電磁気学

　本節では定常な場におけるLorentz力に対して作用・反作用の法則が成り立つことを確かめます。また、歴史的には、磁場は磁荷が受ける力によって定義されてきましたが、Lorentz力の式には磁荷が受ける力の項はありません。実はこの力はミクロな電流(磁化電流)が磁場から受ける力に他ならないのですが、本節ではこのような磁荷や磁流が電磁場から受ける力についても定量的に考察します。

　まず準備として、テンソルに関する公式を導いておきます。U と V を任意のベクトル場とし、第 (i,j) 成分が次式で与えられるような２階の対称テンソル U#V を考えます。

(4-1)  (U#V)ij = UiVj + ViUj - dijUkVk

　ただし、同じ添字が出てきたら和をとるものとします。さて、このテンソルの発散を考えてみます。ただし２階のテンソル T の発散 div T とは、第 i 成分が ¶_jT_ij で与えられるベクトルを意味するものとします。

(4-2)  {div(U#V)}i	= ¶j(U#V)ij
	= Ui¶jVj + Vj¶jUi + Vi¶jUj + Uj¶jVi - Uk¶iVk - Vk¶iUk
	= Uj(¶jVi - ¶iVj) + Vj(¶jUi - ¶iUj) + Vi¶jUj + Ui¶jVj
	= Uj(djldim - djmdil)¶lVm + Vj(djldim - djmdil)¶lUm + Vi¶jUj + Ui¶jVj
	= eikjeklm(¶lVm)Uj + eikjeklm(¶lUm)Vj + Vi¶jUj + Ui¶jVj

　ただしここで、「微分多様体」第24節 (24-19) で定義される記号を用い、「微分多様体」第27節 (27-52) の公式を使いました。従って、

(4-3)  div(U#V ) = rot V ´ U + rot U ´ V + V div U + U div V

という公式が得られます。特に U = V と置けば、

(4-4)

1 — 2

div(U#U) = rot U ´ U + U div U

という式が得られます。また、テンソルの場合でも、ガウスの定理：

(4-5)

òW

div T dV =

ò¶W

T · dS

が成り立ちます。ただし、T · dS は、テンソル T と面積ベクトル dS の縮約で、その第 i 成分が T_ijdS_j で与えられるベクトルを表します。また、位置ベクトル s = (x¹ ,x² ,x³) と任意の対称テンソル T に対し、

(4-6)  (s ´ div T )i	= eijkxj¶lTkl
	= ¶l(eijkxjTkl) - eijkTkl¶lxj
	= ¶l(eijkxjTkl) - eijkTkldlj
	= ¶l(eijkxjTkl) - eijkTkj
	= ¶l(eijkxjTkl)

となります。なお、最後の変形で、T の対称性 T_ij = T_ji と e の反対称性 e_ijk = - e_ikj を使いました。ゆえに、

(4-7)  s ´ div T = div(s ´ T )

が成り立ちます。ただし、第 (i,l) 成分が e_ijkx_jT_kl で与えられる２階のテンソルを s ´ T と書きました。

　さて、以上の準備のもとで、定常な電荷と電流からなる複数の系を考え、第 i 番目の系(以下系 i と略)の電荷、実電荷、電流、実電流、磁荷、磁流をそれぞれ r_i ，r_ei ，J_i ，J_ei ，r_mi ，J_mi と書くことにします。
　この設定のもとで、系 i が系 j の作る電磁場から受ける力 F_ij と力のモーメント(トルク) N_ij を考えてみましょう。系 i が作る電場、磁場、分極、磁化などをやはり添字 i を付けて表わせば、定常な場合の真空中のMaxwell方程式は、

(4-8a)  eodiv Ei = ri

(4-8b)  rot Ei = 0

(4-8c)  div Bi = 0

(4-8d)  rot Bi = moJi

となります。そこで

(4-9a)  T Eij = eoEi#Ej

(4-9b)  T Bij = mo-1Bi#Bj

と置くと、(4-3) を用いて

(4-10a)  div T Eij	= eo rot Ei ´ Ej + eo rot Ej ´ Ei + eoEi div Ej + eoEj div Ei
	= rjEi + riEj

(4-10b)  div T Bij	= mo-1 rot Bi ´ Bj + mo-1 rot Bj ´ Bi + mo-1Bi div Bj + mo-1Bj div Bi
	= Ji ´ Bj + Jj ´ Bi

と変形されます。一方、系 i が系 j から受ける力の密度 f_ij は

(4-11)  fij = riEj + Ji ´ Bj

ですから、(4-10a) と (4-10b) を加えると、

(4-12)  div(T Eij + T Bij) = fij + fji

が得られます。また、(4-12) と位置ベクトルとの外積をとれば、(4-7) により

(4-13)  div{s ´ (T Eij + T Bij)} = s ´ fij + s ´ fji

　一方、(3-15a),(3-15b) によれば、定常な電磁場は無限遠で r^-2 のオーダーで減少するので、T ^E_ij + T ^B_ij は r^-4 のオーダーで、s ´ (T ^E_ij + T ^B_ij) は r^-3 のオーダーでそれぞれ減少します。
　したがって、(4-12) と (4-13) を全空間で積分すると、左辺の積分は無限遠における面積分となって消えます。また、右辺については

