電磁気学

　連続の式 (1-3),(2-13) を満たす r_e ，J_e ，r_m ，J_m と

(3-1a)  div Do = re |t=0

(3-1b)  div B'o = rm |t=0

を満たす空間変数のみのベクトル場 D_o と B'_o が与えられたとき、E'_o º D_o / e_o , H_o º B'_o / m_o と置き、これらを初期値にもち (M1)'〜(M4)' を満たす解を求める初期値問題を考えてみましょう。まず

(3-2)  c =

1  —–—––  Öeomo

(3-3)  £ = D -

1 —  c²

¶² —– ¶t²

と置いて、D'Alembertian £ を (M1)'〜(M4)' の解 E' に施すと、£ = grad div - rot rot - e_om_o¶²/¶t² ですから

(3-4a)  £E'	= 1  —– eo grad div D - rot rot E' - mo ¶²D —– ¶t²     ( ∵ (2-10a) )
	= 1  —– eo grad re + rot æ è  ¶B' —– ¶t + Jm ö ø - mo ¶ —–  ¶t ( rot H - Je )      ( ∵ (M2)', (M3)', (M1)' )
	= 1  —– eo grad re + rot Jm + mo ¶Je —– ¶t       ( ∵ (2-10b) )

という E' のみに対する方程式が得られます。
　一方、方程式 (M1)'〜(M4)' は、e_o と m_o を入れ替え、E' を H に、H を - E' に、J_e を J_m に、J_m を - J_e に、r_e を r_m に、r_m を - r_e に一斉に置き換えても不変なので、同様に H に対する方程式：

(3-4b)  £H =

1  —– mo

grad rm - rot Je + eo

¶Jm —– ¶t

が得られます。更に初期値については

(3-5a)  E' |t=0 = E'o

(3-5b)  H |t=0 = Ho

(3-6a)

¶E' —–  ¶t

½ ½ ½

t=0

=

1  —– eo

( rot Ho - Je |t=0 )      ( ∵ (M1)' )

(3-6b)

¶H —–  ¶t

½ ½ ½

t=0

= -

1  —– mo

( rot E'o + Jm |t=0 )      ( ∵ (M3)' )

が成り立つので、双曲型偏微分方程式の初期値問題の解の一意性 (「偏微分方程式」第３節参照) により、電磁場 E' と H の一意性が確かめられました。

　次に、初期値 (3-5),(3-6) に対する E' と H それぞれに対する方程式 (3-4) は、「偏微分方程式」第３節によって解の存在が保証されますが、これらの解 E' と H が、更に (M1)'〜(M4)' の解にもなっている、すなわち

(3-7a)  Ke º rot H - eo

¶E' —– ¶t

- Je

(3-7b)  Km º rot E' + mo

¶H —– ¶t

+ Jm

(3-7c)  ke º eo div E' - re

(3-7d)  km º mo div H - rm

と置いたとき、これらがすべて 0 になることを確かめましょう。まず

(3-8a)  £Ke	= rot £H - eo ¶ —–  ¶t £E' - £Je
	= rot æ è 1  —– mo grad rm - rot Je + eo ¶Jm —– ¶t  ö ø - eo ¶ —–  ¶t æ è 1  —– eo grad re + rot Jm + mo ¶Je —– ¶t  ö ø - æ è grad div Je - rot rot Je - eomo ¶²Je ——  ¶t² ö ø
	= - grad æ è ¶re —— ¶t  + div Je ö ø
	= 0       ( ∵ (1-3) )

(3-8b)  Ke |t=0 = rot Ho - eo

¶E' —–  ¶t

½ ½ ½

t=0

- Je |t=0 = 0       ( ∵ (3-6a) )

