微分多様体
24．共役な微分形式
M を向きの付いたn次元 Riemann
多様体とします。w を M 上の任意の p 形式とするとき、n - p 個のベクトル場 D1 ,
¼,
Dn-p に対し、w ^ (D1 · ds) ^ ¼ ^ (Dn-p · ds)
は n 形式なので、これは dV
のスカラー倍となります。そこで (*w)(D1 ,¼, Dn-p )
を
(24-1) (*w)(D1 ,¼, Dn-p ) = {w ^ (D1 · ds) ^ ¼ ^ (Dn-p · ds)}/dV |
すなわち
(24-2) (*w)(D1 ,¼, Dn-p ) dV = w ^ (D1 · ds) ^ ¼ ^ (Dn-p · ds) |
で定義すると、(24-2)
の右辺は D1 ,¼,
Dn-p に対して反対称になりますから、D1 ,¼,
Dn-p に対して (24-2)
の左辺を対応させる写像 *w は n - p 形式となります。この *w を w に共役な微分形式と呼ぶことにし、* をHodge
作用素といいます。
n個のベクトル場 A1 ,¼,
An を任意に取り、(24-2)
に代入すると、
(24-3) (*w)(D1 ,¼, Dn-p ) dV(A1 ,¼, An ) |
= {w ^ (D1 · ds) ^ ¼ ^ (Dn-p · ds)}(A1 ,¼, An ) |
|
|
= |
1
—–
p! |
å
sÎSn |
(-)s w(As(1) ,¼, As(p)) D1 · ds(As(p+1)) ¼ Dn-p · ds(As(n)) |
|
|
= |
1
—–
p! |
å
sÎSn |
(-)s w(As(1) ,¼, As(p))(D1 · As(p+1)) ¼ (Dn-p · As(n)) |
|
|
= |
1
—–
p! |
å
sÎSn |
(-)s w(As(1) ,¼, As(p)) As(p+1) · ds(D1) ¼ As(n) · ds(Dn-p ) |
|
|
= |
1
———–
p!(n-p)! |
å
sÎSn |
å
tÎSn-p |
(-)s(-)t w(As(1) ,¼, As(p)) As(p+1) · ds(Dt(1)) ¼ As(n) · ds(Dt(n-p)) |
|
|
= |
1
———–
p!(n-p)! |
å
sÎSn |
(-)s w(As(1) ,¼, As(p)){(As(p+1) · ds) ^ ¼ ^ (As(n) · ds)}(D1 ,¼, Dn-p ) |
|
したがって、
(24-4) *w = |
1
——————————
p!(n-p)! dV(A1 ,¼, An ) |
å
sÎSn |
(-)s w(As(1) ,¼, As(p)) (As(p+1) · ds) ^ ¼ ^ (As(n) · ds) |
が一次独立な任意のベクトル場 A1 ,¼,
An に対して成立することがわかります。
(24-4)
の両辺に、右から ^ (A1 · ds) ^ ¼ ^ (Ap · ds)
を施すと、Ai · ds
の中に同じものがある項は消えるので、i > p のとき s(i)
> p であるような s 、すなわち s が {1 ,¼, p}
上の置換と { p+1 ,¼, n}
上の置換に分離される場合のみが残ることになります。したがって、
(24-5) *w ^ (A1 · ds) ^ ¼ ^ (Ap · ds) |
|
= |
1
——————————
p!(n-p)! dV(A1 ,¼, An ) |
å
sÎSp |
å
tÎSn-p |
(-)s (-)t w(As(1) ,¼, As(p)) (Ap+t(1) · ds) ^ ¼ ^ (Ap+t(n-p) · ds) ^ (A1 · ds) ^ ¼ ^ (Ap · ds) |
|
|
= |
1
——————–
dV(A1 ,¼, An ) |
w(A1 ,¼, Ap ) (Ap+1 · ds) ^ ¼ ^ (An · ds) ^ (A1 · ds) ^ ¼ ^ (Ap · ds) |
|
|
= |
(-1)p (n-p)
——————–
dV(A1 ,¼, An ) |
w(A1 ,¼, Ap ) (A1 · ds) ^ ¼ ^ (An · ds) |
|
|
= |
(-1)p (n-p)
——————–
dV(A1 ,¼, An ) |
w(A1 ,¼, Ap ) (-)g dV(A1 ,¼, An ) dV |
|
|
