電磁気学

　さて、前節の (7-17) と (7-18) は、

(8-1)  j(t, s) =

ò

jξ(t, s) dq

(8-2)  A(t, s) =

ò

Aξ(t, s) dq

と書けます。ただし、

(8-3)  jξ =

1 ——– 4peR

(8-4)  Aξ =

mv ——– 4pR

(8-5)  R = r -

r · v ——  c

で、(8-3) と (8-4) は、それぞれ時刻 0 において点 ξ にあった単位点電荷の作るスカラー及びベクトル・ポテンシャルにほかなりません。そこで、この点電荷の作る電磁場を求めてみましょう。そのために、まず ¶_ot_o と grad t_o を計算しておきます。ただし、¶_o は t による微分を表し、grad の変数は s です。
　まず (7-10) と (8-5) より、

(8-6)  h'(to) = -

R —– r

　一方、t_o の定義により、

(8-7)  h(to) = 0

　ゆえに、(8-7) の両辺を t で微分すれば、

(8-8)  ¶o(h(to)) º ¶o*(h(to)) + h'(to)¶oto = 0

　ただし ¶_o* は、t を t_o と独立な変数とみなした場合の t による微分を意味します。(7-9) により

(8-9)  ¶o*(h(to)) = ¶o*(t - to - r/c) = 1

なので、これと (8-6) により、(8-8) は

(8-10)  1 -

R —– r

¶oto = 0

となり、したがって、

(8-11)  ¶oto =

r —– R

が得られます。同様に、(8-7) の両辺に grad を施せば、

(8-12)  grad(h(to)) º grad*(h(to)) + h'(to) grad to = 0

　ただし grad* は、s を t_o と独立な変数とみなした場合の grad を意味します。(7-9) により

(8-13)  grad*(h(to)) = grad*(t - to - r/c) = -

grad* r ———– c

= -

r —– cr

なので、これと (8-6) により、(8-12) は

(8-14)  -

r —– cr

-

R —– r

grad to = 0

となり、したがって、

(8-15)  grad to = -

r —– cR

が得られます。一方、t_o による微分を ¶_to と書けば、

(8-16)  ¶tor = - ¶toξto = - v

なので、

(8-17)  ¶tor =

r — r

· ¶tor = -

r · v ——  r

　また (8-5) により

(8-18)  grad*R = grad*r -

grad*(r · v) ————— c

=

r —  r

-

v —  c

ですから、(8-15) と (8-18) により、

(8-19) grad R

= grad*R + ¶toR grad to =

r —  r

-

v —  c

-

r ¶toR ———  cR

　また、(8-11) により、

(8-20)  ¶oR = ¶toR ¶oto =

r ¶toR ———  R

　· 
vº ¶_tov と置き、(8-15) を使えば、

(8-21)  rot v = grad to ´ ¶tov = -

r ´ ·  v ——–  cR

　また、(8-11) を使えば、

(8-22)  ¶ov = ¶tov ¶oto =

r ·  v —–  R

　これらを使って、点 ξ にある単位点電荷の作る電界の強さ E_ξ と磁束密度 B_ξ を求めてみましょう。

(8-23)  Eξ	= - grad jξ - ¶oAξ
	= - 1 —— 4pe grad 1 —– R - m —— 4p  ¶o æ è v —– R ö ø       ( ∵ (8-3),(8-4) )
	= 1 ——— 4peR² ì í î grad R - R¶ov - v¶oR —————–  c² ü ý þ
	= 1 ——— 4peR² ì í î  r —  r -  v —  c - r ¶toR ———  cR  -  r ·  v ——  c² + r v ¶toR ————  c²R  ü ý þ       ( ∵ (8-19),(8-22),(8-20) )
	= 1 ——— 4peR² ì í î æ è  r —  r -  v —  c ö ø æ è 1 - r ¶toR ———  cR  ö ø -  r ·  v ——  c² ü ý þ

(8-24)  Bξ	= rot Aξ
	= m —– 4p rot  v —–  R       ( ∵ (8-2) )
	= m —– 4p ì í î grad 1 —– R ´ v + rot v ——– R ü ý þ
	= m ——– 4pR² ì í î - grad R ´ v -  r ´ ·  v ——–  c ü ý þ       ( ∵ (8-21) )
	= m ——– 4pR² ì í î - æ è  r —  r -  v —  c - r ¶toR ———  cR  ö ø ´ v -  r ´ ·  v ——–  c ü ý þ       ( ∵ (8-19) )
	= 1 ———– 4pec²R² ì í î - æ è 1 —  r - ¶toR ——–  cR  ö ø r ´ v -  r ´ ·  v ——–  c ü ý þ
	= 1 ——— 4peR² r —–  cr ´ ì í î -  v —  c æ è 1 - r ¶toR ———  cR  ö ø -  r ·  v ——  c² ü ý þ

　したがって、E_ξ と B_ξ の間には、

(8-25)  Bξ =

r —–  cr

´ Eξ

という関係があることがわかります。つまり、点電荷の作る電界と磁界は互いに直交していて、さらに磁界については、時刻 t_o における粒子の方向（言いかえると、粒子の“見える”方向）にも垂直であることがわかります。
　さて、ここで ¶_toR を最後まで計算して完全な表示式を求めておきましょう。(8-5),(8-17),(8-16) により、