(4-14)  Fij =

ò

fij dV

(4-15)  Nij =

ò

s ´ fij dV

ですから

(4-16)  Fij + Fji = 0

(4-17)  Nij + Nji = 0

が成り立ちます。(4-16) と (4-17) は、定常な電磁場のLorentz力に対して作用・反作用の法則が成り立つことを意味しています。実際、(4-16) は、F_ij と F_ji が大きさが同じで向きが逆であることを意味していますし、(4-15) は、系 i が位置 s_i に集中しているとすれば

(4-18)  Nij = si ´

ò

fij dV = si ´ Fij

と書けるので、(4-15) は

(4-19)  si ´ Fij + sj ´ Fji = 0

となり、これと (4-16) により、

(4-20)  (si - sj ) ´ Fij = 0

が得られ、これは、力の向きがそれぞれの位置を結んだ線分の向きと平行であることを意味しています。また、i = j のときは、(4-16) と (4-17) により F_ij も N_ij も 0 となるので、電磁場が定常な場合は自分自身が作る場からは力もトルクも受けないことがわかります。

　次に、定常な場において磁荷や磁流が電磁場から受ける力について考察しましょう。前節の (3-14a),(3-14b) は

(4-21a)  div Di = rei

(4-21b)  rot Di = - eoJmi

(4-21c)  div Hi = mo-1rmi

(4-21d)  rot Hi = Jei

と書けますから

(4-22a)  T Dij = eo-1Di#Dj

(4-22b)  T Hij = moHi#Hj

と置くと、(4-3) を用いて

(4-23a)  div T Dij	= eo-1 rot Di ´ Dj + eo-1 rot Dj ´ Di + eo-1Di div Dj + eo-1Dj div Di
	= - Jmi ´ Dj - Jmj ´ Di + rejE'i + reiE'j

(4-23b)  div T Hij	= mo rot Hi ´ Hj + mo rot Hj ´ Hi + moHi div Hj + moHj div Hi
	= Jei ´ B'j + Jej ´ B'i + rmjHi + rmiHj

と変形されます。そこで f '_ij を

(4-24)  f 'ij = f (e)ij + f (m)ij

で定義します。ただし

(4-25a)  f (e)ij = reiE'j + Jei ´ B'j

(4-25b)  f (m)ij = rmiHj - Jmi ´ Dj

です。(4-23a) と (4-23b) を加えると、

(4-26)  div(T Dij + T Hij) = f 'ij + f 'ji

が得られ、これと位置ベクトルとの外積をとれば、(4-7) により

(4-27)  div{s ´ (T Dij + T Hij)} = s ´ f 'ij + s ´ f 'ji

が得られます。さてある相異なる系 i、系 j に対し、系 i の電荷、電流、分極、磁化は領域 Ω の内部にのみ存在し、系 j のそれは Ω の外部にのみ存在しているものとします。この仮定のもとでは

(4-28a)  E'j = Ej   in Ω

(4-28b)  B'j = Bj   in Ω

(4-29a)  E'k = Ek   on ¶Ω   ( k = i,j )

(4-29b)  B'k = Bk   on ¶Ω   ( k = i,j )

が成り立ちますから、(4-29a),(4-29b) により

(4-30a)  T Dij = T Eij   on ¶Ω

(4-30b)  T Hij = T Bij   on ¶Ω

となるので、

(4-31)  Fij	= òΩ  fij dV       ( ∵ ri = 0 , Ji = 0 out of Ω )
	= òΩ (  fij +  fji ) dV       ( ∵ rj = 0 , Jj = 0 ∴  fji = 0  in Ω )
	= òΩ div(T Eij +  T Bji) dV       ( ∵ (4-12) )
	= ò¶Ω (T Eij +  T Bji) · dS
	= ò¶Ω (T Dij +  T Hji) · dS       ( ∵ (4-30) )
	= òΩ div(T Dij +  T Hji) dV
	= òΩ (  f 'ij +  f 'ji ) dV       ( ∵ (4-26) )
	= òΩ  f 'ij dV      ( ∵ rej , rmj = 0 ; Jej , Jmj = 0 ∴  f 'ji  in Ω )

　これと (4-24),(4-25a),(4-25b),(4-28a),(4-28b) により、物質中のLorentz力を実電荷、実電流、磁荷、磁流によって表す式：

