電磁気学
16．最小エネルギーの原理（静電界）
本節では、２乗可積分な E と D に関する方程式 (15-1)
〜(15-5)
の解の存在と一意性を確かめます。全空間で定義されたベクトル場 D , D' に対して、
(16-1) ( D | D' ) = |
ò |
D · ε-1 · D' dV |
と置きます。ただし ε-1 は ε の逆行列で、やはり正値対称行列です。
この内積に付随するノルム ||D|| = ( D | D )
½ が有限値を取る D の全体 X はヒルベルト空間になります。ε に対する条件により、(a)
DÎX、(b)
D が２乗可積分、(c)
ε-1 ·
D が２乗可積分、の３条件はすべて同値です。
さて、(15-1),(15-2)
を満たす DÎX の全体を Y と書くと、DÎY とは、任意の静電スカラー j について (15-11)
が成り立つことを意味するのでした。
以上の準備のもとで (15-1)
〜(15-5)
の解 D，E の存在と一意性が、ノルムを最小にする DÎY の存在と一意性に帰着できることを示しましょう（最小エネルギーの原理）。
まず D ，E を (15-1)
〜(15-5)
の解とすると、DÎY ですから、j を (15-14)
で定義し、D'ÎY を任意に取れば、j , D のペアについても j , D' のペアについても共に (15-11)
が成り立ちます。従って、dD = D' - D と置けば、
(16-2) |
ò |
dD · grad j dV = 0 |
が成り立ちます。ゆえに (16-2),(15-13),(15-5),(16-1)
により、
(16-3) 0 = |
ò |
dD · E dV = |
ò |
dD · ε-1 · D dV = ( dD | D ) |
が成り立つので
(16-4) || D' ||² = || D + dD ||² = || D ||² + || dD ||² + 2( dD | D ) = || D ||² + || dD ||² ³ || D ||² |
となり、D は Y の元の中でノルムが最小になっていることがわかります。
逆に DÎY は Y の元の中でノルムが最小になっているとします。E を
で定義すると、(15-5)
は自動的に満たされます。
さて、(15-7)
により、(15-11)
の左辺は Ω' の内部における D の値には無関係です。したがって、D のノルムが最小であることから、
でなければならず、これと (16-5)
から (15-4)
がわかります。
次に (15-3)
が成り立つことを確かめるため、滑らかで台がコンパクトな任意のベクトル場 V を取り、任意の実数 l に対し、
と置きます。V の台はコンパクトですから、任意の静電スカラー j に対して、
(16-8) |
ò |
Dl · grad j dV |
= |
ò |
(D + l rot V) · grad j dV |
|
|
= |
ò |
D · grad j dV + l |
ò |
grad j · rot V dV |
|
|
= |
ò |
D · grad j dV + l |
ò |
rot grad j · V dV |
|
|
|
となるので、DÎY から DlÎY が従います。一方
(16-9) || Dl ||² = || D + l rot V ||² = || D ||² + l²|| rot V ||² + 2l( D | rot V ) |
ですが、D のノルムは Y の中で最小ですから、任意の l に対して
(16-10) || D || £ || Dl || |
が成り立ちます。すなわち
(16-11) l²|| rot V ||² + 2l( D | rot V ) ³ 0 |
が全ての実数 l について成り立つので
(16-12) ( D | rot V ) = 0
|
が成立することがわかります。ゆえに、V の台がコンパクトであることから、
(16-13) |
ò |
V · rot E dV = |
ò |
E · rot V dV = |
ò |
D · ε-1 · rot V dV = ( D | rot V ) = 0 |
V は任意ですから、これで (15-3)
が証明されました。以上で E，D のペアが (15-1)
〜(15-5)
の解になっていることがわかり、最小エネルギーの原理が証明されました。ちなみに、
(16-14) 0 |
|
|
=
| ò |
E · rot V dV ( ∵ (16-13) ) |
|
|
=
| òΩ |
E · rot V dV ( ∵ (15-4) ) |
|
|
=
| òΩ |
div(V ´ E) dV + |
òΩ |
V · rot E dV |
|
|
=
| òΩ |
div(V ´ E) dV ( ∵ (15-3) ) |
|
|
|
|
|
ただし n は ¶Ω の外向き法線、すなわち各 ¶Ωi の内向き法線です。V は任意にとれるので、これにより