(3-8c)	¶Ke —– ¶t	½ ½ ½	t=0	= rot ¶H —–  ¶t ½ ½ ½ t=0 - eo ¶²E' —— ¶t² ½ ½ ½ t=0 - ¶Je —– ¶t  ½ ½ ½ t=0
				= - 1  —– mo rot ( rot E'o + Jm |t=0 ) + 1  —– mo ( £ E' - D E' ) |t=0 - ¶Je —– ¶t  ½ ½ ½ t=0       ( ∵ (3-6b) )
				= 1  —– mo ì í î æ è £ E' - rot Jm - mo ¶Je —– ¶t  ö ø - ( D E' + rot rot E' ) ü ý þ ½ ½ ½ t=0
				= 1  —– mo ì í î 1  —– eo grad re - grad div E' ü ý þ ½ ½ ½ t=0       ( ∵ (3-4a) )
				= 1  —— eomo grad ( re |t=0 - div Do )
				= 0       ( ∵ (3-1a) )

となるので、双曲型偏微分方程式の初期値問題の解の一意性により K_e = 0 となることがわかります。また、(3-4a) 直後の置き換えにより、同様に K_m = 0 となることもわかります。また

(3-9a)  £ke	= eo div £E' - £re
	= eo div æ è 1  —– eo grad re + rot Jm + mo ¶Je —– ¶t  ö ø - æ è Dre - eomo ¶²re ——  ¶t² ö ø
	= eomo ¶ —–  ¶t æ è div Je + ¶re —— ¶t  ö ø
	= 0       ( ∵ (1-3) )

(3-9b)  ke |t=0 = eo div E'o - re |t=0 = 0       ( ∵ (3-1a) )

(3-9c)	¶ke —– ¶t	½ ½ ½	t=0	= eo div ¶E' —–  ¶t ½ ½ ½ t=0 - ¶re —– ¶t  ½ ½ ½ t=0
				= div ( rot Ho - Je |t=0 ) - ¶re —– ¶t  ½ ½ ½ t=0       ( ∵ (3-6a) )
				= - æ è div Je + ¶re —— ¶t  ö ø ½ ½ ½ t=0
				= 0       ( ∵ (1-3) )

となるので、双曲型偏微分方程式の初期値問題の解の一意性により k_e = 0 となることがわかります。また、(3-4a) 直後の置き換えにより、同様に k_m = 0 となることもわかります。
　以上により、(M1)'〜(M4)' に対する初期値問題の解の存在と一意性が証明されました。

　次に、- £ の基本解（「偏微分方程式」第３節 (3-59),(3-62) 参照）：

(3-10)  Gc =

d(t - r/c) ———— 4pr

と (3-4) の右辺の畳み込み（「偏微分方程式」第１節 (1-38) 参照）を取ることにより、無限の過去において初期値が 0 となる (3-4) の解を求めてみましょう。
　任意の関数 f º f(t, r) に対して

(3-11)  f * grad Gc	= f * ¶Gc —— ¶r  grad r
	= f * æ è - d(t - r/c) ———— 4pr² - d'(t - r/c) ———— 4pcr ö ø r — r
	= - f * d(t - r/c)r ————– 4pr³ - f * ¶ —–  ¶t d(t - r/c)r ————– 4pcr²
	= - f * d(t - r/c)r ————– 4pr³     · - f * d(t - r/c)r ————– 4pcr²
	= - 1 —– 4p ò f(t - r/c, s')r —————– r³ dV' - 1 —– 4p ò ·                    f(t - r/c, s')r —————–  cr²  dV'       ( r = s - s' , r = | r | , dV' = dVs' )

が成り立つことに注意して（ただし、文字の上のドットは時間微分を表します）、(3-4a) の右辺と - G_c の畳み込みを取って、

(3-12a)  E'	º - Gc * æ è 1  —– eo grad re + rot Jm + mo ¶Je —– ¶t  ö ø
	= - 1  —– eo grad (Gc* re ) - rot (Gc * Jm ) - mo Gc * ¶Je —– ¶t
	= - 1  —– eo re * grad Gc + Jm ´* grad Gc - mo  · Je* Gc
	= 1  —— 4peo ò re(t-r/c,s')r —————  r³  dV' + 1  —— 4peo ò ·                   re(t-r/c,s')r —————  cr²  dV' - 1 —– 4p ò Jm(t-r/c,s') ´ r ——————  r³  dV' - 1 —– 4p ò ·                      Jm(t-r/c,s') ´ r ——————  cr²  dV' - mo —– 4p  ò ·               Je(t-r/c,s') ————–  r  dV'

