微分多様体

　一般に、i ¹ j に対して g_ij = 0 となるようなRiemann多様体 M の局所座標を直交座標といいます。このとき行列 ( g_ij ) は対角行列ですから

(29-1)  gii =

1  ——  gii

が成り立ちます。（なお、本節では一つの項に同一の添字が２個出てくる場合の和の記号 å を省略しないことにします。）
　直交座標においては、ベクトル A に対し、その反変成分 Aⁱ や共変成分 A_i を用いる代わりに、それらの相乗平均に相当する自然成分：

(29-2)  A/i :º

___ Ö gii Ai =

___ Ö gii Ai

を用いることがあります。
　このような自然成分を用いると、(19-20),(19-45),(20-48),(20-50),(20-46) により、ベクトルの内積、外積、div , rot , grad , Laplacian 等は次のように表されることになります。

(29-3)  A · B =

n å i, j=1

gij AiB j =

n å i=1

gii AiBi =

n å i=1

A/i B/i

(29-4a)  (A ´ B)/1 =

___ Ö g11 (A ´ B)1 =

___ Ö g11 |det gx|½ ( A²B³ - A³B² ) =

___ Ö g11

________ Ö g11 g22 g33 ( A²B³ - A³B² ) =

_____ Ö g22 g33 ( A²B³ - A³B² ) = A/2 B/3 - A/3 B/2

(29-4b)  (A ´ B)2 = A/3 B/1 - A/1 B/3

(29-4c)  (A ´ B)3 = A/1 B/2 - A/2 B/1

(29-5)  div B =

1  ———– |det gx|½

n å i=1

¶  —–  ¶xi

( |det gx|½ Bi ) =

________ Ö g11 ¼ gnn

n å i=1

¶  —–  ¶xi

________ ( Ö g11 ¼ gnn Bi ) =

________ Ö g11 ¼ gnn

n å i=1

¶  —–  ¶xi

______________________ ( Ö g11 ¼ gi-1 i-1 gi+1 i+1 ¼ gnn  B/i )

(29-6a)  rot/1 A =

___ Ö g11  rot¹ A =

___ Ö g11

1  ———– |det gx|½

æ è

¶A3 —— ¶x2

-

¶A2 —— ¶x3

ö ø

=

______ Ö g22 g33

ì í î

¶ —–  ¶x²

___ ( Ö g33  A/3 ) -

¶ —–  ¶x³

___ ( Ö g22  A/2 )

ü ý þ

(29-6b)  rot/2 A =

______ Ö g33 g11

ì í î

¶ —–  ¶x³

___ ( Ö g11  A/1 ) -

¶ —–  ¶x¹

___ ( Ö g33  A/3 )

ü ý þ

(29-6c)  rot/3 A =

______ Ö g11 g22

ì í î

¶ —–  ¶x¹

___ ( Ö g22  A/2 ) -

¶ —–  ¶x²

___ ( Ö g11  A/1 )

ü ý þ

(29-7)  grad/i f =

___ Ö gii  gradi f =

___ Ö gii

¶f  —–  ¶xi

(29-8)  D f = div grad f =

________ Ö g11 ¼ gnn

n å i=1

¶  —–  ¶xi

______________________ ( Ö g11 ¼ gi-1 i-1 gi+1 i+1 ¼ gnn  grad/i f ) =

________ Ö g11 ¼ gnn

n å i=1

¶  —–  ¶xi

æ è

_________________________ Ö g11 ¼ gi-1 i-1 gii gi+1 i+1 ¼ gnn

¶f  —–  ¶xi

ö ø

　さてここで、具体的な直交座標の例として、アファイン空間における一般円筒座標を取り上げましょう。Rⁿ の正規直交座標 x₁ , x₂ ,¼, x_n に対し、新しい座標 r , q₂ ,¼, q_m , x_m+1 ,¼, x_n （ただし 2 £ m £ n ）を

(29-9a)  r =

____________ Ö x12 + ¼ + xm2

(29-9b)  q2 = arg(x2 + i x1 )

(29-9c)  qk = arccos

xk –———————– Ö x12 + ¼ + xk2

( 3 £ k £ m )

