微分多様体

　n次元Riemann多様体 M にベクトル場 v が与えられていて、その流線、すなわち微分方程式

(26-1)	ì ï í ï î	dγ t(s) ——–  dt	= vγt(s)	( sÎM )
		γ 0(s) = s

の解 γ ^t(s) は、各 s に対して t の極大な定義域が開区間 I ^s º ] a ^s, b ^s [ になるものとします。さらに、M の任意のコンパクト集合 K に対して

(26-2)  K s º { tÎI s | γ t(s)ÎK }

が I ^s のコンパクト部分集合になるものと仮定します。

　さて、一般にベクトル場 v に依存する M 上の１形式 w が与えられ、v の微小変化 dv に対する変化量 dw について

(26-3)  (dw)(v) = 0

が成り立つ、すなわち実パラメター l に滑らかに依存する任意のベクトル場 v^l （ただし v⁰ = v ）に対して

(26-4)

¶w|v=vl ———  ¶l

½ ½ ½

l=0

(v) = 0

が成り立っているものとします。このとき、Γ を、流線に添った両端を含む開曲線、すなわち、ある sÎM と t_o > 0 に対する

(26-5)  Γ = { γ t(s) | 0 £ t £ to }

とし、w の Γ に対する作用積分を

(26-6)  SΓ (w) =

òΓ

w

で定義します。

　ここで、v を、それに伴う流線 Γ が両端で固定されるように微小変化させたとき、S_Γ (w) の微小変化が 0 、すなわち作用積分が停留値を取るときの Γ を求めてみましょう。
　KÌM を Γ の両端点を含まない任意のコンパクト集合、D を台が K に含まれる任意のベクトル場とします。σ^l を、微分方程式

(26-7)	ì ï í ï î	dσl(s) ——–  dl	= Dσl(s)	( sÎM )
		σ0(s) = s

の解とすると、解の一意性と第14節 (14-41) により

(26-8)  σl(s) = s       ( sÏK )

(26-9)  σl+m = σl ° σm

が成り立つので、(26-9) により特に

(26-10)  σl ° σ-l = σ-l ° σl = σ0 = id

となるので σ^l は M からそれ自身への微分同型です。ゆえに、この σ^l を用いて、各 l に対して M 上のベクトル場 v^l を

(26-11)  vlσl(s) º (σl)* vs =

¶ σl( γ t(s)) ————–  ¶t

½ ½ ½

t=0

で定義することができます。(26-7),(26-1) により

(26-12)  v0 = v

が成り立ちます。また、γ ^t についても

(26-13)  γ t+t' = γ t ° γ t'

が成り立つので

(26-14)  vlσl(γt(s)) =

¶ σl( γ t'(γ t(s))) ——————–  ¶t'

½ ½ ½

t'=0

=

¶ σl( γ t'+t(s))) ——————  ¶t'

½ ½ ½

t'=0

=

¶ σl( γ t(s))) —————  ¶t

となり、

(26-15)  Γ l = { σl( γ t(s)) | 0 £ t £ to }

は v^l の流線に沿った曲線であることがわかります。また、明らかに

(26-16)  Γ 0 = Γ

であり、(26-8) により Γ ^l の端点は Γ のそれと一致しています。さて、微分形式に対する演算子 d/dl を

(26-17)

d —– dl

º (σ-l)* °

¶ —– ¶l

° (σ l)* = LD +

¶ —– ¶l

で定義し、w の v を v^l で置き換えたものを w^l と書くことにします。このとき、l = 0 において、

(26-18)	d SΓl(wl) ————  dl	= òΓ d —– dl wl
		= òΓ æ è LD w + ¶wl ——  ¶l  ö ø       ( ∵ w0 = w)
		= òΓ æ è d(iD w) + iDdw + ¶wl ——  ¶l  ö ø       ( ∵ (7-1) )
		= ò¶Γ iD w + òΓ æ è iDdw + ¶wl ——  ¶l  ö ø       ( ∵ (12-16) )
		= òΓ æ è iDdw + ¶wl ——  ¶l  ö ø       ( ∵ D = 0  on  ¶Γ )
		= ò to 0 æ è iDdw + ¶wl ——  ¶l  ö ø γ t(s) (vγt(s)) dt       ( ∵ (11-58),(26-1) )
		= ò to 0 æ è iDdw(v) + ¶wl ——  ¶l  (v) ö ø ( γ t(s)) dt
		= ò to 0 (dw)(D, v)( γ t(s)) dt      ( ∵ (6-1),(26-4) )
		= - ò to 0 (dw)(v, D)( γ t(s)) dt
		= - ò to 0 (ivdw)(D)( γ t(s)) dt

