微分多様体

23．曲率テンソル

　p 階テンソル T に共変微分を２回施してみます。A , B をベクトル、αi をベクトル又は１形式とすると、(21-13),(21-17) により、

(23-1)  (ÑÑT )(A, B, α1 ,¼, αp )
= (ÑAÑT )(B, α1 ,¼, αp )}

= A{(ÑT )(B, α1 ,¼, αp )} - (ÑT )(ÑAB, α1 ,¼, αp ) -  p
å
i=1		 (ÑT )(B, α1 ,¼, αi-1 , ÑAαi , αi+1 ,¼, αp )

= A{(ÑBT )(α1 ,¼, αp )} - (ÑCT )(α1 ,¼, αp ) -  p
å
i=1		 (ÑBT )(α1 ,¼, αi-1 , ÑAαi , αi+1 ,¼, αp )       ( C = ÑAB )

= (ÑAÑBT )(α1 ,¼, αp ) - (ÑCT )(α1 ,¼, αp )

　そこで A と B を入れ替えて辺々引くと、(21-5) により、

(23-2)  (ÑÑT )(A, B, α1 ,¼, αp ) - (ÑÑT )(B, A, α1 ,¼, αp ) = ( [ÑA , ÑB]T - Ñ[A, B]T )(α1 ,¼, αp )

となります。そこで、与えられたベクトル場 A , B に対し、テンソルに同タイプのテンソルを対応させる演算子 RA,B を

(23-3)  RA,B = [ÑA ,ÑB] - Ñ[A, B]

で定義すれば、(23-2) は

(23-4)  (ÑÑT )(A, B, α1 ,¼, αp ) - (ÑÑT )(B, A, α1 ,¼, αp ) = (RA,BT )(α1 ,¼, αp )

と書くことができます。RA,B に関しては、まず反対称性：

(23-5)  RA,B = - RB, A

が成り立ちますが、(23-4) により A , B に関する E(M )-線形性：

(23-6)  RA+A',B = RA,B + RA',B

(23-7)  R fA,B = fRA,B

(23-8)  RA,B+B' = RA,B + RA,B'

(23-9)  RA, f B = fRA,B

も明らかです。また (21-13) により、

(23-10)  (ÑAÑBT )(α1 ,¼, αp )
= A{(ÑBT )(α1 ,¼, αp )} -  p
å
i=1		 (ÑBT )(α1 ,¼, αi-1 , ÑAαi , αi+1 ,¼, αp )
= AB{T(α1 ,¼, αp )} -  p
å
i=1		 A{T(α1 ,¼, αi-1 , ÑBαi , αi+1 ,¼, αp )}
          -  p
å
i=1		 B{T(α1 ,¼, αi-1 , ÑAαi , αi+1 ,¼, αp )} +  
å
 j< i		 T(α1 ,¼, αj-1 , ÑBαj , αj+1 ,¼, αi-1 , ÑAαi , αi+1 ,¼, αp )
          +  p
å
i=1		 T(α1 ,¼, αi-1 , ÑBÑAαi , αi+1 ,¼, αp ) +  
å
i< j		 T(α1 ,¼, αi-1 , ÑAαi , αi+1 ,¼, αj-1 , ÑBαj , αj+1 ,¼, αp )

が成り立ちますが、A と B を入れ替えて辺々引けば、

(23-11)  ( [ÑA , ÑB]T )(α1 ,¼, αp ) = [A, B]{T(α1 ,¼, αp )} -  p
å
i=1		 T(α1 ,¼, αi-1 , [ÑA , ÑB]αi , αi+1 ,¼, αp )

　一方、(21-13) により

(23-12)  (Ñ[A, B]T )(α1 ,¼, αp ) = [A, B]{T(α1 ,¼, αp )} -  p
å
i=1		 T(α1 ,¼, αi-1 , Ñ[A, B]αi , αi+1 ,¼, αp )

が成り立ちますから、(23-11) から (23-12) を辺々引いて (23-3) を使えば、

(23-13)  (RA,BT )(α1 ,¼, αp )= -  p
å
i=1		 T(α1 ,¼, αi-1 , RA,Bαi , αi+1 ,¼, αp )

という公式が得られます。これにより、演算子 RA,B の E(M )-線形性：

(23-14)  RA,B(S+T ) = RA,BS + RA,BT

(23-15)  RA,B( fT ) = fRA,B(T )

