と (7-1) を用いると、次の公式が得られます。

(20-33) L_v(rdV) ~~= i~~_vd(rdV) + di_v(rdV) ~~= 0 +~~ d(rv · dS) = div(rv) dV

(20-34) L_v(B · dS) ~~= i~~_vd(B · dS) + di_v(B · dS) ~~= i~~_v(div B dV) + d{(B ´ v) · ds} = {v div B + rot(B ´ v)} · dS

(20-35) L_v(A · ds) ~~= i~~_vd(A · ds) + di_v(A · ds) ~~= i~~_v(rot A · dS) + d(A · v) = { rot A ´ v + grad(A · v)} · ds

　さて、以下では t に依存することを示す添え字のパラメター t は省略します。まず (15-12) で N_t にn次元の動く部分多様体 Ω を、w_t に rdV を代入すると、

(20-36) d
—–
dt ò_Ω ~~rdV =~~ ò_Ω ì
í
î ¶r
—–
¶t dV+ L_v(rdV) ü
ý
þ = ò_Ω ì
í
î ¶r
—–
¶t + div(rv) ü
ý
þ dV = ò_Ω ¶r
—–
¶t dV + ~~ò_¶Ω~~ rv · dS

　次に n ~~= 3~~ として、(15-12) で N_t に動く曲面 S を、w_t に B · dS を代入すると、

(20-37) d
—–
dt ò_S B · dS = ò_S ì
í
î ¶B
—–
¶t ·dS + L_v(B · dS) ü
ý
þ = ò_S ì
í
î ¶B
—–
¶t + v div B + rot(B ´ v) ü
ý
þ · dS = ò_S ì
í
î ¶B
—–
¶t + v div B ü
ý
þ · dS + ~~ò_¶S~~ (B ´ v) · ds

　また (15-12) で N_t に動く曲線 C を、w_t に A · ds を代入すると、

(20-38) d
—–
dt ò_C A · ds = ò_C ì
í
î ¶A
—–
¶t ·ds + L_v(A · ds) ü
ý
þ = ò_C ì
í
î ¶A
—–
¶t + rot A ~~´ v +~~ grad(A · v) ü
ý
þ · ds = ò_C ì
í
î ¶A
—–
¶t ~~+ rot A ´~~ v ü
ý
þ · ds + ~~ò_¶C~~ A · v

　という公式が得られました。

　次に、Poincaréの補題を div , rot , grad により記述してみます。まず次のことに注意します。

(20-39a) 0 形式 f については、df = grad f · ds

(20-39b)
1 形式は一般に ~~w =~~ A · ds と書け、n ~~= 3~~ ならば d~~w =~~ rot A · dS

(20-39c)
n ~~- 1~~ 形式は一般に ~~w =~~ B · dS と書け、d~~w =~~ div B dV

(20-39d)
n 形式は一般に ~~w = r~~dV と書け、d~~w = 0~~

　よって第16節のPoincaréの補題１を適用すれば、Rⁿ の星状領域と同型なn次元多様体 M で次の命題が成り立ちます。

(20-40a) f が grad f ~~= 0~~ を満たせば f は定数である。

(20-40b)
n ~~= 3~~ のとき、A が rot A ~~= 0~~ を満たせば A = grad f と書ける。

(20-40c)
n ~~= 3~~ のとき、B が div B ~~= 0~~ を満たせば B = rot A と書ける。

(20-40d)
0 形式 r は無条件で ~~r =~~ div B と書ける。

　また、第16節のPoincaréの補題２を適用すれば、Rⁿ の凸領域と同型なn次元多様体 M で次の命題が成り立ちます。

(20-41a) 台がコンパクトな f が grad f ~~= 0~~ を満たせば f ~~= 0~~ である。

(20-41b)
n ~~= 3~~ のとき、台がコンパクトな A が rot A ~~= 0~~ を満たせば、台がコンパクトな f により A = grad f と書ける。

(20-41c)
n ~~= 3~~ のとき、台がコンパクトな B が div B ~~= 0~~ を満たせば、台がコンパクトな A により B = rot A と書ける。

(20-41d)
台がコンパクトな 0 形式 r が ~~ò_M rdV = 0~~ を満たせば、台がコンパクトな B により ~~r =~~ div B と書ける。

