電磁気学

13．電気・磁気二重層と磁位

　本節では誘電率 e と透磁率 m が定数で、時間的に定常な電磁場を考察の対象にします。

(13-1)  ò r dV = 0

を満たす、分布範囲が有界な任意の定常な電荷密度 r に対し、台がコンパクトなベクトル場 P が存在して

(13-2)  r = - div P

と書け、この r が作るスカラー・ポテンシャルは、(6-35a) により

(13-3)  j = 1
——
4pe		 ò P' · r
——–
r³		 dV'

で与えられます（ ただし r = s - s' で、スカラー場やベクトル場や微分演算子に肩符 ' を付けることによってその変数が s' であることを示すことにします）。ところで、電束密度 D の満たす方程式：

(13-4a)  div D = r = - div P

(13-4b)  rot D = e rot E = 0

は、次のように書き直すことができます：

(13-5a)  div (D + P) =0

(13-5b)  rot (D + P) = rot P

　ゆえに、Helmholtzの定理（「偏微分方程式」第４節 (4-52),(4-58),(4-59) 参照 )により

(13-6)  D + P = 1
—–
4p		 òR³ rot' P' ´ r
————–
r³		 dV'

となるので、rot P の方が計算しやすい場合には (13-6) によって D を計算することもできます。

　さて、ある定数 a と曲面 S によって

(13-7)  r = - a div σS

と書けるような電荷密度 r を、曲面 S 上の電気二重層といいます。ただし σS は、「微分多様体」第24節 (24-42) で定義される超関数値ベクトルです。このような電荷密度 r は、

(13-8)  P = a σS

と置けば (13-2) の形に書けます。一方「微分多様体」第24節 (24-52) により

(13-9)  rot P = a γS

となるので、(13-6) から

(13-10)  e E = D = 1
—–
4p		 òR³ rot' P' ´ r
————–
r³		 dV' - P = a
—–
4p		 òR³ γS' ´ r
———–
 r³ 		 dV' - a σS = a
—–
4p		 òS ds' ´ r
———
r³		 dV' - a σS

となりますから、面 S 上を除けば、E は S 上を流れる磁流 a の作るBiot-Savart電界に一致することがわかります。

　ところで電気二重層 (13-7) に対するスカラー・ポテンシャル j は、(13-3) により

(13-11)  j = a
——
4pe		 ò σS' · r
——–
 r³ 		 dV' = a
——
4pe		 òS  r · dS'
——–
r³

と書くことができますが、この右辺の積分は何を意味しているでしょうか。それを知るために、各 s ごとに、パラメター l ( 0 £ l £ 1 ) とともに変化する曲面 S(s, l) を次のように定義します。

(13-12)  S(s, l) º { s + r-l r | s + r ÎS }

　明らかに S(s, 0) = S で、S(s, 1) は s を中心とする単位球面の中に含まれる面になります。ここで

(13-13)  u º
—–
¶l		 ( s + r-l r ) = -  r log r
———
r l

と置けば、動く多様体上の積分の時間微分に関する公式(「微分多様体」第20節 (20-37) 参照 )により、

(13-14) 
—–
¶l		 òS(s, l)  r · dS'
———
r³		 = òS(s, l) ì
í
î		 u div r
—–
r³		 + rot æ
è		 r
—–
r³		 ´ u ö
ø		 ü
ý
þ		 · dS' = 0

　ただしここで、点 s 以外では div ( r / r³ ) = - D( 1 / r ) = 0 であることと、u が r と平行なベクトルであることを使いました。したがって、(13-14) 左辺の積分は l に依存しないことがわかります。ゆえに

(13-15)  òS  r · dS'
———
r³		 = òS(s, 0)  r · dS'
———
r³		 = òS(s, 1)  r · dS'
———
r³		 = òS(s, 1) dS

　ただしここで S(s, 1) での積分では r が法線ベクトルに等しいことを使いました。ここで (13-15) の右辺は s から見た S の立体角に他なりません。そこでこの立体角を wS と書けば、(13-11) は

(13-16)  j = awS
——–
 4pe 

となり、従って電気二重層 (13-7) が作る電場 E は

(13-17)  E = - grad j = - a
——
4pe		 grad wS

とも表せることがわかります。

　次に磁場について考えます。定常な電磁界では div J = 0 ですから、

(13-18)  J = rot M

となる台がコンパクトなベクトル場 M が存在します。

(13-19a)  div H = m-1 div B = 0

(13-19b)  rot H = J = rot M

ですから

(13-20a)  div (H - M ) = - div M

(13-20b)  rot (H - M ) = 0

となるので H - M に対して Helmholtzの定理（「偏微分方程式」第４節 (4-52),(4-58),(4-59) 参照 )を適用すれば、

(13-21)  H - M = - grad y

と書けます。ただし

(13-22)  y
= - 1
——
4pr		 * div M

= - grad 1
——
4pr		 ·* M

= r
——–
4pr³		 ·* M

= 1
—–
4p		 ò r · M'
——–
r³		 dV'

です（式中の“ ·* ”は内積の畳み込みを表わします）。この y を磁位と言います。

　さて、ある定数 I と曲面 S に対して

(13-23)  M = I σS

と表されるとき、この M が作る磁荷 rm º - m div M のことを磁気二重層とよびます。(13-23) の両辺の rot を取れば、(13-18) と「微分多様体」第24節 (24-52) により

(13-24)  J = I γS

となるので、これは閉曲線 S に沿って流れる大きさ I の線電流に他なりません。このとき、(13-11) や (13-16) を導いたのと同様にして

(13-25)  y = I
—–
4p		 òS  r · dS'
———
r³		 = I wS
——–
4p 

となります。(13-21) により、S 上の点以外では

(13-26)  H = - grad y = -  I
—–
4p		 grad wS

と書けることがわかります。

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