で定義します（特に m = n の場合を極座標といいます）。ただし (29-9b) の偏角 arg の値は、任意に与えて固定した実数 a によって a 以上 a+ 2p の範囲の値を取ることに決めておくことにします。
　このとき、Ω º { (x₁ ,¼, x_n )ÎRⁿ | (x₁ , x₂ ) ¹ (0, 0) } 内の点 (x₁ ,¼, x_n ) に対し、 (29-9) で定義される Ω' º R⁺⁺ ´ [a, a + 2p[ ´ ]0, p[^m-2 ´ R^n-m 内の点 (r, q₂ ,¼, q_m , x_m+1 ,¼, x_n ) を対応させる写像 j は、Ω から Ω' への一対一上への写像であることを確かめましょう。
　まず、(29-9b) と (29-9c) により

(29-10a)  x1 =

________ Ö x12 + x22  sin q2

(29-10b)  xk =

____________ Ö x12 + ¼ + xk2  cos qk       ( 2 £ k £ m )

が得られるので、2 £ k £ m に対して

(29-11)  sin² qk = 1 - cos² qk = 1 -

xk² —————— x1² + ¼ + xk²

=

x1² + ¼ + xk-1² ——————– x1² + ¼ + xk²

が成り立ちます。
　ここで更に 3 £ k £ m のときは、0 < q_k < p なので sin q_k > 0 ですから

(29-12)

_____________ Ö x12 + ¼ + xk-12  =

____________ Ö x12 + ¼ + xk2  sin qk

　これを繰り返し用いれば、

(29-13)

____________ Ö x12 + ¼ + xk2  =

____________ Ö x12 + ¼ + xm2  sin qm ¼ sin qk+1       ( 2 £ k < m )

　ゆえにこれと (29-10) と (29-9a) を組み合わせれば、(x₁ ,¼, x_m ) を (r, q₂ ,¼, q_m ) によって表す式：

(29-14a)  x1 = r sin qm ¼ sin q3 sin q2

(29-14b)  xk = r sin qm ¼ sin qk+1 cos qk       ( 2 £ k < m )

(29-14c)  xm = r cos qm

が得られるので、特に写像 j は一対一であることが証明できました。
　逆に、任意に与えられた (r, q₂ ,¼, q_m )ÎR⁺⁺ ´ [a, a + 2p[ ´ ]0, p[^m-2 に対して (29-14) によって (x₁ ,¼, x_m ) を定義すると、

(29-15a)  x1² + ¼ + xk² = r² sin² qm ¼ sin² qk+1       ( 1 £ k < m )

(29-15b)  x1² + ¼ + xm² = r²

が成り立つことを k に対する帰納法で証明しましょう。
　実際、k = 1 のときは (29-14a) の両辺を２乗すれば得られます。
　次に x₁² + ¼ + x_k-1² = r² sin² q_m ¼ sin² q_k を仮定すると、これと (29-14b) の両辺を２乗した式により

(29-16)  x1² + ¼ + xk² = (x1² + ¼ + xk-1² ) + xk² = r² sin² qm ¼ sin² qk+1 sin² qk + r² sin² qm ¼ sin² qk+1 cos² qk = r² sin² qm ¼ sin² qk+1

となって (29-15a) が得られます。最後に (29-15a) で k = m - 1 と置いたものと (29-14c) の両辺を２乗した式から

(29-17)  x1² + ¼ + xm² = (x1² + ¼ + xm-1² ) + xm² = r² sin² qm + r² cos² qm = r²

となって (29-15b) も証明されました。
　さて、まず r > 0 ですから、(29-15b) の両辺の平方根を取れば (29-9a) が得られます。
　次に、2 £ k < m のときは、0 < q_m ,¼, q_k+1 < p ですから sin q_m ,¼, sin q_k+1 > 0 となるので、(29-15a) の両辺の平方根を取れば

(29-18)

____________ Ö x12 + ¼ + xk2  = r sin qm ¼ sin qk+1       ( 2 £ k < m )

が得られ、これと (29-14b) により

(29-19)

xk –———————– Ö x12 + ¼ + xk2

= cos qk

が得られますが、(29-14c) と (29-9a) により、(29-19) は k = m の場合にも成り立っています。
　特に 3 £ k £ m のときは、0 < q_k < p ですから (29-19) を q_k について解くことにより (29-9c) が得られます。
　また、(29-18) で k = 2 と置いて (29-14a) に代入すれば (29-10a) が得られますが、これと (29-19) で k = 2 と置いたものにより、

