微分多様体

　多様体 M の１点 s^o の近傍で s^o の近傍でアファイン空間の開集合とRiemann多様体として同型、すなわち局所座標をうまく選ぶと、その局所座標に対する計量テンソルのすべての成分が定数になるとき、M はこの点の近傍で平坦であるといいます。
　１点 s^o の近傍で平坦なら、計量テンソルの微分はすべてゼロですから、(21-48) により Γ ^k_ij はすべて 0 、したがって (23-35) により曲率テンソルの成分はすべて消え、曲率テンソルは 0 となります。

　逆に、曲率テンソルが s^oÎM の近傍で恒等的に 0 なら、s^o の近傍で平坦であることを証明しましょう。x を s^o の近傍で定義され x(s^o) = 0 となる M の局所座標とします。x の値域 x(U) は凸集合であるとして一般性を失いません。(23-35) により、U 上で

(28-1)

¶Γ ljk ——– ¶xi

+ Γ mjk Γ lim =

¶Γ lik ——– ¶xj

+ Γ mik Γ ljm

が成り立ちます。e を Rⁿ の単位ベクトル、w^o_j を任意の実数とするとき、t ³ 0 で定義された実数値関数 u_{e, j}(t) を、常微分方程式

(28-2)	ì ï í ï î	d —–  dt	ue, j(t) = eiΓ kij(x-1(te)) ue, k(t)
		ue, j(0) = woj

の解として定義し、U 上の関数 w_j を

(28-3)  wj(s) = ue, j(t)       ( x(s) = te )

で定義します。このとき

(28-4)

¶wj —— ¶xi

= Γ kijwk

が成り立つことを証明しましょう。(28-2),(28-3) により

(28-5)  ei

¶wj —— ¶xi

(s) = ei¶i(wj ° x-1)(te) =

dwj(x-1(te)) —————  dt

=

due, j(t) ———–  dt

= eiΓ kij(x-1(te)) ue,k(t) = eiΓ kij(s)wk(s)

が成り立ちます。そこで

(28-6)  je,ij(t) =

æ è

¶wj —— ¶xi

- Γ kijwk

ö ø

(s)       ( x(s) = te )

と置いて t で微分すると、

(28-7)  je,ij'(t)	= d —–  dt ì í î æ è ¶wj —— ¶xi - Γ kijwk ö ø (x-1(te))  ü ý þ
= el ¶  —– ¶xl æ è ¶wj —— ¶xi - Γ kijwk ö ø (s)
= ì í î ¶  —– ¶xi æ è  el ¶wj —— ¶xl ö ø -  el ¶Γ kij ——– ¶xl  wk - Γ kij el ¶wk —— ¶xl ü ý þ (s)
= ì í î ¶  —– ¶xi ( elΓ mljwm ) - el ¶Γ mij ——– ¶xl  wm - Γ kij elΓ mlkwm ü ý þ (s)       ( ∵ (28-5) )
= el ì í î æ è ¶Γ mlj ——– ¶xi  - ¶Γ mij ——– ¶xl  - Γ kij Γ mlk ö ø wm + Γ mlj ¶wm —— ¶xi ü ý þ (s)
= el ì í î - Γ klj Γ mikwm + Γ mlj ¶wm —— ¶xi ü ý þ (s)       ( ∵ (28-1) )
= elΓ kljje,ik(t)       ( ∵ (28-6) )

が成り立ちます。一方、(28-6),(28-5) により、任意の単位ベクトル e に対して

(28-8)  eije,ij(t) = ei

æ è

¶wj —— ¶xi

- Γ kijwk

ö ø

(s) = 0

となりますが、(28-6) の定義式により、j_e,ij(0) の値は e によらないことから、e の方向の任意性により

(28-9)  je,ij(0) = 0

が成り立ちます。したがって、初期値 (28-9) のもとでの連立常微分方程式 (28-7) の解の一意性により

(28-10)  je,ij(t) = 0

が成り立ち、(28-4) が証明されました。さて、1 形式 w を

(28-11)  w = widxi

で定義すると、(28-4) と Γ ^k_ij の添字 i , j に対する対称性により

(28-12)  dw =

¶wj —— ¶xi

dxi ^ dxj = Γ kij wkdxi ^ dxj = 0

ですから、Poincaréの補題により

(28-13)  w = dy

となる U 上の関数 y が存在し、

(28-14)

¶y  —–  ¶xi

= wi

が成り立ちます。さて、w^o_j として w^o_j = d ⁱ_j にとった場合の w_j および y をそれぞれ wⁱ_j および y ⁱ と書くことにします。局所座標 x で表示した計量テンソルの逆行列を g^kl とし、

(28-15)  hij = gkl

¶y i —–  ¶xk

¶y j —–  ¶xl

= gklwikw jl

と置くと、

(28-16)	¶hij ——  ¶xm	= ¶gkl ——  ¶xm wikw jl + gkl  ¶wik ——  ¶xm  w jl + gklwik  ¶w jl ——  ¶xm
		= ¶gkl ——  ¶xm wikw jl + gkl Γ pkmwipw jl + gklwik Γ plmw jp       ( ∵ (28-4) )
		= æ è ¶gkl ——  ¶xm + g pl Γ kpm + gkp Γ lpm ö ø wikw jl
		= gkl; m wikw jl
		= 0

　ゆえに h^ij は定数です。しかも

(28-17)  wij(so) = d ij

ですから

(28-18)  hij = (gklwikw jl)(so) = gij(so)

となり、これは正則行列です。したがって h^ij の逆行列 h_ij が存在し、(28-15) の行列式をとると、行列 (¶y ^j/¶xⁱ) の行列式は 0 でなく、従って逆関数定理により y ⁱ ( i = 1 ,¼, n ) が局所座標になっていることがわかります。また (28-15) の逆行列を取れば、

(28-19)  hij = gkl

¶xk —–  ¶y i

¶xl —–  ¶y j

となるので、この局所座標に対する計量テンソルの各成分が定数 h_ij であることがわかり、s^o の近傍で多様体が平坦であることがわかります。