電磁気学

　任意に与えられたベクトル場 A とスカラー場 j に対して

(6-1a)  B = rot A

(6-1b)  E = - grad j -

¶A —– ¶t

とおけば、

(6-2a)  div B = div rot A = 0

(6-2b)  rot E = - rot grad j - rot

¶A —– ¶t

= -

¶ —–  ¶t

rot A = -

¶B —– ¶t

となるので、Maxwell方程式のうち (M3),(M4) を満たします。
　逆に (M3),(M4) を満たすベクトル場 E ，B が与えられれば (6-1a),(6-1b) を満たす A ，j が存在するのですが、実はさらに強く、(M3),(M4) を満たす E ，B と任意の j に対し、(6-1a),(6-1b) を満たす A が存在します。実際、div B|_t=0 = 0 ですからポアンカレの補題(「微分多様体」第20節 (20-40c) 参照 )により、

(6-3)  B|t=0 = rot Ao

となる空間変数のみのベクトル場 A_o が存在します。これを用いて

(6-4)  A = Ao -

ò

t 0

(E + grad j) dt

と置けば、(6-4) の両辺を t で微分することにより (6-1b) が得られ、また (6-4) の両辺に rot を施せば、(M4) により、

(6-5)  rot A = rot Ao -

ò

t 0

rot (E + grad j) dt = B|t=0 +

ò

t 0

¶B —– ¶t

dt = B

となって (6-1a) が満たされます。

　電磁場 E ，B に対して (6-1a),(6-1b) を満たす A ，j の組を電磁ポテンシャルとよび、特に A をベクトル・ポテンシャル、j をスカラー・ポテンシャルといいます。

　さて、電磁ポテンシャルは一意的には定まりません。実際、任意のスカラー場 c に対して

(6-6a)  A' = A - grad c

(6-6b)  j¢ = j +

¶c —–  ¶t

と置けば、

(6-7a)  rot A' = rot A - rot grad c = rot A = B

(6-7b)  - grad j¢ -

¶A' —–  ¶t

= - grad j - grad

¶c —–  ¶t

-

¶A —–  ¶t

+

¶ —–  ¶t

grad c = - grad j -

¶A —–  ¶t

= E

となるので、A' ，j¢ の組も電磁ポテンシャルになっていることがわかります。

　逆に A ，j と A' ，j¢ をそれぞれ電磁ポテンシャルとすると、A ，A' が (6-1) を満たすので、

(6-8)  rot (A - A' ) = B - B = 0

が成り立ちますから、ポアンカレの補題(「微分多様体」第20節 (20-40b) 参照 )により、

(6-9)  (A - A' )|t=0 = grad co

を満たす空間変数のみのスカラー c_o が存在します。一方、j ，A の組も j¢ ，A' の組も共に (6-1b) を満たすので、

(6-10)

grad(j¢ - j) +

¶ —–  ¶t

(A' - A) = E - E = 0

が成り立ちます。そこで

(6-11)  c = co +

ò

t 0

(j¢ - j) dt

と置くと、これを t で微分すれば (6-6b) が得られ、(6-11) の両辺の grad をとると

(6-12)  grad c = grad co +

ò

t 0

grad (j¢ - j) dt = (A - A' )|t=0 +

ò

t 0

¶ —–  ¶t

(A - A' ) dt = A - A'

となって (6-6a) が満たされます。
　電磁ポテンシャルに対する (6-6a),(6-6b) のような変換をゲージ変換と言います。

　以下では定数 e ，m により、D = eE および B = mH が成り立っている場合のみを考えます。このとき、(M1) と (M2) はそれぞれ

(6-13a)  rot B - em

¶E —– ¶t

= m J

(6-13b)  div E =

r — e

となります。(6-1a),(6-1b) を (6-13a),(6-13b) に代入すると、ポテンシャルの満たすべき方程式として、

(6-14a)  rot rot A + em grad

¶j —–  ¶t

+ em

¶²A —— ¶t²

= m J

(6-14b)  - div grad j -

¶ —–  ¶t

div A =

r — e

あるいは、恒等式  rot rot A = grad div A - D A  や  div grad j = Dj  を使ってこれらを変形した

(6-15a)  - £A + grad

æ è

div A + em

¶j —–  ¶t

ö ø

= m J

(6-15b)  - £j -

¶ —–  ¶t

æ è

div A + em

¶j —–  ¶t

ö ø

=

r — e

という式が得られます。ただし、£ は e，m によるd'Alembertian：

(6-16)  £ = D - em

¶² —– ¶t²

です。逆に、(6-14a),(6-14b) を満たす A と j が与えられたとすると、E ，B を (6-1a),(6-1b) で定義すれば、これらはMaxwell方程式をすべて満たすことがわかります。