(29-20)

x2 + i x1 –————–– Ö x12 + x22

= cos q2 + i sin q2 = exp(iq2 )

が得られ、これから q₂ について解けば (29-9b) が得られ、結局 (29-9) がすべて成り立つことがわかりました。
　以上で、写像 j は上への写像であることも証明できました。

　さて、次に座標系 (x'₁ ,¼, x'_n ) º (r, q₂ ,¼, q_m , x_m+1 ,¼, x_n ) に対する計量テンソルの成分 g'_kl が

(29-21a)  g'kk =	ì ï í ï î	1       ( k = 1  or  m < k £ n )
		r² sin² qm ¼ sin² qk+1       ( 1 < k < m )
		r²       ( k = m )

(29-21b)  g'kl = 0       ( k ¹ l )

で与えられることを証明しましょう。
　実際、正規直交座標 (x₁ ,¼, x_n ) に対する計量テンソルの成分は g_ij = d_ij ですから、

(29-22)  g'kl =

n å i, j=1

gij

¶xi —— ¶x'k

¶xj —— ¶x'l

=

n å i, j=1

dij

¶xi —— ¶x'k

¶xj —— ¶x'l

=

n å i=1

¶xi —— ¶x'k

¶xi —— ¶x'l

　一方、明らかに

(29-23)

¶xi —— ¶x'k

= dki       ( k > m  or  i > m )

ですから、k > m なら

(29-24)  g'kl =

n å i=1

dki

¶xi —— ¶x'l

=

¶xk —— ¶x'l

= dkl

となり、これは l > m の場合でも同様です。ゆえに (29-21) は 1 £ k, l £ m の場合に示せば十分です。
　さて、(29-14) により、まず k = 1 の場合は

(29-25a)

¶xi —— ¶x'1

=

¶xi —– ¶r

=

xi —–  r

( 1 £ i £ m )

となり、次に 2 £ k £ m の場合を考えると、x'_k = q_k となります。
　ここで更に i < k なら、x_i には q_k が sin q_k の形で含まれるので、q_k による微分は cot q_k を乗じる演算と等価です。
　また i = k なら、x_i には q_k が cos q_k の形で含まれるので、q_k による微分は - tan q_k を乗じる演算と等価です。
　また i > k なら、x_i には q_k は含まれません。
　以上により、

(29-25b)	¶xi —— ¶x'k	=	¶xi —— ¶qk	=	ì ï í ï î	xi cot qk       ( 1 £ i < k £ m )
						- xi tan qk       ( 2 £ i = k £ m )
						0       ( 2 £ k < i £ m )

　ゆえに、

(29-26a)  g'11 =

n å i=1

¶xi —— ¶x'1

¶xi —— ¶x'1

=

m å i=1

xi² —– r ²

= 1

　ただし最後の等号で (29-15b) を用いました。
　また 2 £ k £ m のときは、

(29-26b)  g'kk =

n å i=1

¶xi —— ¶x'k

¶xi —— ¶x'k

=

k-1 å i=1

xi² cot² qk + xk² tan² qk

=

k å i=1

xi² sin² qk cot² qk +

k å i=1

xi² cos² qk tan² qk =

k å i=1

xi² = r² sin² qm ¼ sin² qk+1

　ただし２番目の等号で (29-25b) を用い、３番目の等号で (29-11),(29-19) を用い、４番目の等号では sin q_k cot q_k = cos q_k と cos q_k tan q_k = sin q_k と cos² q_k + sin² q_k = 1 を用い、最後の等号では (29-15) を用いました。なお、k = m のときは、右辺は r² を意味するものとします。
　また 2 £ k £ m に対して

(29-26c)  g'1k =

n å i=1

¶xi —— ¶x'1

¶xi —— ¶x'k

=

k-1 å i=1

xi² —–  r

cot qk -

xk² —–  r

tan qk

=

k å i=1

xi² —–  r

sin² qk cot qk -

k å i=1

xi² —–  r

cos² qk tan qk = 0

　ただし２番目の等号で (29-25) を用い、３番目の等号で (29-11),(29-19) を用い、４番目の等号では sin² q_k cot q_k = cos² q_k tan q_k = sin q_k cos q_k を用いました。
　また 2 £ k < l £ m に対して