= (-1)p (n-p) (-)g w(A1 ,¼, Ap ) dV |
|
となりますが、(24-5)
の左辺は (24-2)
で w のところに *w を、Di のところに Ai を代入した式の右辺に他なりませんから、Ai の任意性により、
(24-6) **w = (-1)p (n-p) (-) g w |
が成り立ちます。すなわち共役の共役は定数倍を除いて元に戻ることがわかります。
次に a , b を p 形式とします。(24-4)
により
(24-7) a ^ *b = C |
å
sÎSn |
(-)s b(As(1) ,¼, As(p)) a ^ (As(p+1) · ds) ^ ¼ ^ (As(n) · ds) |
ただし
(24-8) C = |
1
——————————
p!(n-p)! dV(A1 ,¼, An ) |
よって
(24-9) (a ^ *b)(A1 ,¼, An ) = |
C
—–
p! |
å
s, tÎSn |
(-)s(-)t b(As(1) ,¼, As(p)) a(At(1) ,¼, At(p)) (As(p+1) · At(p+1)) ¼ (As(n) · At(n)) |
この式の右辺は a と b に対して対称的ですから、
が得られます。
今度は共役な微分形式の座標による表示を求めてみましょう。(24-4)
で、
(24-12) wi¼j = w |
æ
è |
¶
—–
¶xi |
,
|
¼ |
,
|
¶
—–
¶xj |
ö
ø |
(24-13) dxi = Ai · ds = gij d xj |
と置くと、(19-39)
により、
(24-14) dV(A1 ,¼, An ) = |det gx|½ {dx¹ ^ ¼ ^ dxn }(A1 ,¼, An ) = |det gx|½ |
ですから
(24-15) *w = |
|det gx|-½
————–
p!(n-p)! |
e i¼jk¼m wi¼j dxk ^ ¼ ^ d xm |
という表示が得られます。ただし、i, ¼ ,
j は p 個の添字、k ,¼,
m は n - p 個の添字、e i¼m は
(24-16) e i¼m = |
ì
í
î |
1 (
-1 (
0 ( |
i ,¼, m が偶置換のとき )
i ,¼, m が奇置換のとき )
i ,¼, m の中に同じものがあるとき ) |
で定義されます。また、
(24-17) w i¼j = g ik ¼ g jm wk¼m |
と置けば、
(24-18) e i¼jk¼m wi¼j dxk ^ ¼ ^ dxm= e i¼jk¼m gip ¼ gjq gkr ¼ gms w p¼q dxr ^ ¼ ^ dxs = ep¼qr¼s(det gx) w p¼q dxr ^ ¼ ^ d xs |
ただし
(24-19) ei¼m = |
ì
í
î |
1 (
-1 (
0 ( |
i ,¼, m が偶置換のとき )
i ,¼, m が奇置換のとき )
i ,¼, m の中に同じものがあるとき ) |
ですから、(24-15)
はまた
(24-20) *w = (-) g |
|det gx|½
————–
p!(n-p)! |
e i¼jk¼m w i¼j dxk ^ ¼ ^ d xm |
と書くこともできます。(24-20)
を使って (24-10)
を成分表示すれば、
(24-21) a ^ *b |
= (-) g |
|det gx|½
————–
p!(n-p)! |
ei¼jk¼m bi¼j a ^ dxk ^ ¼ ^ d xm |
|
|
= (-)g |det gx|½ |
å
i<¼< j |
å
k<¼<m |
ei¼jk¼m bi¼j a ^ dxk ^ ¼ ^ d xm |
|
|
= (-)g |det gx|½ |
å
i<¼< j |
å
k<¼<m |
å
i'<¼< j' |
ei¼jk¼m bi¼j ai'¼j' dxi' ^ ¼ ^ dxj' ^ dxk ^ ¼ ^ d xm |
|
|
= (-)g |det gx|½ |
å
i<¼< j |
bi¼j ai¼j dx¹ ^ ¼ ^ d xn |
|
|
= (-) g |
å
i<¼< j |
bi¼j ai¼j dV |
|
|
= |
(-)g
——–
p! |
bi¼j ai¼j dV |
|
ここで、具体的に共役な微分形式をいくつか求めてみましょう。まず n 形式 rdV
の場合は、(24-2)
で w = rdV
とすれば、p = n なので引数が空ですから、