　最後に div , rot , grad の局所座標による成分表示を求めておきましょう。なお、今後はEinsteinの表記法により、同一項で２箇所（以上）に出てくる同一の添字については和を取るものとし、和を表わす å を省略します。(19-39),(19-43) により

(20-42) A · ds = g_ij Aⁱdx^j = A_j dx^j

(20-43) B · dS = BⁱdS_i = (-1)^i-1 |det g_x|^½ Bⁱ dx¹ ^ ¼ ^ dx^i-1 ^ dxⁱ⁺¹ ^ ¼ ^ dxⁿ

(20-44) rdV ~~= r~~ |det g_x|^½ dx¹ ^ ¼ ^ dxⁿ

が成り立ちますから、grad f の共変成分 grad_if は、

(20-45) ¶f
—–
¶xⁱ · dxⁱ = df = grad_if · dxⁱ

ゆえに、

(20-46) grad_if = ¶f
—–
¶xⁱ

また、(20-8),(20-43) により、

(20-47) div B dV = d(Bⁱ dS_i) = (-1)^i-1 d( |det g_x|^½ Bⁱ ) ^ dx¹ ^ ¼ ^ dx^i-1 ^ dxⁱ⁺¹ ^ ¼ ^ dxⁿ = ¶
—–
¶xⁱ ( |det g_x|^½ Bⁱ ) dx¹ ^ ¼ ^ dxⁿ

なので、(20-44) により、

(20-48) div B = 1
———–
|det g_x|^½ ¶
—–
¶xⁱ ( |det g_x|^½ Bⁱ )

　また、n ~~= 3~~ のとき、rot A の反変成分を rotⁱA と書くと、(20-7) により、

(20-49) rotⁱ A dS_i = d(A_j dx^j) = ¶A_j
——
¶xⁱ dxⁱ^ dx^j

ですから、(20-43) により

(20-50a) rot¹ A = 1
———–
|det g_x|^½ æ
è ¶A₃
——
¶x² - ¶A₂
——
¶x³ ö
ø

(20-50b) rot² A = 1
———–
|det g_x|^½ æ
è ¶A₁
——
¶x³ - ¶A₃
——
¶x¹ ö
ø

(20-50c) rot³ A = 1
———–
|det g_x|^½ æ
è ¶A₂
——
¶x¹ - ¶A₁
——
¶x² ö
ø

という式が得られます。

(20-20) (-)^g div(A ´ B)dV	= (-)^g d{(A ´ B) · dS}
	= d{A · ds ^ B · ds}
	= d(A · ds) ^ (B · ds) - (A · ds) ^ d(B · ds)
	= (rot A · dS) ^ (B · ds) - (A · ds) ^ (rot B · dS)
	= (B · ds) ^ (rot A · dS) - (A · ds) ^ (rot B · dS)
	= (B · rot A)dV - (A · rot B)dV

(20-39a)	0 形式 f については、df = grad f · ds
(20-39b)	1 形式は一般に ~~w =~~ A · ds と書け、n ~~= 3~~ ならば d~~w =~~ rot A · dS
(20-39c)	n ~~- 1~~ 形式は一般に ~~w =~~ B · dS と書け、d~~w =~~ div B dV
(20-39d)	n 形式は一般に ~~w = r~~dV と書け、d~~w = 0~~

(20-40a)	f が grad f ~~= 0~~ を満たせば f は定数である。
(20-40b)	n ~~= 3~~ のとき、A が rot A ~~= 0~~ を満たせば A = grad f と書ける。
(20-40c)	n ~~= 3~~ のとき、B が div B ~~= 0~~ を満たせば B = rot A と書ける。
(20-40d)	0 形式 r は無条件で ~~r =~~ div B と書ける。

(20-41a)	台がコンパクトな f が grad f ~~= 0~~ を満たせば f ~~= 0~~ である。
(20-41b)	n ~~= 3~~ のとき、台がコンパクトな A が rot A ~~= 0~~ を満たせば、台がコンパクトな f により A = grad f と書ける。
(20-41c)	n ~~= 3~~ のとき、台がコンパクトな B が div B ~~= 0~~ を満たせば、台がコンパクトな A により B = rot A と書ける。
(20-41d)	台がコンパクトな 0 形式 r が ~~ò_M rdV = 0~~ を満たせば、台がコンパクトな B により ~~r =~~ div B と書ける。