も明らかです。また、(23-13) で T = f と置けば、p = 0 ですから

(23-16)  RA,B f = 0

となります。さて、

(23-17)  RA,B(C · D) = [ÑA , ÑB](C · D) - Ñ[A, B](C · D)       ( ∵ (23-3) )

= ÑA(ÑBC · D + C · ÑBD) - ÑB(ÑAC · D + C · ÑAD) - Ñ[A, B]C · D - C · Ñ[A, B]D       ( ∵ (21-7),(21-19) )

= [ÑA , ÑB]C · D + C · [ÑA , ÑB]D - Ñ[A, B]C · D - C · Ñ[A, B]D

= RA,BC · D + C · RA,BD       ( ∵ (23-3) )

　一方 (23-16) を f = C · D について適用すれば (23-17) の左辺は 0 になります。したがって

(23-18)  RA,BC · D = - RA,BD · C

が得られます。次に

(23-19)  RA,BC = [ÑA , ÑB]C - Ñ[A, B]C       ( ∵ (23-3) )

= [ÑA , ÑB]C - ÑC [A, B] + [C, [A, B]]       ( ∵ (21-5) )

= [ÑA , ÑB]C - ÑC (ÑAB - ÑBA) + [C, [A, B]]       ( ∵ (21-5) )

= ÑAÑBC - ÑCÑAB + ÑCÑBA - ÑBÑAC + [C, [A, B]]

　これを変数を巡回させて加え、(1-46) を使うと、

(23-20)  RA,BC + RB,C A + RC, AB = [C, [A, B]] + [A, [B, C]] + [B, [C, A]] = 0

という関係式が得られます。これらの関係を使うと、

(23-21)  RA,BC · D = - RB,C A · D - RC, AB · D       ( ∵ (23-20) )

= RB,C D · A + RC, AD · B       ( ∵ (23-18) )

= - RC,DB · A - RD,BC · A - RA,DC · B - RD,C A · B       ( ∵ (23-20) )

= RC,DA · B + RD,BA · C + RA,DB · C + RC,DA · B       ( ∵ (23-18),(23-5) )

= RC,DA · B - RB, AD · C + RC,DA · B       ( ∵ (23-20) )

= RC,DA · B - RA,BC · D + RC,DA · B       ( ∵ (23-18),(23-5) )

となるので

(23-22)  RA,BC · D = RC,DA · B

が成り立ちます。さて、

(23-23)  R(A, B ; C, D) = RA,BC · D

と置くと、(23-6)~(23-9),(23-14),(23-15) により、R は４階の共変テンソルになりますが、これを曲率テンソルといいます。この曲率テンソルを用いると、(23-5),(23-18),(23-22),(23-20) の関係式は、それぞれ

(23-24)  R(A, B ; C, D) = - R(B, A ; C, D)

(23-25)  R(A, B ; C, D) = - R(A, B ; D, C)

(23-26)  R(A, B ; C, D) = R(C, D ; A, B)

(23-27)  R(A, B ; C, D) + R(B, C ; A, D) + R(C, A ; B, D) = 0

と書くことができます。次に、(1-46) と同様にして証明されるJacobiの恒等式：

(23-28)  [ÑA , [ÑB , ÑC] + [ÑB , [ÑC , ÑA] + [ÑC , [ÑA , ÑB] = 0

を (23-3) を用いて変形すると、

(23-29)  0 = [ÑA , RB,C] + [ÑB , RC, A] + [ÑC , RA,B] + [ÑA , Ñ[B, C]] + [ÑB , Ñ[C, A]] + [ÑC , Ñ[A, B]]

= [ÑA , RB,C] + [ÑB , RC, A] + [ÑC , RA,B] + RA,[B, C] + RB,[C, A] + RC,[A, B] + Ñ[A, [B, C]] + Ñ[B, [C, A]] + Ñ[C, [A, B]]

= [ÑA , RB,C] + [ÑB , RC, A] + [ÑC , RA,B] + RA,[B, C] + RB,[C, A] + RC,[A, B]

　ただし最後の等号は (1-46) を使いました。一方、任意のベクトル場 D , E に対し、

(23-30)  ( [ÑA , RB,C] + RA,[B, C] )D · E = ÑA(RB,C D) · E - (RB,CÑAD) · E + RA,[B, C]D · E

= A(RB,CD · E ) - RB,C D · ÑAE - (RB,CÑAD) · E + RD,EA · [B, C]       ( ∵ (21-19),(23-22) )

