微分多様体

　本節では、Riemann多様体において、外微分に共役な演算子と、微分形式に対するLaplacianを定義します。

　p形式 w に対し、Ñw の第１、第２成分を縮約した p - 1 階テンソルを dw と書くことにします：

(25-1)  dw(D1 ,¼, Dp ) = grs(Ñw)

æ è

¶  —–  ¶xr

,

¶  —–  ¶xs

, D1 ,¼, Dp-1

ö ø

= grs(Ñrw)

æ è

¶  —–  ¶xs

, D1 ,¼, Dp-1

ö ø

　明らかにこれは D₁ ,¼, D_p に対して反対称なので、dw は p - 1 形式になります。これを成分表示すると、

(25-2)  ( dw )i¼j = grswsi¼j; r = wri¼j; r

　ところで

(25-3)  wri¼j; r	= ¶rwri¼j + Γ rrk wki¼j + Γ irk wrk¼j + ¼ + Γ jrk wri¼k       ( ∵ (21-45) )
	= ¶rwri¼j + Γ rrk wki¼j       ( ∵ w の反対称性と Γ の対称性 )
	= ¶rwri¼j + 1 —– 2 glm ¶r glm wri¼j       ( ∵ (21-48) )

　ただし ¶/¶x^r を ¶_r と略記しました。一方、

(25-4)  eij¼k (¶rg1i)g2j¼gnk = (¶rg1m)dmieij¼k g2j¼gnk = (¶rg1m)gsmeij¼k gsig2j¼gnk = (¶rg1m)g1m det gx

などが成り立つので

(25-5)  ¶r det gx = ¶r(eij¼k g1ig2j¼gnk) = (det gx)glm ¶rglm

　よって

(25-6)  ¶r|det gx|½ =

(-)g ——  2

|det gx|- ½ ¶r det gx =

1 —– 2

|det gx|½ glm ¶rglm

　ゆえに、(25-3),(25-6) によって

(25-7)  wri¼j; r = |det gx|- ½ ¶r( |det gx|½ wri¼j )

　特に p = 1 の場合を考えると、(20-48),(25-2) により、任意のベクトル場 A に対して

(25-8)  div A = |det gx|- ½ ¶r( |det gx|½Ar ) = Ar; r = d(A · ds)

が成り立ちます。これを用いると、(23-60) は

(25-9)  dR = - Rjkdgjk + div K

と書くことができます。ただし K は次の成分を持つベクトル場です：

(25-10)  Ki = (dÑ)ijj - (dÑ)jji

　さて、(25-7) と前節 (24-20) により、dw の共役微分形式を計算すると、

(25-11)  *dw	= (-)g ei¼jkl¼m ——————–  ( p-1)!(n-p+1)!  |det gx|½ wri¼j; r dxk ^ dxl ^ ¼ ^ dxm
	= (-)g ei¼jkl¼m ——————–  ( p-1)!(n-p+1)!  ¶r( |det gx|½wri¼j ) dxk ^ dxl ^ ¼ ^ dxm       ( ∵ (25-7) )
	= (-)g   å rÎ{k,l,¼,m} ei¼jkl¼m ——————–  ( p-1)!(n-p+1)!  ¶r( |det gx|½wri¼j ) dxk ^ dxl ^ ¼ ^ dxm       ( ∵ rÎ{i, ¼, j}  Þ  wri¼j = 0 )
	= (-)g   å r=k ei¼jkl¼m —————–  ( p-1)!(n-p)!  ¶r( |det gx|½wri¼j ) dxk ^ dxl ^ ¼ ^ dxm       ( ∵ 与式は n - p + 1 個の添字 k, l ,¼, m について対称 )
	= (-)g   å r=k ei¼jkl¼m —————–  ( p-1)!(n-p)!  ¶r( |det gx|½wki¼j ) dxr ^ dxl ^ ¼ ^ dxm
	= (-)g(-1)p-1   å r=k ei¼jkl¼m —————–  ( p-1)!(n-p)!  ¶r( |det gx|½wi¼jk ) dxr ^ dxl ^ ¼ ^ dxm
	= (-)g(-1)p-1   å rÎ{i, j,¼,k} ei¼jkl¼m ————–  p!(n-p)!  ¶r( |det gx|½wi¼jk ) dxr ^ dxl ^ ¼ ^ dxm       ( ∵ 与式は p 個の添字 i ,¼, j, k について対称 )
	= (-)g(-1)p-1 ei¼jkl¼m ————–  p!(n-p)!  ¶r( |det gx|½wi¼jk ) dxr ^ dxl ^ ¼ ^ dxm       ( ∵ rÎ{l, ¼, m}  Þ  dxr ^ dxl ^ ¼ ^ dxm = 0 )
	= (-1)p-1(-)g ei¼jkl¼m ————–  p!(n-p)!  d( |det gx|½wi¼jk dxl ^ ¼ ^ dxm )
	= (-1)p-1d(*w)