(29-26d)  g'kl =

n å i=1

¶xi —— ¶x'k

¶xi —— ¶x'l

=

k-1 å i=1

xi² cot qk cot ql - xk² tan qk cot ql

=

k å i=1

xi² sin² qk cot qk cot ql -

k å i=1

xi² cos² qk tan qk cot ql = 0

　ただし２番目の等号で (29-25b) を用い、３番目の等号で (29-11),(29-19) を用い、４番目の等号では sin² q_k cot q_k = cos² q_k tan q_k = sin q_k cos q_k を用いました。
　以上で (29-21) は証明され、これは座標系 (r, q₂ ,¼, q_m , x_m+1 ,¼, x_n ) が確かに直交座標になっていることを意味しています。一般にアファイン空間において、計量テンソルの成分が定数にならない座標を曲線座標と呼ぶので、この一般円筒座標は直交曲線座標です。

　さて、3 £ i £ m のとき、0 < q_i < p により sin q_i > 0 となるので、(29-21) から

(29-27)	____ Ö g'kk  =	ì ï í ï î	1       ( k = 1  or  m < k £ n )
			r sin qm ¼ sin qk+1       ( 1 < k < m )
			r       ( k = m )

が得られます。従って、

(29-28)  |det gx' |½ =

____________ Ö g'11 g'22 ¼ g'nn  =

m Õ k=2

____ Ö g'kk  = r

m-1 Õ k=2

r sin qm ¼ sin qk+1 = rm-1 sinm-2 qm sinm-3 qm-1 ¼ sin q3

となりますから、(19-39) により、積分の変数変換は

(29-29)  dx1 ¼ dxn = rm-1 sinm-2 qm sinm-3 qm-1 ¼ sin q3 dr dq2 ¼ dqmdxm+1 ¼ dxn

　また、(29-27) により

(29-30a)

___ ¶ Ög'kk ———  ¶x'i

= 0       ( 2 £ i £ k £ n )

(29-30b)

¶  —–  ¶x'i

___  Ög'kk ——–   sin qi

= 0       ( 2 £ k < i £ m )

(29-30c)

¶  —–  ¶x'1

___  Ög'kk ——–  r

= 0       ( 1 < k £ m )

　ゆえに、この直交曲線座標における (29-5),(29-7) の div B と grad f を自然成分によって表せば、

(29-31)  div B	=   __________ Ö g' 11 ¼ g' mm ¶  —–  ¶x1      _________ ( Ö g'22 ¼ g'mm  B/1 ) +  m å i=2   _________ Ö g' 11 ¼ g' ii ¶  —–  ¶xi      ____________ ( Ö g'11 ¼ g'i-1 i-1  B/i ) +  n å i=m+1   ___ Ö g' ii ¶B/i ——  ¶xi
	=  1  ——  rm-1 ¶  —–  ¶x1 ( rm-1 B/1 ) +  m å i=2   ___  Ög' ii ———   sini-2 qi  ¶  —–  ¶xi ( sini-2 qi B/i ) +  n å i=m+1 ¶B/i ——  ¶xi
	=  1  ——  rm-1 ¶ —–  ¶r ( rm-1 B/1 ) +  m å i=2  1  ——————————–  r sin qm ¼ sin qi+1 sini-2 qi ¶  —–  ¶qi ( sini-2 qi B/i ) +  n å i=m+1 ¶B/i ——  ¶xi

(29-32a)  grad/1 f =

____ Ö g' 11

¶f  —–  ¶x1

=

¶f —– ¶r

(29-32b)  grad/i f =

___ Ö gii

¶f  —–  ¶xi

=

1  ———————–  r sin qm ¼ sin qi+1

¶f  —–  ¶qi

( 2 £ i £ m )

(29-32c)  grad/i f =

___ Ö gii

¶f  —–  ¶xi

=

¶f  —–  ¶xi

( m < i £ n )

　ゆえにこれらを組み合わせれば、

(29-33)  D f	= div grad f
	=  1  ——  rm-1 ¶ —–  ¶r ( rm-1 grad/1 f ) +  m å i=2  1  ——————————–  r sin qm ¼ sin qi+1 sini-2 qi ¶  —–  ¶qi ( sini-2 qi grad/i f ) +  n å i=m+1 ¶ grad/i f ————  ¶xi
	=  1  ——  rm-1 ¶ —–  ¶r æ è  rm-1 ¶f —– ¶r ö ø +  m å i=2  1  ———————————  r² sin² qm ¼ sin² qi+1 sini-2 qi ¶  —–  ¶qi æ è sini-2 qi ¶f  —–  ¶qi ö ø +  n å i=m+1 ¶²f ——  ¶xi²