すなわち導体から出る電気力線は、面に垂直であることも分かります。
最後にノルムを最小にする DÎY の存在と一意性を証明しましょう。(15-11)
により、明らかに Y は X の閉凸集合ですから、あとは Y が空でないことを示せば、ヒルベルト空間論の最短点定理（「解析学の基礎」第14節参照）によって結論が得られます。そこで、
(16-16) Do |
= - grad |
1
——
4pr |
* ( r + åi Qidsi) |
|
|
= |
r
——–
4pr³ |
* ( r + åi Qidsi) |
|
|
= |
1
—–
4p |
òΩ |
rr
——
r³ |
dV' + åi |
Qiri
——–
4pri³ |
|
(16-17) D = |
ì
í
î |
Do in Ω
0 in Ω' |
と置きます。ただし
(16-18) dsi(s) = d(s - si) |
(16-19) r = s - s' |
(16-20) ri = s - si |
で、si は Ωi の内部に任意に取った点です。明らかに評価式
と DÎX が成り立ち、(16-16)
と「偏微分方程式」第４節 (4-1),(4-18)
により
(16-22) div Do = - D |
1
——
4pr |
* ( r + åi Qidsi) = d * ( r + åi Qidsi) = r + åi Qidsi |
が成り立ちます。さて、滑らかで台がコンパクトな偶関数 c を一つ選び、
(16-23) ch(s) = |
1
—–
h³ |
c( |
s
—–
h |
) |
と置き、任意のスカラー又はベクトル F に対し
と定義すると、F(h) は滑らかになり、かつ h ® 0 のとき F(h) ® F となります。
さて、任意に静電スカラー j を取ると、j(h) についても (15-6)
と同じ評価：
が成り立つので
(16-26) - |
ò |
D · grad j dV |
= - |
ò |
Do · grad j dV ( ∵ (15-7),(16-17) ) |
|
|
= - |
lim
h®0 |
ò |
Do(h) · grad j dV |
|
|
= - |
lim
h®0 |
ò |
Do · grad j(h) dV ( ∵ 合成積の性質 ) |
|
|
= - |
lim
h®0 |
ò |
div(j(h)Do) dV + |
lim
h®0 |
ò |
j(h) div Do dV |
|
|
= - |
lim
h®0 |
lim
R®¥ |
ò|s| =R |
j(h)Do · dS + |
lim
h®0 |
ò |
j(h) div Do dV |
|
|
= |
lim
h®0 |
ò |
j(h) div Do dV ( ∵ (16-21),(16-25) ) |
|
|
= |
lim
h®0 |
ò |
j(h) ( r + åi Qidsi) dV ( ∵ (16-22) ) |
|
|
|
となり、これは DÎY を意味しますから、Y は空でないことがわかります。
以上で、方程式 (15-1)~(15-5)
の解の存在と一意性の証明が完成しました。
この節の最後に、静電スカラーに注目した、もう一つの“最小値問題”について説明します。
j を、E º - grad
j と D º ε ·
E の組が (15-1)~(15-5)
の解になっているような静電スカラーとし、各 Ωi における値が ji であるような任意の静電スカラー j¢ に対して
(16-27) Ie(j¢) º |
1
—–
2 |
ò |
grad j¢ · ε · grad j¢ dV - |
ò |
j¢r dV |
と置くと、
が成り立つことが証明できます。実際、dj º j¢ - j と置くと、これは各 Ωi 上で 0 となる静電スカラーですから、(15-11)
で D に - ε · grad
j を、j に dj を、ji に 0 を代入した式：
(16-29) |
ò |
grad j · ε · grad dj dV = |
ò |
dj r dV |
が成り立ちます。従って、
(16-30) Ie(j¢) - Ie(j) |
|
|
= |
1
—–
2 |
ò |
{(grad j + grad dj) · ε · (grad j + grad dj) - grad j · ε · grad j} dV - |
ò |
(j¢ - j)r dV |
|
|
= |
ò |
grad j · ε · grad dj dV + |
1
—–
2 |
ò |
grad dj · ε · grad dj dV - |
ò |
dj r dV |
|
|
= |
1
—–
2 |
ò |
grad dj · ε · grad dj dV |
|
|
|
となって、(16-28)
は証明されました。特に r = 0 のときは Ie(j)
は Ue
になるので、これも最小エネルギーの原理とよぶことがあります。