と置き（ただし ´* は、その左右のベクトルの外積を取り、各成分における積を畳み込み演算に置き換えたものを表します）、同様に (3-4b) の右辺と - G_c の畳み込みを取って、

(3-12b)  H	º - Gc * æ è 1  —– mo grad rm - rot Je + eo ¶Jm —– ¶t  ö ø
	= 1  —— 4pmo ò rm(t-r/c,s')r —————  r³  dV' + 1  —— 4pmo ò ·                   rm(t-r/c,s')r —————  cr²  dV' + 1 —– 4p ò Je(t-r/c,s') ´ r ——————  r³  dV' + 1 —– 4p ò ·                      Je(t-r/c,s') ´ r ——————  cr²  dV' - eo —– 4p  ò ·               Jm(t-r/c,s') ————–  r  dV'

と置きます。これら (3-12) の右辺の表示をJefimenko方程式といいますが、この (3-12) で定義された E' と H の組が、確かに方程式 (M1)'〜(M4)' の解になっていることを確かめましょう。実際、

(3-13a)  rot H - eo	¶E' —– ¶t	= - Gc * rot æ è 1  —– mo grad rm - rot Je + eo ¶Jm —– ¶t  ö ø + eoGc * ¶ —–  ¶t æ è 1  —– eo grad re + rot Jm + mo ¶Je —– ¶t  ö ø
		= Gc * æ è rot rot Je + eomo ¶²Je —–  ¶t² + ¶ —–  ¶t grad re ö ø
		= Gc * grad æ è div Je + ¶re —— ¶t  ö ø - Gc * æ è D - eomo ¶² —– ¶t² ö ø Je
		= 0 - £(Gc * Je )       ( ∵ (1-3) )
		= Je

(3-13b)  eo div E'	= - eoGc * div æ è 1  —– eo grad re + rot Jm + mo ¶Je —– ¶t  ö ø
	= - Gc * æ è D - eomo ¶² —– ¶t² ö ø re - eomoGc * ¶ —–  ¶t æ è div Je + ¶re —— ¶t  ö ø
	= - £(Gc * re ) - 0       ( ∵ (1-3) )
	= re

となって (M1)' , (M2)' が成り立つことがわかりますが、(3-4a) 直後の置き換えを行うことにより、残る (M3)' , (M4)' が成り立つこともわかります。

　最後に、定常で有界なソース、すなわち r_e ，J_e，r_m，J_m が t を含まず、かつ有界な領域にのみ存在している場合について、定常な電磁場を求めてみましょう。この場合、(M1)'〜(M4)' は、(M2)' と (M3)' のペアと (M4)' と (M1)' のペアに分けて並べると、

(3-14a)

ì í î

div D = re    rot E' = - Jm

(3-14b)

ì í î

div B' = rm    rot H = Je

という形になり、電場の方程式 (3-14a) と磁場の方程式 (3-14b) に分離されます。(3-14a) と (3-14b) の解については、Helmholtzの定理（「偏微分方程式」第４節 (4-52),(4-58),(4-59) 参照 ）により、無限遠でゼロとなる解が唯一つ存在し、次式で与えられます：

(3-15a)  D = eoE' =

1 —– 4p

ò

re'r ——–  r³

dV' -

eo —– 4p

ò

Jm' ´ r ———–  r³

dV'

(3-15b)  B' = moH =

1 —– 4p

ò

rm'r ——–  r³

dV' +

mo —– 4p

ò

Je' ´ r ———–  r³

dV'

　ただし被積分関数の r_e' などの ' は、積分変数が s' であることを意味します。
　これらの式の右辺第１項をそれぞれ電気及び磁気のCoulombの法則、第２項をそれぞれ磁流及び電流によるBiot-Savartの法則と呼びます。これらの解は、当然ながら、Jefimenko方程式 (3-12) で場が定常な場合の式に一致しています。