(8-26)  ¶toR = ¶tor -

¶tor · v ———–  c

-

r · ¶tov ———–  c

= -

r · v ——  r

+

v² —–  c

-

r · ·  v ——  c

　したがって、

(8-27)  1 -	r ¶toR ———   cR	= 1 —– cR ì í î cR + r · v - r æ è v² —– c -  r · ·  v ——  c ö ø ü ý þ       ( ∵ (8-26) )
		= 1 —– cR ì í î cr - r æ è v² —– c -  r · ·  v ——  c ö ø ü ý þ       ( ∵ (8-5) )
		=  r —–  R ì í î 1 - v² —– c² +  r · ·  v ——  c² ü ý þ

　これを (8-23) と (8-24) に代入すれば、

(8-28)  Eξ =

r ——— 4peR³

ì í î

æ è

r —  r

-

v —  c

ö ø

æ è

1 -

v² —– c²

+

r · ·  v ——  c²

ö ø

-

R ·  v ——  c²

ü ý þ

(8-29)  Bξ	= r —–  cr ´ Eξ
	= cmr ——– 4pR³ ´ ì í î æ è  r —  r -  v —  c ö ø æ è 1 - v² —– c² +  r · ·  v ——  c² ö ø -  R ·  v ——  c² ü ý þ
	= - m ——– 4pR³ ì í î (r ´ v) æ è 1 - v² —– c² +  r · ·  v ——  c² ö ø +  R r ´ ·  v ———–  c ü ý þ

という表示式が得られます。

　ここで粒子が等速運動（ すなわち · 
v = 0 ）をしている場合を考えます。この場合、(7-27) で定義した、現時点の荷電粒子の位置から観測点を結ぶベクトル r* を用いると、(8-28),(8-29) で · 
v= 0 と置けば、

(8-30)  Eξ =

r* ——— 4peR³

æ è

1 -

v² —– c²

ö ø

(8-31)  Bξ	= r —– cr ´ Eξ
	= 1 —–  cr æ è r* +  r —  c v ö ø ´ Eξ      ( ∵ (7-27) )
	=  v —– c² ´ Eξ      ( ∵ r* ´ Eξ = 0  by  (8-30) )
	= mv ´ r* ———– 4pR³ æ è 1 - v² —– c² ö ø       ( ∵ (8-30), emc² = 1 )

という式が得られます。

　さて一般の場合にもどり、(8-28),(8-29) の E_ξ と B_ξ から r ® ¥ のとき r^-2 以下のオーダーをもつ項を捨てたものを（遠方ではそれらが支配的な項になることから）仮に輻射の主要部と呼ぶことにして、それぞれ E_ξ^rad ，B_ξ^rad と書けば、

(8-32)  Eξrad =

r ——— 4peR³

ì í î

æ è

r —  r

-

v —  c

ö ø

r · ·  v ——  c²

-

R ·  v ——  c²

ü ý þ

(8-33)  Bξrad =

- m ——– 4pR³

ì í î

(r ´ v)

r · ·  v ——  c²

+

R r ´ ·  v ———–  c

ü ý þ

　これらはいずれも · 
v を含んでおり、荷電粒子が加速運動しているときに初めて現われる項です。言いかえると、荷電粒子が等速運動している場合は、電磁界は無限遠で r^-2 のオーダーで減衰していくことがわかります。さて、これらの式を見ると、E_ξ と B_ξ の関係と同様に、

(8-34)  Bξrad =

r —–  cr

´ Eξrad

が成り立っていますが、さらに、

(8-35)  r · Eξrad	= r ——— 4peR³ r · ì í î æ è  r —  r -  v —  c ö ø  r · ·  v ——  c² -  R ·  v ——  c² ü ý þ       ( ∵ (8-32) )
	= r ——— 4peR³ ì í î æ è r -  r · v ——  c ö ø  r · ·  v ——  c² -  R r · ·  v ———  c² ü ý þ
	= r ——— 4peR³ ì í î R  r · ·  v ——  c² -  R r · ·  v ———  c² ü ý þ
	= 0

なので、(8-34),(8-35) により

(8-36)  cr r ´ Bξrad = r ´ (r ´ Eξrad) = (r · Eξrad)r - r² Eξrad = - r² Eξrad

　すなわち

(8-37)  Eξrad = -

cr —–  r

´ Bξrad

という関係が成り立っていることもわかり、(8-34) と (8-37) は、E_ξ^rad ，B_ξ^rad、そして粒子の“見える”方向の３方向が、互いに直交していることを示しています。このことから、

(8-38)  | Eξrad | = c | Bξrad |

言いかえるとエネルギー密度の主要部 u^rad = u_e^rad + u_m^rad は、emc² = 1 により、

(8-39)  uerad =

e | Eξrad |² ————–  2

=

| Bξrad |² ————  2m

= umrad

となり、電界の部分と磁界の部分のエネルギー密度も等しく、平面波の場合によく知られているこれらの性質が、点電荷の作る輻射の主要部でも成り立っていることがわかります。ちなみに Poynting vector の主要部 S_ξ^rad は次のようになります。

(8-40)  Sξrad	= 1 — m Eξrad ´ Bξrad
	= 1 — m ì í î Eξrad ´ æ è r —–  cr ´ Eξrad ö ø ü ý þ       ( ∵ (8-34) )
	= r —— mcr | Eξrad |²      ( ∵ (8-35) )
	= 2uerad r ———–  emcr        ( ∵ (8-39) )
	= curad r ——— r        ( ∵ (8-39), emc² = 1 )

　すなわち、十分遠方では電磁エネルギーの流れの速さは | S_ξ^rad/u^rad | = c であり、荷電粒子から放射状に伝播していくことがわかります。