= A(RB,CD · E ) - RB,C D · ÑAE - (RB,CÑAD) · E + RD,EA · (ÑBC - ÑC B)       ( ∵ (21-5) )

= A{R(B, C ; D, E )} - R(B, C ; D, ÑAE ) - R(B, C ; ÑAD , E ) + R(D, E ; A , ÑBC) - R(D, E ; A, ÑC B)

= A{R(B, C ; D, E )} - R(B, C ; D, ÑAE ) - R(B, C ; ÑAD , E ) - R(ÑBC , A ; D, E ) - R(A, ÑC B ; D, E )

となります。ただし下から２番目の等号で (23-23) を、最後の等号で (23-26) と (23-24) を使いました。(23-30) を A , B , C についてサイクリックに入れ替えて辺々加えれば、左辺は (23-29) により 0 となるので、

(23-31)  0 = A{R(B, C ; D, E )} - R(B, C ; D, ÑAE ) - R(B, C ; ÑAD , E ) - R(ÑBC , A ; D, E ) - R(A, ÑC B ; D, E )
           
+ B{R(C, A ; D, E )} - R(C, A ; D, ÑBE ) - R(C, A ; ÑBD , E ) - R(ÑC A , B ; D, E ) - R(B, ÑAC ; D, E )

+ C{R(A, B ; D, E )} - R(A, B ; D, ÑC E ) - R(A, B ; ÑC D , E ) - R(ÑAB , C ; D, E ) - R(C, ÑBA ; D, E )

= A{R(B, C ; D, E )} - R(ÑAB , C ; D, E ) - R(B, ÑAC ; D, E ) - R(B, C ; ÑAD , E ) - R(B, C ; D, ÑAE )

+ B{R(C, A ; D, E )} - R(ÑBC , A ; D, E ) - R(C, ÑBA ; D, E ) - R(C, A ; ÑBD , E ) - R(C, A ; D, ÑBE )

+ C{R(A, B ; D, E )} - R(ÑC A , B ; D, E ) - R(A, ÑC B ; D, E ) - R(A, B ; ÑC D , E ) - R(A, B ; D, ÑC E )

= (ÑAR)(B, C ; D, E ) + (ÑBR)(C, A ; D, E ) + (ÑC R)(A, B ; D, E )

という等式が得られます。これをBianchiの恒等式といいます。

　ここで、曲率テンソルを成分表示してみましょう。R¶/¶xi , ¶/¶xj を Ri, j と略記して

(23-32)  Ri, j æ
è		  
—–
 ¶xk		 ö
ø		 = Rijkl  
—–
 ¶xl

と書くことにします。Ѷ/¶xi も Ñi と略記することにすれば、(1-30) と (21-36) により

(23-33)  Ñj æ
è		  
—–
 ¶xk		 ö
ø		 = Ñj æ
è		  
—–
 ¶xk		 ö
ø		 (xi)   
—–
 ¶xi		 = Γ ijk  
—–
 ¶xi

であり、(23-3) により

(23-34)  Ri,j = [Ñi , Ñj]

ですから、

(23-35)  Rijkl
= Ri, j æ
è		  
—–
 ¶xk		 ö
ø		 (xl) 

= [Ñi , Ñj] æ
è		  
—–
 ¶xk		 ö
ø		 (xl) 

= Ñi æ
è		 Γ mjk  
—–
 ¶xm		 ö
ø		 (xl) - Ñj æ
è		 Γ mik  
—–
 ¶xm		 ö
ø		 (xl) 

= Γ mjk
———
xi 		 dml + Γ mjkÑi æ
è		  
—–
 ¶xm		 ö
ø		 (xl) - Γ mik
———
xj 		 dml - Γ mikÑj æ
è		  
—–
 ¶xm		 ö
ø		 (xl) 

= Γ ljk
———
xi 		 + Γ mjk Γ lim - Γ lik
———
xj 		 - Γ mik Γ ljm

という成分表示が得られます。また、

(23-36)  R æ
è		  
—–
 ¶xi		 ,  
—–
 ¶xj		 ;  
—–
 ¶xk		 ,  
—–
 ¶xl		 ö
ø		 = Ri, j æ
è		  
—–
 ¶xk		 ö
ø		 ·  
—–
 ¶xl		 = Rijkmgml = Rijkl