　ゆえに、(25-11) の両辺の共役をとり、p - 1 形式 dw に対して (24-6) を用いると、

(25-12)  dw = (-)g(-1)(n-p )(p-1) *d(*w)

が得られます。これと (24-6) と dd = 0 により、

(25-13)  d d = 0

が成り立つことがわかります。さて、(22-1) によれば、

(25-14)  (dw)ijkl¼m = wjkl¼m; i - wikl¼m; j + wijl¼m; k - ¼

ですから、(25-2) に (25-14) を適用すれば、

(25-15)  (d dw)ijkl¼m = wrjkl¼m; r; i - wrikl¼m; r; j + wrijl¼m; r; k - ¼

　また、(25-14) に (25-2) を適用すれば、

(25-16)  ( d dw)ijkl¼m = (dw)rijkl¼m; r = wijkl¼m; r; r - wrjkl¼m; i; r + wrikl¼m; j; r - wrijl¼m; k; r + ¼

　そこで、微分形式に対する演算子 D を

(25-17)  D = d d + d d

で定義し、これをLaplacianとよべば、(25-15),(25-16) により

(25-18)  (Dw)ijkl¼m = wijkl¼m; r; r + wrjkl¼m; [r, i] - wrikl¼m; [r, j] + wrijl¼m; [r, k] - ¼

となります。ただし

(25-19)  wrjkl¼m; [r, i]	= wrjkl¼m; r; i - wrjkl¼m; i; r
	= (Ri,rw)rjkl¼m       ( ∵ (23-4) )
	= Rirsrwsjkl¼m - Rirjswrskl¼m - Rirkswrjsl¼m - ¼       ( ∵ (23-45) )
	= - Riswsjkl¼m - Rirjswrskl¼m - Rirkswrjsl¼m - ¼
	= - Riswsjkl¼m - Rirjswrskl¼m + Rirkswrsjl¼m - ¼

　特に、w の次数 p = 1 の場合は、(25-19) の右辺第２項以降はなくなるので、以下の式が得られます。

(25-20)  (Dw)i = wi; r; r - Risws

　また、dd = 0 と (25-13) により、

(25-21)  d D = D d

(25-22)  d D = D d

が成り立ちます。

　この節の最後にいくつかの例についてLaplacianを実際に計算してみましょう。まず 0 形式 f については、(25-8) により

(25-23)  D f = d d f + d d f = d d f = d (grad f · ds) = div grad f

　また、一般に、(25-12) と (24-6) により

(25-24)  d(*w) = (-)g(-1)p(n-p-1) *d(**w) = (-1)p *dw

ですから、これと (25-11) により

(25-25)  d d(*w) = (-1)p d(*dw) = *ddw

(25-26)  d d(*w) = (-1)p-1 d(*dw) = *ddw

ですから

(25-27)  D(*w) = *Dw

　ゆえに、n形式 rdV については、(24-24),(25-27),(25-23) により、

(25-28)  D(rdV) = (-)gD(*r) = (-)g *Dr = (Dr)dV = (div grad r)dV

が成り立ちます。また、３次元多様体においては、(24-27),(25-24),(24-26) により

(25-29)  d(B · dS) = (-)g d{*(B · ds)} = -(-)g *d(B · ds) = -(-)g *(rot B · dS) = -(-)g rot B · ds

ですから、

(25-30)  D(A · ds) = d d(A · ds) + d d(A · ds) = d(div A) + d(rot A · dS) = { grad div A - (-)g rot rot A } · ds

　また、これと (24-27),(25-27) により、

(25-31)  D(B · dS) = (-)gD{*(B · ds)} = (-)g *D(B · ds) = (-)g *[{ grad div B - (-)g rot rot B } · ds] = {grad div B - (-)g rot rot B} · dS

が成り立ちます。