電磁気学

　空間に定常な電荷密度 r と電流密度 J が原点の近くのみに分布しているとします。このとき、これらが作る電磁場の電磁ポテンシャル j , A の s における値を s º | s | の逆数の冪級数の形に展開してみましょう。

　そのための数学的準備として、Legendre多項式 P_n(x) を

(9-1)  Pn(x) =

1  —— 2n n!

dn —– dxn

(x² - 1)n

で定義します。明らかに P₀(x) = 1 , P₁(x) = x が成り立ちますが、Legendre多項式は、t に関するMaclaurin展開：

(9-2)

1 ——————–– Ö1 - 2tx + t²

=

¥ å n=0

Pn(x) tn

を満たすことを証明しておきましょう。
　実際、Legendre多項式の定義式をCauchyの積分表示で変形すると、x を中心とする複素平面の円 C に対して

(9-3)  Pn(x) =

1  ——— 2n+1 pi

òC

(z² - 1)n ———– (z - x)n+1

dz

となります。ゆえに十分小さい t に対し、

(9-4)

¥ å n=0

Pn(x) tn =

1 —– 2pi

òC

¥ å n=0

ì í î

t(z² - 1) ———– 2(z - x)

ü ý þ

n

dz ——–  z - x

=

1 —– 2pi

òC

dz ———————————– {1 - t(z² - 1)/2(z - x)}(z - x)

=

1 —– 2pi

òC

- 2dz ———————– t(z² - 1) - 2(z - x)

となりますが、被積分関数の分母の２次式を tz² - 2z + (2x - t) = t(z - a)(z - b) と因数分解すると、

(9-5a)  a =

1 + Ö___________ 1 - 2tx + t² ———————– t

® ¥     ( t ® 0 )

(9-5b)  b =

1 - Ö___________ 1 - 2tx + t² ———————– t

=

2x - t ————————–– 1 + Ö1 - 2tx + t²

® x     ( t ® 0 )

ですから、t が十分小さいとき、根のうち a は C の外側にあり、b は内側にあります。よって再びCauchyの積分公式により

(9-6)

¥ å n=0

Pn(x) tn =

1 —– 2pi

òC

- 2dz —————— t(z - a)(z - b)

=

- 2 ———– t(b - a)

=

1 ——————–– Ö1 - 2tx + t²

となって求めるべきMaclaurin展開式 (9-2) が得られました。

　この展開式の両辺に x = ± 1 を代入すると、右辺は 1/(1 - t) = 1 + t + t² + t³ + ¼ あるいは 1/(1 + t) = 1 - t + t² - t³ + ¼ となるので、両辺の係数を比較すれば、

(9-7a)  Pn(1) = 1

(9-7b)  Pn(-1) = (-1)n

が得られます。

　次に、Maclaurin展開の式の両辺を t で微分して両辺に 1 - 2tx + t² を乗じれば、

(9-8)

x - t ——————–– Ö1 - 2tx + t²

= (1 - 2tx + t²)

¥ å n=1

nPn(x) tn-1

　また、(9-2) の両辺に x - t を乗じて (9-8) と比較すれば、

(9-9)  (x - t)

¥ å n=0

Pn(x) tn

= (1 - 2tx + t²)

¥ å n=1

nPn(x) tn-1

　両辺の tⁿ の係数を比較すれば、

(9-10)  xPn(x) - Pn-1(x) = (n + 1)Pn+1(x) - 2nxPn(x) + (n - 1)Pn-1(x)

となって求める漸化式

(9-11)  (n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) - nPn-1(x)

が得られます。この漸化式を用いると、

(9-12)  P2(x) =

3 — 2

xP1(x) -

1 — 2

P0(x) =

3x² - 1 ——— 2

(9-13)  P3(x) =

5 — 3

xP2(x) -

2 — 3

P1(x) =

15x³ - 5x - 4x —————— 6

=

5x³ - 3x ———– 2

と計算できます。

　以上の結果を利用して、電磁ポテンシャルを電荷と電荷密度の積分で表す式 (6-30) において、積分変数 s' に対し、s' º | s' | , r º | s - s' | と置き、s と s' のなす角を q と書くと、

(9-14)  r² = | s - s' |² = s² - 2ss' cos q + s' ²

ですから、x = s'/s と置けば、

(9-15)  r = s Ö________________ 1 - 2x cos q + x²

　ゆえに電磁ポテンシャル (6-30) は、(9-2) の結果を使って

(9-16a)  j =

1  ——  4peo

ò

r' —–  r

dV' =

1  ———  4peo s

ò

r' —————————–  Ö1 - 2xcos q + x²

dV' =

1  ——  4peo

¥ å n=0

1  ——  s n+1

ò

r's' n Pn(cos q) dV'

(9-16b)  A =

mo —–  4p

ò

J' —–  r

dV' =

mo ——  4ps

ò

J' —————————–  Ö1 - 2xcos q + x²

dV' =

mo —–  4p

¥ å n=0

1  ——  s n+1

ò

J' s' n Pn(cos q) dV'

で与えられます。これを定常な電磁ポテンシャルの多重極展開といいます。まず j の 1/s の項 j₁ は、

(9-17)  j1 =

1  ———  4peo s

ò

r' dV' =

q ———  4peo s

となり、これは通常のCoulombポテンシャルです。また 1/s² の項 j₂ は、

(9-18)  j2 =

1  ——— 4peo s²

ò

r's' cos q dV' =

1  ——— 4peo s³

ò

r's' · s dV' =

p · s ——— 4peo s³

となります。ただし p は分極モーメント：

(9-19)  p º

ò

r's' dV'

です。また 1/s³ の項 j₃ は、

(9-20)  j3 =

1  ——— 4peo s³

ò

r's' ²

3 cos²q - 1 ————– 2

dV' =

1  ——— 8peo s³

ò

{3(s' · n)² - s' ²}r' dV' =

1  ——— 8peo s5

ò

{3(s' · s)² - s' ²s²}r' dV' =

3  —— 8peo

s · Q · s ———–  s5

となります。ただし n は s 方向の単位ベクトルで、Q は４重極モーメント：

(9-21)  Q  º

ò

æ ç ç è

x² - s' ²/3 hx zx

xh h² - s' ²/3 zh

xz hz z² - s' ²/3

ö ÷ ÷ ø

r' dV       (  s' = (x, h, z)  )

です。

　次に A について考察します。J は発散が 0 で有界な領域 D にのみ存在しますから、D のみに存在するベクトル場 M が存在して J = rot M となることに注意します。まず A の 1/s の項 A₁ は、「微分多様体」第27節 (27-44) により、

(9-22)  A1 =

mo ——  4ps

òD

J' dV' =

òD

rot' M' dV' = -

ò¶D

M' ´ dS' = 0

となって消えます。また 1/s² の項 A₂ は、

(9-23)  A2	=  mo ——–  4ps²  òD J's' cos q dV'
	=  mo ——–  4ps³  òD J'(s' · s) dV'
	=  mo ——–  4ps³  òD (s' · s) rot' M' dV'
	=  mo ——–  4ps³  òD rot' {(s' · s) M'} dV' -  mo ——–  4ps³  òD grad' (s' · s) ´ M' dV'
	= -  mo ——–  4ps³  ò¶D (s' · s) M' ´ dS' -  mo ——–  4ps³  òD s ´ M' dV'
	= 0 +  mo ——–  4ps³  òD M' dV' ´ s
	=  mo m ´ s ———–  4ps³

となります。ただし m は磁気モーメント：

(9-24)  m º

1 — 2

ò

s' ´ J' dV' =

ò

M' dV'

です。