ですから、(23-24)~(23-27),(23-31) は、成分表示で

(23-37)  Rijkl = - Rjikl

(23-38)  Rijkl = - Rijlk

(23-39)  Rijkl = Rklij

(23-40)  Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0

(23-41)  Rjklm; i + Rkilm; j + Rijlm; k = 0

と書けます。
　さて、(23-1) の左辺で T の成分表示を (Ta¼br¼s) とし、A = ¶/¶xi , B = ¶/¶xj を代入したものを (Ta¼br¼s; ji) と書けば、(23-4) の成分表示は

(23-42)  Ta¼br¼s; ji - Ta¼br¼s; ij = (Ri, jT )a¼br¼s = ( [Ñi , Ñj]T )a¼br¼s

となります。ところで (23-13) において T が 1 形式 w の場合は

(23-43)  (RA,B w)(C) = - w(RA,BC)

ですから、A = ¶/¶xi , B = ¶/¶xj , C = ¶/¶xk , w = dxl と置いて右辺に (23-32) を用いれば

(23-44)  (Ri, jdxl)k = - Rijkl

　ゆえに、一般のテンソル T = (Ta¼br¼s) については、(23-13) と (23-32),(23-44) により

(23-45)  (Ri, jT )a¼br¼s = RijkrTa¼bk¼s + ¼ + RijksTa¼br¼k - RijalTl¼br¼s - ¼ - RijblTa¼lr¼s

が成り立つことがわかります。

　次に、曲率テンソルの第 1 成分と第 4 成分を縮約したものをRicciテンソルといい、その成分を Rjk で表わします：

(23-46)  Rjk º Rijki = Γ ijk
———
xi 		 + Γ mjk Γ iim - Γ iik
———
xj 		 - Γ mik Γ ijm

　これは、(23-37)~(23-39) により

(23-47)  Rjk = gilRijkl = gilRklij = gilRlkji = Rkj

を満たしますから、Ricciテンソルは対称テンソルです。さらに、Ricciテンソルの２成分をさらに縮約したものをスカラー曲率といい、R で表わします：

(23-48)  R º Rjj = gjkRjk = gjk æ
è		 Γ ijk
———
xi 		 + Γ mjk Γ iim - Γ iik
———
xj 		 - Γ mik Γ ijm ö
ø

　ゆえにBianchiの恒等式 (23-41) を、(23-37)~(23-39) により

(23-49)  - Rjkml; i + Rkilm; j + Rjiml; k = 0

と変形してから l = j , m = k と置いて縮約すれば、

(23-50)  - R; i + Rij; j + Rik; k = 0

　となるので、

(23-51)  2Rij; j = R; i

という恒等式が得られます。

　最後に、第21節の最後に行ったのと同様に、計量に関する変分を取ってみることにしましょう。まず、(21-52),(21-45) により、

(23-52)  (dÑ)ijk; i = ¶dΓ ijk
———
xi 		 - Γ mijdΓ imk - Γ mikdΓ ijm + Γ iimdΓ mjk

(23-53)  (dÑ)iik; j = ¶dΓ iik
———
xj 		 - Γ mjidΓ imk - Γ mjkdΓ iim + Γ ijmdΓ mik

　これらを辺々引くと、右辺第 2 項同士がキャンセルするので、Ricciテンソル (23-46) の変分は

(23-54)  dRjk = ¶dΓ ijk
———
xi 		 + dΓ mjk Γ iim + Γ mjk dΓ iim - ¶dΓ iik
———
xj 		 - dΓ mik Γ ijm - Γ mik dΓ ijm = (dÑ)ijk; i - (dÑ)iik; j

と書けることがわかります。また、

(23-55)  gim gmk = dik

の両辺の変分をとると

(23-56)  dgim gmk + gim dgmk = 0

ですから、両辺に g ji を乗じれば

(23-57)  g ji dgim gmk + g ji gim dgmk = 0

　g ji gim = d jm に注意して移項すれば、

(23-58)  dg jk = - g ji gmk dgim

　ゆえに

(23-59)  Rjk dg jk = - Rjk g ji gmk dgim = - Rim dgim

　これと (23-54) を使い、さらに (21-18) によって計量テンソルの共変微分が消えることに注意すれば、スカラー曲率の変分について

(23-60)  dR = d(g jk Rjk) = Rjk dg jk + g jk dRjk = - R jk dgjk + (dÑ)ijj; i - (dÑ)iij; j

が成り立つことがわかります。

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