　ゆえに、S_Γ (w) が Γ において停留値を取るなら、任意の D に対して (26-18) が 0 にならなければなりませんから、v の満たすべき式として、

(26-19)  ivdw = 0  on  Γ

が得られます。

　さて、条件 (26-3) は、w が v を含まなければ当然成り立ちますが、v を含む例として、v が |v|² º v · v > 0 を満たす場合、

(26-20)  w = u · ds

æ è

u =

v —– |v|

ö ø

という１形式を考えることができます。

(26-21)  |u|² = u · u = 1

ですから、

(26-22)  (dw)(v) = (du · ds)(v) = du · v = |v|du · u =

|v| —– 2

d(|u|²) = 0

となり、確かに (26-3) は満たされています。ここで、この w に対する方程式 (26-19) を実際に解いてみましょう。

(26-23)  ivdw = |v|iudw

ですから、i_udw = 0 を解けば十分です。ところで

(26-24)  {iud(u · ds)}(D)	= d(u · ds)(u, D)       ( ∵ (6-1) )
	= Ñ(u · ds)(u, D) - Ñ(u · ds)(D, u)       ( ∵ (22-1) )
	= Ñu(u · ds)(D) - ÑD(u · ds)(u)       ( ∵ (21-17) )
	= (Ñuu · ds)(D) - (ÑDu · ds)(u)       ( ∵ (22-9) )
	= (Ñuu · ds)(D) - (ÑDu) · u       ( ∵ (19-15) )
	= (Ñuu · ds)(D) - 1 —– 2 D(u · u)       ( ∵ (21-19) )
	= (Ñuu · ds)(D)       ( ∵ (26-21) )

で、D は任意ですから

(26-25)  iud(u · ds) = Ñuu · ds

　したがって

(26-26)  Ñuu = 0

という方程式が得られます。
　さて、(26-20) に対する作用積分 S_Γ (w) は何を意味しているでしょうか。(26-20) の u は、第19節 (19-78) の t に他なりませんから、

(26-27)  SΓ(w) =

òΓ

u · ds =

òΓ

u · uds =

òΓ

ds

　すなわち S_Γ (w) は曲線 Γ の長さを表しています。すなわち方程式 (26-26) は、長さが停留値を持つ曲線 Γ を求める方程式であることがわかります。この意味で、(26-26) を測地線の方程式、その解曲線のことを測地線と呼びます。
　測地線のパラメターを、t から長さを表す別のパラメター s に変換して、(26-26) を座標表示してみましょう。Γ の点の第 i 座標を xⁱ と書けば、

(26-28)

dxi —–  ds

= ui

ですから、(21-39) により、一般のベクトル場 A に対して

(26-29)  (ÑuA)k = ui

æ è

¶Ak —— ¶xi

+ Γ kij Aj

ö ø

=

dxi —–  ds

æ è

¶Ak —— ¶xi

+ Γ kij Aj

ö ø

=

dAk ——  ds

+ Γ kij

dxi —–  ds

Aj

　特に、A に u を代入すれば、測地線の方程式 (26-26) の座標表示として

(26-30)

d²xk ——  ds²

+ Γ kij

dxi —–  ds

dxj —–  ds

= 0

が得られます。

　次に、(26-3) を満たす v ，w に加えて連続の式：

(26-31)  div(rv) = 0

を満たすスカラー場 r と M の相対コンパクトな領域 Ω が与えられたとき、Ω における作用積分：

(26-32)  SΩ(r, v, w) =

òΩ

w(v)rdV

を考え、任意のコンパクト集合 K Ì Ω に対し、r と v を K の外では固定し、かつ Ω では (26-31) が成り立つようにしながら微小変化させたとき、S_Ω(r, v, w) が停留値を取るための条件を求めてみましょう。
　w ^ (rdV) はn次元多様体の n + 1 次形式なので 0 です。したがって、(6-12),(19-42) より、

(26-33)  w(v)rdV = (ivw)rdV = iv{w ^ (rdV)} + w ^ iv(rdV) = w ^ iv(rdV) = w ^ (rv · dS)

となりますから、S_Ω はまた

(26-34)  SΩ(r, v, w) =

òΩ

w ^ iv(rdV) =

òΩ

w ^ (rv · dS)

とも書くことができます。

　さて、K を Ω に含まれる任意のコンパクト集合、D を台が K に含まれる任意のベクトル場、γ ^t を (26-1) の、σ^l を (26-7) のそれぞれ解とします。また、v^l を (26-11) で定義し、スカラー場 r^l を、K の外では r と一致し、

(26-35)  div(rlvl) = 0

を満たすように取ります。まず、このような r^l が一意的に存在することを確かめましょう。
　まず存在を仮定して一意性を証明します。(26-11),(26-11) と (9-39) により、(9-44),(9-45) の y に σ^l を、D に v^l を、D' に v をそれぞれ代入したものが成り立ちますから、

(26-36)  (σl)* ° ivl = iv ° (σl)*

(26-37)  (σl)* ° Lvl = Lv ° (σl)*

が成立します。よって

(26-38)	¶ —– ¶t	( γ t )*(σl)*(rldV)	= ( γ t )*Lv{(σl)*(rldV)}       ( ∵ (15-6),(15-7) )
			= ( γ t )*(σl)*Lvl(rldV)       ( ∵ (26-37) )
			= ( γ t )*(σl)*{div(rlvl)dV}       ( ∵ (20-33) )
			= 0       ( ∵ (26-35) )

