微分多様体

　本節では、今までに定義してきた演算子間の関係式を導きます。まず最初に、p 形式 w の外微分が対称なアファイン接続による共変微分によって

(22-1)  (dw)(D1 ,¼, Dp+1) =

1 —–  p!

å sÎSp+1

(-)s (Ñw)(Ds(1) ,¼, Ds(p+1))

と表わせることを確かめます。実際、この式の右辺を、和の各項が D_s(2) ,¼, D_s(p+1) について反対称であることに注意して変形すると、

(22-2)  p+1 å i=1 (-1)i-1 (Ñw)(Di , D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Dp+1)
	= p+1 å i=1 (-1)i-1 Di{w(D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Dp+1)
		- p+1 å i=1 (-1)i-1  i-1 å  j=1 w(D1 ,¼, ÑDi Dj ,¼, Ù Di   ,¼, Dp+1) - p+1 å i=1 (-1)i-1  p+1 å  j=i+1 w(D1 ,¼, Ù Di   ,¼, ÑDi Dj ,¼, Dp+1)
	= p+1 å i=1 (-1)i-1 Di{w(D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Dp+1)
		- p+1 å i=1 i-1 å  j=1 (-1)i+j w(ÑDi Dj , D1 ,¼, Ù Dj   ,¼, Ù Di   ,¼, Dp+1) - p+1 å i=1 p+1 å  j=i+1 (-1)i+j-1 w(ÑDi Dj , D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Ù Dj   ,¼, Dp+1)
	= p+1 å i=1 (-1)i-1 Di{w(D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Dp+1)} +   å i< j (-1)i+j w(ÑDi Dj - ÑDj Di , D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Ù Dj   ,¼, Dp+1)
	= p+1 å i=1 (-1)i-1 Di{w(D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Dp+1)} +   å i< j (-1)i+j w( [Di , Dj] , D1 ,¼, Ù Di   ,¼, Ù Dj   ,¼, Dp+1)

　となって (7-34) により dw に一致することがわかります。
　次に、共変微分を外微分とLie微分を使って表わしてみましょう。(7-34) により、1 形式 w に対し、

(22-3)  dw(A, C) = A(w(C)) - C(w(A)) - w( [A, C] )

となるので w = B · ds と置けば、

(22-4)  d(B · ds)(A, C) = A(B · C) - C(B · A) - B · [A, C]

　また、計量 g に対し、Lie微分の定義式 (5-7),(5-1) と (19-9) により

(22-5)  ( LBg)(A, C) = B(A · C) - ( LBA) · C - A · LBC = B(A · C) - [B, A] · C - A · [B, C] = B(A · C) + C · [A, B] - A · [B, C]

　よって (22-4),(22-5) を辺々加えると、(21-25) により

(22-6)  d(B · ds)(A, C) + ( LBg)(A, C) = {A ; B, C} + {B ; A, C} - {C ; A, B}

　ゆえに (21-24) により

(22-7)  C · ÑAB =

d(B · ds)(A, C) + ( LBg)(A, C) ————————————–  2

という関係式が得られます。
　今度は、線素、体積要素、面積要素の共変微分を計算してみましょう。(21-6),(21-19) により、

(22-8)  {ÑA(B · ds)}(C) = ÑA{(B · ds)(C)} - (B · ds)(ÑAC) = ÑA(B · C) - B · ÑAC = C · ÑAB = (ÑAB · ds)(C)

で C は任意ですから

(22-9)  ÑA(B · ds) = ÑAB · ds

が得られます。
　次に体積要素の共変微分を考えます。第19節の (19-34) によれば

(22-10)  (-)g (B1 · ds) ^ ¼ ^ (Bn · ds) = dV(B1 ,¼, Bn ) dV

　ここで特定の B_i を Ñ_AB_i に置き換えて (22-9) を用いると、

(22-11)  (-)g (B1 · ds) ^ ¼ ^ (Bi-1 · ds) ^ ÑA(Bi · ds) ^ (Bi+1 · ds) ^ ¼ ^ (Bn · ds) = dV(B1 ,¼, Bi-1 , ÑABi , Bi+1 ,¼, Bn ) dV

　これを i について 1 から n まで動かして辺々加え、左辺を (21-16) により、右辺を (21-6) と (21-4) によりそれぞれ変形すれば、

(22-12)  (-)g ÑA{(B1 · ds) ^ ¼ ^ (Bn · ds)}	= A{dV(B1 ,¼, Bn )} dV - (ÑAdV)(B1 ,¼, Bn ) dV
	= ÑA{dV(B1 ,¼, Bn ) dV} - dV(B1 ,¼, Bn ) ÑAdV - (ÑAdV)(B1 ,¼, Bn ) dV

となります。ここで (22-10) の両辺に Ñ_A を施したものを辺々差し引けば、

(22-13)  dV(B1 ,¼, Bn ) ÑAdV + (ÑAdV)(B1 ,¼, Bn ) dV = 0

が得られ、これに B₁ ,¼, B_n を代入し、これらが一時独立なときは、両辺を dV(B₁ ,¼, B_n ) で割れば、B₁ ,¼, B_n の任意性により、