が得られます。ただし (29-31),(29-32b),(29-33) の中の分数式の分母に現れる sin q_m ¼ sin q_i+1 等は、i = m のときは 1 を意味するものとします。

　さて、ここで具体的に n = 2 の場合を考えます。
　この場合、m = 2 のみが許され、（２次元の）極座標といい、x₂ , x₁ , r , q₂ のことをそれぞれ順に x , y , r , q と書きます（順番に注意！）：

(29-34)	ì í î	x = r cos q
		y = r sin q

　このときベクトル B の変数 r , q に対する自然成分をそれぞれ B_r , B_q と書くことにすれば、(29-31)~(29-33) は次のようになります。

(29-35)  div B =

1 — r

¶ —–  ¶r

( r Br ) +

1 — r

¶Bq —–  ¶q

(29-36a)  gradr f =

¶f —– ¶r

(29-36b)  gradq f =

1 — r

¶f —– ¶q

(29-37)  D f =

1 — r

¶ —–  ¶r

æ è

r

¶f —– ¶r

ö ø

+

1 — r²

¶²f —– ¶q²

　ところで正規直交座標 (x, y) には、この順序のもとで正の向きが与えられているので、新しい座標 (r, q) の向きを調べると、

(29-38)  dx ^ dy = (cos q dr - r sin q dq) ^ (sin q dr + r cos q dq) = (r cos² q + r sin² q) dr ^ dq = r dr ^ dq

ですから向きは保たれます。またこのことから積分の変数変換について

(29-39)  dx dy = r dr dq

となることがわかります。

　次に n = 3 の場合を考えます。
　この場合、m = 2 と m = 3 の２通りが考えられ、前者の場合を（３次元の）円筒座標といい、x₂ , x₁ , x₃ , r , q₂ のことをそれぞれ順に x , y , z , r , q と書きます（順番に注意！）：

(29-40)	ì ï í ï î	x = r cos q
		y = r sin q
		z = z

　このときベクトル B の変数 r , q , z に対する自然成分をそれぞれ B_r , B_q , B_z と書くことにすれば、(29-31)~(29-33) は次のようになります。

(29-41)  div B =

1 — r

¶ —–  ¶r

( r Br ) +

1 — r

¶Bq —–  ¶q

+

¶Bz —–  ¶z

(29-42a)  gradr f =

¶f —– ¶r

(29-42b)  gradq f =

1 — r

¶f —– ¶q

(29-42c)  gradz f =

¶f —– ¶z

(29-43)  D f =

1 — r

¶ —–  ¶r

æ è

r

¶f —– ¶r

ö ø

+

1 — r²

¶²f —– ¶q²

+

¶²f —– ¶z²

　また、３次元なので、ベクトル A の rot A を考えることができますが、このベクトルの定義は多様体の向きに依存します。正規直交座標 (x, y, z) には、この順序のもとで正の向きが与えられているので、新しい座標 (r, q, z) の向きを調べる必要がありますが、

(29-44)  dx ^ dy ^ dz = (cos q dr - r sin q dq) ^ (sin q dr + r cos q dq) ^ dz = (r cos² q + r sin² q) dr ^ dq ^ dz = r dr ^ dq ^ dz

ですから向きは保たれます。またこのことから積分の変数変換について

(29-45)  dx dy dz = r dr dq dz

となることがわかります。一方 (29-27) により

(29-46a)

___ Ö g'rr  = 1

(29-46b)

___ Ö g'qq  = r

(29-46c)

___ Ö g'zz  = 1

ですから、(29-6) により

(29-47a)  rotr A =

_______ Ö g' qq g' zz

ì í î

¶ —– ¶q

___ ( Ö g'zz  Az ) -

¶ —–  ¶z

___ ( Ö g'qq  Aq )

ü ý þ

=

1 — r

¶Az —–  ¶q

-

¶Aq —–  ¶z

(29-47b)  rotq A =

_______ Ö g' zz g' rr

ì í î

¶ —–  ¶z

___ ( Ö g'rr  Ar ) -

¶ —–  ¶r

___ ( Ö g'zz  Az )

ü ý þ

=

¶Ar —–  ¶z

-

¶Az —–  ¶r

(29-47c)  rotz A =

_______ Ö g' rr g' qq

ì í î

¶ —–  ¶r

___ ( Ö g'qq  Aq ) -

¶ —– ¶q

___ ( Ö g'rr  Ar )

ü ý þ

=

1 — r

¶ —–  ¶r

( r Aq ) -

¶Ar —–  ¶q

が得られます。

　最後に n = 3 で m = 3 の場合を考え、これを（３次元の）極座標といい、x₂ , x₁ , x₃ , r , q₃ , q₂ のことをそれぞれ順に x , y , z , r , q , f と書きます（順番に注意！）：