　さて、c に関する d'Alembert方程式：

(6-17)  £c = div A + em

¶j —–  ¶t

を解けば、

(6-18)  div (A - grad c) + em

¶ —–  ¶t

æ è

j +

¶c —–  ¶t

ö ø

= 0

となるので、この c によってゲージ変換すれば、新しい A と j は、次のLorentz条件を満たすことがわかります：

(6-19)  div A + em

¶j —–  ¶t

= 0

　これに伴って、(6-15a),(6-15b) も次のシンプルな d'Alembert方程式になります。

(6-20a)  £A = - m J

(6-20b)  £j = -

r — e

　これらの条件を満たす A ，j を、Lorentzゲージの電磁ポテンシャルといいます。
　この (6-20) は、「偏微分方程式」第３節 (3-62) により、同節 (3-58) で定義される - £ の基本解 G_c を使って

(6-21a)  A = mGc* J =

m —– 4p

ò

J(t - r/c, s') ————— r

dV'

(6-21b)  j =

Gc* r ———  e

=

1 —— 4pe

ò

r(t - r/c, s') ————— r

dV'

で与えられる遅延ポテンシャル解を持ちます。ただし c は

(6-22)  c =

1 —— Öem

で定義され、同節 (3-38) 直後の注意によれば、(6-20) の解である電磁場（光）の情報が速度 c で伝わることから、これを光速度とよびます。また同節最後の注意によれば、これらは無限の過去における方程式 (6-20) の、初期値 0 に対する解になっています。
　これらの A と j は、更に連続の式により

(6-23)  div A + em

¶j —–  ¶t

= mGc*

æ è

div J +

¶r —–  ¶t

ö ø

= 0

となって (6-19) も満たすので、確かに Lorentzゲージの電磁ポテンシャルになっていることがわかります。

　次に別のゲージを考えてみましょう。j は任意に取れるので、特に j を

(6-24)  Dj = -

r — e

の任意の解にとることができます。このとき (6-14b) により A は

(6-25)

¶ —–  ¶t

div A = 0

を満たすので、div A は t によらないスカラーです。そこで c を、t を含まないPoisson方程式：

(6-26)  Dc = div A

の解とすれば、

(6-27)  div (A - grad c) = 0

となるので、この c によってゲージ変換すれば、新しい A は

(6-28)  div A = 0

を満たし、かつ ¶c / ¶t = 0 なので、(6-6b) により j はそのままとなるので (6-24) も満たされます。このような A ，j を、Coulombゲージの電磁ポテンシャルといいます。特に r º 0 の場合には、j º 0 であるようなCoulombゲージが採用できることがわかります。

　最後に定常な場合を考えます。この場合、LorentzゲージとCoulombゲージは一致して、満たすべき方程式 (6-15) は

(6-29a)  D A = - m J

(6-29b)  Dj = -

r — e

となり、その解は、「偏微分方程式」第４節 (4-53),(4-54) により、

(6-30a)  j =

1 ——–  4per

* r =

1 —— 4pe

ò

r' —–  r

dV'

(6-30b)  A =

m ——  4pr

* J =

m —– 4p

ò

J' —–  r

dV'

で与えられ、E と B は

(6-31a)  E = - grad j = - grad

1 ——–  4per

* r =

r ——– 4per³

* r =

1 —— 4pe

ò

r'r —— r³

dV'

(6-31b)  B = rot A = Ñ ´

æ è

m ——  4pr

* J

ö ø

= grad

m ——  4pr

´* J = -

mr ——– 4pr³

´* J =

m —– 4p

ò

J' ´ r ——– r³

dV'

で与えられます。ただし ´* は、その左右のベクトルの外積を取り、各成分における積を畳み込み演算に置き換えたものを表します。

　特に r が点電荷、すなわち r(s) = qd(s' - s) のときは

(6-32a)  j =

q ——–  4per

(6-32b)  E =

qr ——–  4per³

となり、J が閉曲線 Γ を流れる線電流、すなわち J = I γ_Γ （「微分多様体」第24節 (24-45) 参照）のときは

(6-33a)  A =

m I —— 4p

òΓ

ds' —–  r

(6-33b)  B =

m I —— 4p

òΓ

ds' ´ r ——— r³

となります。

　また、r と J が、分極電荷や磁化電流の場合のように、あるベクトル P と M によって

(6-34a)  r = - div P

(6-34b)  J = rot M

という形で与えられた場合は、

(6-35a)  j = -

1 ——–  4per

* div P = - div

æ è

1 ——–  4per

* P

ö ø

= - Ñ ·

æ è

1 ——–  4per

* P

ö ø

= - Ñ

1 ——–  4per

·* P = - grad

1 ——–  4per

·* P =

r ——–  4per³

·* P =

1 —— 4pe

ò

P' · r ——– r³

dV'

(6-35b)  A =

m ——  4pr

* rot M = rot

æ è

m ——  4pr

* M

ö ø

= Ñ ´

æ è

m ——  4pr

* M

ö ø

= Ñ

m ——  4pr

´* M = - M ´* grad

m ——  4pr

= M ´*

mr ——– 4pr³

=

m —– 4p

ò

M' ´ r ——— r³

dV'

となります。ただし、·* は、その左右のベクトルの内積を取り、各成分における積を畳み込み演算に置き換えたものを表します。

　特に P , M が１点に集中しているときは、それらの空間積分をそれぞれ p , m と書けば

(6-36a)  j =

p · r ——— 4per³

(6-36b)  A =

m m ´ r ———– 4pr³

となります。