(22-14)  ÑAdV = 0

が得られます。
　次は面積要素です。

(22-15)  {ÑA(B · dS)}(C, D)	= ÑA{(B · dS)(C, D)} - (B · dS)(ÑAC, D) - (B · dS)(C, ÑAD)       ( ∵ (21-6) )
	= ÑA{dV(B, C, D)} - dV(B, ÑAC, D) - dV(B, C, ÑAD)       ( ∵ (19-41) )
	= {ÑAdV}(B, C, D) + dV(ÑAB, C,D)       ( ∵ (21-6) )
	= (ÑAB · dS)(C, D)       ( ∵ (22-14)  ,(19-41) )

　C , D は任意ですから

(22-16)  ÑA(B · dS) = ÑAB · dS

が得られます。これを用いると、3 次元の場合、

(22-17)  D · ÑA(B ´ C)	= ÑA{D · (B ´ C)} - ÑAD · (B ´ C)       ( ∵ (21-19) )
	= ÑA{(D · dS)(B, C)} - (ÑAD · dS)(B, C)       ( ∵ (19-55) )
	= ÑA{(D · dS)(B, C)} - {ÑA(D · dS)}(B, C)       ( ∵ (22-16) )
	= (D · dS)(ÑAB, C) + (D · dS)(B, ÑAC)       ( ∵ (21-6) )
	= D · (ÑAB ´ C) + D · (B ´ ÑAC)       ( ∵ (19-55) )

となり、D は任意ですから

(22-18)  ÑA(B ´ C) = ÑAB ´ C + B ´ ÑAC

が得られます。また、

(22-19)  d(A · ds)(B, C)	= Ñ(A · ds)(B, C) - Ñ(A · ds)(C, B)       ( ∵ (22-1) )
	= ÑB(A · ds)(C) - ÑC (A · ds)(B)       ( ∵ (21-17) )
	= (ÑBA · ds)(C) - (ÑC A · ds)(B)       ( ∵ (22-9) )
	= C · ÑBA - B · ÑC A

　この結果を３次元の場合に適用すると、

(22-20)  (A ´ rot B) · C	= rot B · (C ´ A)       ( ∵ (19-56) )
	= rot B · dS(C, A)       ( ∵ (19-55) )
	= d(B · ds)(C, A)       ( ∵ (20-7) )
	= A · ÑC B - C · ÑAB       ( ∵ (22-19) )

　ゆえに、A と B を入れ替えたものを辺々加えれば、

(22-21)  (A ´ rot B + B ´ rot A) · C = C(A · B) - C · (ÑAB + ÑBA) = C · { grad(A · B) - (ÑAB + ÑBA) }

　ただし、最初の等号で (21-19) を、最後の等号で

(22-22)  Cf = df(C) = (grad f · ds)(C) = C · grad f

を使いました。(22-21) で C は任意ですから次の公式が得られます。

(22-23)  grad(A · B) = A ´ rot B + B ´ rot A + ÑAB + ÑBA

　また、3 次元の場合、

(22-24)  d(A · dS)(B, C, D)	= Ñ(A · dS)(B, C, D) - Ñ(A · dS)(C, B, D) + Ñ(A · dS)(D, B, C)       ( ∵ (22-1) )
	= ÑB(A · dS)(C, D) - ÑC (A · dS)(B, D) + ÑD(A · dS)(B, C)       ( ∵ (21-17) )
	= (ÑBA · dS)(C, D) - (ÑC A · dS)(B, D) + (ÑDA · dS)(B, C)       ( ∵ (22-16) )

　ゆえに

(22-25)  {B div A - ÑBA} · dS(C, D)	= div A dV(B, C, D) - ÑBA · dS(C, D)       ( ∵ (19-55) )
	= d(A · dS)(B, C, D) - (ÑBA · dS)(C, D)       ( ∵ (20-8) )
	= - (ÑC A · dS)(B, D) + (ÑDA·dS)(B, C)       ( ∵ (22-24) )
	= - dV(ÑC A, B, D) + dV(ÑDA, B, C)       ( ∵ (19-55) )
	= - D · (ÑC A ´ B) + C · (ÑDA ´ B)       ( ∵ (19-55) )

　A と B を入れ替えれて (19-46) を、用いれば、

(22-26)  {A div B - ÑAB} · dS(C, D) = D · (A ´ ÑC B) - C · (A ´ ÑDB)

　一方、

(22-27)  {rot(A ´ B) · dS}(C, D)	= d{(A ´ B) · ds}(C, D)       ( ∵ (20-7) )
	= D · ÑC (A ´ B) - C · ÑD(A ´ B)       ( ∵ (22-19) )
	= D · (ÑC A ´ B + A ´ ÑC B) - C · (ÑDA ´ B + A ´ ÑDB)       ( ∵ (22-18) )

　(22-25)~(22-27) を比較し、C , D が任意であることを使うと、次の公式が得られます。

(22-28)  rot(A ´ B) = A div B - B div A - ÑAB + ÑBA