(29-48)	ì ï í ï î	x = r sin q cos f
		y = r sin q sin f
		z = r cos q

　このときベクトル B の変数 r , q , f に対する自然成分をそれぞれ B_r , B_q , B_f と書くことにすれば、(29-31)~(29-33) は次のようになります。

(29-49)  div B =

1 — r²

¶ —–  ¶r

( r²Br ) +

1 ——– r sin q

¶ —–  ¶q

( sin q Bq ) +

1 ——– r sin q

¶Bf —–  ¶f

(29-50a)  gradr f =

¶f —– ¶r

(29-50b)  gradq f =

1 — r

¶f —– ¶q

(29-50c)  gradf f =

1 ——– r sin q

¶f —– ¶f

(29-51)  D f =

1 — r²

¶ —–  ¶r

æ è

r²

¶f —– ¶r

ö ø

+

1 ——— r² sin q

¶ —–  ¶q

æ è

sin q

¶f —– ¶q

ö ø

+

1 ———– r² sin² q

¶²f —– ¶f²

　この場合もベクトル A の rot A を考えることができますが、このベクトルの定義は多様体の向きに依存します。正規直交座標 (x, y, z) には、この順序のもとで正の向きが与えられているので、新しい座標 (r, q, f) の向きを調べる必要がありますが、sin q , cos q , sin f , cos f をそれぞれ s , c , s' , c' と略記すれば、

(29-52)  dx ^ dy ^ dz	= (s c' dr + r c c' dq - r s s' df) ^ (s s' dr + r c s' dq + r s c' df) ^ (c dr - r s dq)
	= - r s s' df ^ (s s' dr + r c s' dq) ^ (c dr - r s dq) + (s c' dr + r c c' dq) ^ r s c' df ^ (c dr - r s dq)
	= (s dr + r c dq) ^ r s s' ² df ^ (c dr - r s dq) + (s dr + r c dq) ^ r s c' ² df ^ (c dr - r s dq)
	= (s dr + r c dq) ^ r s df ^ (c dr - r s dq)
	= r c dq ^ r s df ^ c dr - s dr ^ r s df ^ r s dq
	= r² s c² dr ^ dq ^ df + r² s³ dr ^ dq ^ df
	= r² s dr ^ dq ^ df

で、r² s = r² sin q > 0 ですから向きは保たれます。またこのことから積分の変数変換について

(29-53)  dx dy dz = r² sin q dr dq df

となることがわかります。一方 (29-27) により

(29-54a)

___ Ö g'rr  = 1

(29-54b)

___ Ö g'qq  = r

(29-54c)

___ Ö g'ff  = r sin q

ですから、(29-6) により

(29-55a)  rotr A =

_______ Ö g' qq g' ff

ì í î

¶ —– ¶q

___ ( Ö g'ff  Af ) -

¶ —– ¶f

___ ( Ö g'qq  Aq )

ü ý þ

=

1 ——– r sin q

¶ —– ¶q

( sin q Af ) -

1 ——– r sin q

¶Aq —–  ¶f

(29-55b)  rotq A =

_______ Ö g' ff g' rr

ì í î

¶ —–  ¶f

___ ( Ö g'rr  Ar ) -

¶ —–  ¶r

___ ( Ö g'ff  Af )

ü ý þ

=

1 ——– r sin q

¶Ar —–  ¶f

-

1 — r

¶ —–  ¶r

( r Af )

(29-55c)  rotf A =

_______ Ö g' rr g' qq

ì í î

¶ —–  ¶r

___ ( Ö g'qq  Aq ) -

¶ —– ¶q

___ ( Ö g'rr  Ar )

ü ý þ

=

1 — r

¶ —–  ¶r

( r Aq ) -

1 — r

¶Ar —–  ¶q

が得られます。