(4-32)  Fij =

òΩ

( reiEj + Jei ´ Bj ) dV +

òΩ

( rmiHj - Jmi ´ Dj ) dV

が得られます。同様に、

(4-33)  Nij	= òΩ s ´ fij dV
	= òΩ s ´ (  fij +  fji ) dV
	= òΩ div{s ´ (T Eij +  T Bji)} dV       ( ∵ (4-13) )
	= ò¶Ω {s ´ (T Eij +  T Bji)} · dS
	= ò¶Ω {s ´ (T Dij +  T Hji)} · dS
	= òΩ div{s ´ (T Dij +  T Hji)} dV
	= òΩ {s ´ (  f 'ij +  f 'ji )} dV       ( ∵ (4-27) )
	= òΩ s ´  f 'ij dV

となるので、物質中のLorentz力のトルクを実電荷、実電流、磁荷、磁流によって表す式：

(4-34)  Nij =

òΩ

s ´ ( reiEj + Jei ´ Bj ) dV +

òΩ

s ´ ( rmiHj - Jmi ´ Dj ) dV

が得られます。(4-32),(4-34) はMaxwell方程式 (M1)'〜(M4)' と同様に、電気と磁気に対して全く対称な形をしています。ただしこれらは場が定常な場合にのみ成り立つ式であることに注意が必要です。

　さて、実電荷 r_ei が r_ej の作る電界 E_ej から受ける力は

(4-35a)  F(rei , rej)	= ò reiEej dV
	= ò rei æ è 1  —— 4peo ò rej'r ———  r³ dV' ö ø dV       ( ∵ (3-15a) )
	= 1  —— 4peo òò reirej'r ———–  r³ dV dV'

　同様に、磁荷 r_mi が r_mj の作る磁界から受ける力は、(4-32),(3-15b) により、

(4-35b)  F(rmi , rmj)

=

1  —— 4pmo

òò

rmirmj'r ———–  r³

dV dV'

　これらもCoulombの法則ということがあります。

　次に 実電流 J_ei が J_ej の作る磁束密度 B_ej から受ける力 F(J_ei , J_ej) を求めてみましょう。まず (4-21d) により、

(4-36)

ò

Jei · r ———  r³

dV = Jei ·*

r —–  r³

= - Jei ·* grad

1 —–  r

= - div Jei *

1 —–  r

= 0

が成り立つことに注意します。ただし ·* はベクトルの成分をベクトルの内積で計算した畳み込み演算を表します。ゆえに

(4-37a)  F(Jei , Jej)	= ò Jei ´ Bej dV'
	= ò Jei ´ æ è mo —– 4p  ò Jej' ´ r ———–  r³ dV' ö ø dV       ( ∵ (3-15b) )
	= mo —– 4p  òò Jei ´ (Jej' ´ r) ——————  r³ dV dV'
	= mo —– 4p  òò Jej'(Jei · r) - (Jei · Jej')r ——————————  r³ dV dV'
	= - mo —– 4p  òò (Jei · Jej')r —————  r³ dV dV'       ( ∵ (4-36) )

　同様に、磁流 J_mi が J_mj の作る電場から受ける力は、(4-32),(3-15a) により

(4-37b)  F(Jmi , Jmj) = -

eo —– 4p

òò

(Jmi · Jmj')r —————  r³

dV dV'

となります。

　最後に、磁荷 r_mi が電流 J_ej の作る磁場 H_ej から受ける力は

(4-38a)  F(rmi , Jej)	= ò rmi Hej dV'
	= ò rmi æ è 1 —– 4p ò Jej' ´ r ———–  r³ dV' ö ø dV       ( ∵ (3-15b) )
	= 1 —– 4p òò Jej' ´ rmi r —————  r³ dV dV'

　同様に、電荷 r_ei が磁流 J_mj の作る電場から受ける力は

(4-38b)  F(rei , Jmj) = -

1 —– 4p

òò

Jmj' ´ rei r —————  r³

dV dV'

　逆に、電流 J_ei が磁荷 r_mj の作る磁束密度 B_mj から受ける力は

(4-39a)  F(Jei , rmj)	= ò Jei ´ Bmj dV'
	= ò Jei ´ æ è 1 —– 4p ò rmj' r ———  r³ dV' ö ø dV       ( ∵ (3-15b) )
	= 1 —– 4p òò Jei ´ rmj' r —————  r³ dV dV'

　同様に、磁流 J_mi が電荷 r_ej の作る電束密度から受ける力は

(4-39b)  F(Jmi , rej) = -

1 —– 4p

òò

Jmi ´ rej' r —————  r³

dV dV'

　以上の各式において、右辺の添字 i と j を入れ替え、更に積分変数も入れ替えると、r の符号が変わることに注意すれば、一般に

(4-40)  F( Xi , Yj ) = - F( Yj , Xi )

が成り立っていることがわかります。ただし、X と Y は、上に挙げた電荷、磁荷、電流、磁流のいずれかの組合せを表します。