　これは、( γ ^t )*(σ^l)*(r^ldV) が t に依存しないことを意味しているので、γ⁰ = id により、

(26-39)  ( γ t )*(σl)*(rldV) = (σl)*(rldV)

すなわち任意の sÎΩ で

(26-40)  ( γ t )*{(σl)*(rldV)}γt(s) = {(σl)*(rldV)}s

　同様に、

(26-41)	¶ —– ¶t	( γ t )*(rdV)	= ( γ t )*Lv(rdV)       ( ∵ (15-6),(15-7) )
			= ( γ t)*{div(rv)dV}       ( ∵ (20-33) )
			= 0       ( ∵ (26-31) )

から

(26-42)  ( γ t )*(rdV) = rdV

すなわち任意の sÎΩ で

(26-43)  ( γ t )*(rdV)γt(s) = (rdV)s

が得られます。特に sÏK とすれば、r^l(s) = r(s) , σ^l(s) = s , (σ^l)* = id なので、(26-39) と (26-41) により

(26-44)  ( γ t )*{(σl)*(rldV)}γt(s) = {(σl)*(rldV)}s = (rdV)s = ( γ t )*(rdV)γt(s)

　( γ ^t )* は１対１ですから、

(26-45)  {(σl)*(rldV)}γt(s) = (rdV)γt(s)

　Ω の任意の点は、このような s と、ある t により、γ ^t(s) と表示されますから、Ω 全域で

(26-46)  (σl)*(rldV) = rdV

が成り立つことがわかります。これは

(26-47)  rl = (σ-l)*(rdV)/dV

を意味しますから、これで r^l が一意的に定まることがわかりました。逆に r^l を (26-47) で定義すれば、(26-46) が成り立ちますから、(26-31),(26-37) により、

(26-48)  0 = div(rv)dV = Lv(rdV) = Lv(σl)*(rldV) = (σl)*Lvl(rldV) = (σl)*{div(rlvl)dV}

で、(σ^l)* は１対１ですから、確かに (26-35) が成り立つことがわかります。さて、

(26-49)	d —– dl	ivl(rldV)	= (σ-l)* ¶ —– ¶l (σl)*ivl(rldV)       ( ∵ (26-17) )
			= (σ-l)* ¶ —– ¶l iv{(σl)*(rldV)}       ( ∵ (26-36) )
			= (σ-l)* ¶ —– ¶l iv(rdV)       ( ∵ (26-46) )
			= 0

ですから、l = 0 において、

(26-50)	d SΩ(rl, vl, wl) ——————–  dl	= òΩ d —– dl {wl ^ ivl(rldV)}
		= òΩ dwl —— dl  ^ iv(rdV) + òΩ w ^ d —– dl ivl(rldV)
		= òΩ dwl —— dl  ^ iv(rdV)       ( ∵ (26-49) )
		= òΩ æ è LD w + ¶wl —— ¶l  ö ø ^ iv(rdV)       ( ∵ w0 = w , r0 = r , v0 = v )
		= òΩ æ è iDdw + ¶wl —— ¶l  ö ø ^ iv(rdV) + òΩ diD w ^ iv(rdV)
		= - òΩ  iv ì í î æ è iDdw + ¶wl —— ¶l  ö ø ^ rdV ü ý þ + òΩ  iv æ è iDdw + ¶wl —— ¶l  ö ø rdV + òΩ d{(iD w)iv(rdV)} - òΩ (iD w)div(rdV)
		= 0 + òΩ æ è iDdw + ¶wl —— ¶l  ö ø (v)rdV + ò¶Ω (iD w)iv(rdV) - òΩ (iD w) div(rv)dV
		= òΩ (iDdw)(v)rdV       ( ∵ (26-4)  , D = 0  on  ¶Ω , (26-31) )
		= òΩ (dw)(D, v)rdV
		= - òΩ r(dw)(v, D)dV
		= - òΩ r (ivdw)(D)dV

　ゆえに、S_Ω(r, v, w) が Ω において停留値を取るなら、任意の D に対して (26-50) が 0 にならなければなりませんから、r , v の満たすべき式として、

(26-51)  rivdw = 0

が得られます。

　さらに、問題を拡張して、(26-3) を満たす k 個の 1 形式 w_i ( i = 1 ,¼, k ) と

(26-52)  div(riv) = 0

を満たす r_i ( i = 1 ,¼, k ) に対する Ω 上の積分の和：

(26-53)  SΩ º

k å i=1

SΩ(ri , v, wi)       (  SΩ(ri , v, wi) =

òΩ

riwi(v)dV  )

が停留値を取るための条件を求めると、(26-50) の r , w のそれぞれに r_i , w_i を代入して和を取ることにより、r_i , v の満たすべき式として、

(26-54)

k å i=1

riivdwi = 0

が得られます。