すなわち
が得られます。これと (24-6)
により、0 形式 f の共役な微分形式は、
(24-24) *f = **( fdV) = (-)g fdV |
となります。次に、n - 1 形式 B · dS
については、まず (24-2)
で w = B · dS
とすれば、
(24-25) *(B · dS)(D) dV = (B · dS) ^ (D · ds) = (-1)n-1 (D · ds) ^ (B · dS) = (-1)n-1 D · B dV = (-1)n-1 (B · ds)(D) dV |
ただし (19-48)
を使って変形しました。(24-25)
により
(24-26) *(B · dS) = (-1)n-1 (B · ds) |
が得られます。これと (24-6)
により、1 形式 A · ds
の共役な微分形式は、
(24-27) *(A · ds) = (-1)n-1 **(A · dS) = (-)g A · dS |
となります。
次にカレントの共役について考えます。(24-10)
は
(24-28) a ^ *b = (-1)p(n-p) *a ^ b |
と書けますから、p次のカレント q の共役なカレント *q を
(24-29) á w , *q ñ = (-1)p(n-p) á*w , q ñ |
で定義することができます。カレントについても明かに (24-6)
が成り立ちます。更に、台がコンパクトな任意の 0 形式 j に対し、
(24-30) á j , w ^ *q ñ = á jw , *q ñ = (-1)p(n-p) á*(jw) , q ñ = (-1)p(n-p) á j *w , q ñ = (-1)p(n-p) á j , *w ^ q ñ |
ですから
(24-31) w ^ *q = (-1)p(n-p) *w ^ q |
が成り立ちます。さて、(24-23)
により、n次のカレント q に対し、超関数 q/dV
を
で定義し、逆に、(24-24)
により、超関数 f に対し、n次カレントを fdV
を、
(24-33) fdV º dV ^ f = (-)g dV ^ **f = (-)g *dV ^ *f = (-) g *f |
で定義します。このとき
(24-34) (q/dV)dV = (*q)dV = (-) g **q = q |
(24-35) ( fdV)/dV = (-)g *f /dV = (-) g **f = f |
が成り立ちます。
また、1 形式が (19-16)
の対応によりベクトル場と一対一に対応していることから、任意の1次カレント q を超関数値ベクトルともよぶことにし、そうよんだ場合の q を q/ds
と書くことにし、逆に超関数値ベクトル θ が表わす1次カレントを θ · ds
と書くことにします。さて、q を n - 1 次カレントとするとき、超関数値ベクトル q/dS
を
(24-36) q/dS º (-1)n-1 *q /ds |
で定義し、超関数値ベクトル θ に対し、n - 1 次カレント θ · dS
を
(24-37) θ · dS º (-)g *(θ · ds) |
で定義することにします。すると、
(24-38) (q/dS) · dS = (-)g *((q/dS) · ds) = (-)g (-1)n-1 *((*q /ds) · ds) = (-)g (-1)n-1 **q = q |
(24-39) (θ · dS)/dS = (-)g *(θ · ds)/dS = (-)g (-1)n-1 (**(θ · ds)/ds) · ds) = (θ · ds)/ds = θ |
が成り立つことがわかります。また、ベクトル場 D と超関数値ベクトル θ の内積とよばれる超関数を
(24-40) D · θ º θ · D º iD(θ · ds) |
で定義すると、(24-37),(24-31),(24-27)
により
(24-41) (D · ds) ^ (θ · dS) |
= (-)g (D · ds) ^ *(θ · ds) |
|
= (-)g (-1)n-1 *(D · ds) ^ (θ · ds) |
|
= (-1)n-1 (D · dS) ^ (θ · ds) |
|
= (-1)n-1 iDdV ^ (θ · ds) |
|
= (-1)n-1 iD{dV ^ (θ · ds)} + dV ^ iD(θ · ds) |
|
= dV ^ (D · θ) |
|
= (D · θ)dV |
が成り立ちます。
さて、Ω を多様体 M の n 次元部分多様体とすると、(13-27)
により、これは超関数とみなすことができます。これを cΩ とも書くことにします。
また、S を多様体 M の超曲面、すなわち n - 1 次元部分多様体とすると、(13-27)
により、これは 1 次カレントとみなすことができるので、超関数値ベクトル σ
S を
(24-42) σS º (-1)n-1 S/ds |
で定義すれば、(24-41)
により
(24-43) (D · σS )dV = (-1)n-1 (D · dS) ^ (σS · ds) = (D · dS) ^ S |
となるので、これを M 上で積分すれば、
(24-44) |
òM |
(D · σS )dV º á 1 , (D · σS )dV ñ = á 1 , (D · dS) ^ S ñ = á D · dS , S ñ = |
òS |
D · dS |
となります。
また、C を多様体 M の曲線、すなわち 1 次元部分多様体とすると、(13-27)
により、これは n - 1 次カレントとみなすことができるので、超関数値ベクトル γ
C を
で定義すれば、(24-41)
により
(24-46) (D · γC )dV = (D · ds) ^ (γC · dS) = (D · ds) ^ C |
となるので、これを M 上で積分すれば、
(24-47) |
òM |
(D · γC )dV º á 1 , (D · γC )dV ñ = á 1 , (D · ds) ^ C ñ = á D · ds , C ñ = |
òC |
D · ds |
となります。
また、0 次元部分多様体 P に対し、これを n 次のカレントとみなしたとき、超関数 dP を
で定義すれば、(24-33)
により
(24-49) dP dV = (-)g *dP= (-) g **P = P |
となるので、これを M 上で積分すれば、
(24-50) |
òM |
jdP dV º á 1 , jdP dV ñ = á 1 , jP ñ = á j , P ñ = |
òP |
j |
となります。
さて、こうして定義された超関数や、超関数値ベクトルに対し、第20節と同様に div , rot , grad
を定義すれば、(13-29)
を使って、
(24-51) div γC = dC/dV = - ¶C/dV = - d¶C |
(24-52) rot σS = (-1)n-1 dS/dS = ¶S/dS = γ¶S ( n = 3 ) |
(24-53) grad cΩ = dΩ/ds = (-1)n ¶Ω/ds = - σ¶Ω |
が得られます。
さらに σ
S や γ
C の絶対値ともいうべき超関数 sS と gC を
(24-54) á w, sS ñ =
|
òS |
*w dS |
(24-55) á w, gC ñ =
|
òC |
*w ds |
で定義し、n を S 上で S の単位法線に一致するベクトル場とします。このとき任意の n - 1形式 w に対し、D = w/dS
と置けば、
(24-56) á w , nsS · ds ñ |
= á D · dS , (n · ds) sS ñ |
|
|
= á (D · dS) ^ (n · ds) , sS ñ |
|
|
= ( -1) n-1 á D · n dV , sS ñ |
|
|
|
|
|
|
|
となるので、w の任意性により
(24-57) nsS = (-1)n-1 S/ds = σ S |
がわかります。また、(24-57)
と n の内積をとると、sS の台 S 上で n ·
n = 1 ですから
が得られます。
次に t を C 上で C の接線に平行な単位ベクトルに一致するベクトル場とします。このとき任意の 1 形式 w に対し、D = w/ds
と置けば、
(24-59) á w , t gC · dS ñ |
= á D · ds , (t · dS) gC ñ |
|
|
= á (D · ds) ^ (t · dS) , gC ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
となるので、w の任意性により
がわかります。また、(24-60)
と t の内積をとると、gC の台 C 上で t ·
t = 1 ですから
が得られます。
