電磁気学

　本節では静電場の導体に働く力を求めます。第15節の設定条件に加え、導体以外の空間には電荷が存在せず、また簡単のため ε は定テンソルと仮定します。なお、本節では div D のことを r と書くことにします。

　今、実パラメター l を持つ３次元空間からそれ自身への写像 ψ_l が与えられ、Q_i , Ω_i (i=1,¼,n) は l に依存し、かつ Ω_i はパラメターと共に動く、すなわち l に依存しない Ω^o_i (i=1,¼,n) が存在して、

(17-1)  Ωi = ψl(Ωoi)

が成り立っているものとします。また、パラメター l に対する微分を

(17-2)

d —– dl

º

¶ —– ¶l

+ Lu

で定義します(「微分多様体」第15節 (15-6) 参照 )。ただし、u は

(17-3)  u =

ds —– dl

で定義される仮想変位率ベクトルです。ここで (17-2) と L_u に関する公式(「微分多様体」第20節 (20-34) 参照 )を使えば、

(17-4)

d —– dl

(D · dS) =

ì í î

¶D —— ¶l

+ u div D + rot(D ´ u)

ü ý þ

· dS

　これに E · ds ^ を施し、ベクトルの公式(「微分多様体」第19節 (19-48) 参照 )：

(17-5)  E · ds ^ G · dS = (E · G) dV

を使うと、

(17-6)  E · ds ^	d —– dl	(D · dS)	= E · ds ^ ì í î  ¶D —— ¶l + u div D + rot(D ´ u) ü ý þ · dS
			= E · ì í î  ¶D —— ¶l + u div D + rot(D ´ u) ü ý þ dV
			= ì í î E ·  ¶D —— ¶l + E · u div D + div{(D ´ u) ´ E} + (D ´ u) · rot E ü ý þ dV

　これを全空間で積分すると、右辺の { } の中の第３項の積分は消えるので、

(17-7)

ò

E · ds ^

d —– dl

(D · dS) =

ò

ì í î

E ·

¶D —— ¶l

+ E · u div D + (D ´ u) · rot E

ü ý þ

dV

　ここで (17-7) の左辺を、(15-13) による

(17-8)  E · ds = - grad j · ds = - dj

および

(17-9)  d(D · dS) = div D dV = rdV

を使って変形すると、

(17-10)	ò	E · ds ^	d —– dl	(D · dS)	= - ò dj ^ d —– dl (D · dS)      ( ∵ (17-8) )
					= - ò d ì í î j d —– dl (D · dS) ü ý þ + ò j d ì í î d —– dl (D · dS) ü ý þ
					= ò j d ì í î d —– dl (D · dS) ü ý þ
					= ò j d —– dl d(D · dS)      ( ∵ 「微分多様体」第15節 (15-10) )
					= ò j d —– dl (rdV)      ( ∵ (17-9) )
					= åi ò Ωi j d —– dl (rdV)      ( ∵ r = 0  in  Ω' )
					= åi ji ò Ωi d —– dl (rdV)      ( ∵ (15-8) )
					= åi ji d —– dl ò Ωi rdV
					= åi ji dQi —— dl        ( ∵ (15-2) )

　したがって、(17-7) の 左辺に (17-10) を、右辺に div D º r と (15-3) を適用すれば、

(17-11)  åi ji

dQi —— dl

=

ò

ì í î

E ·

¶D —— ¶l

+ rE · u

ü ý þ

dV

　ゆえに、

(17-12)	dUe —— dl	= 1 —– 2 ò  ¶ —– ¶l (E · D) dV      ( ∵ (15-15) )
		= 1 —– 2 ò  ¶ —– ¶l (D · ε-1 · D) dV
		= ò D · ε-1 ·  ¶D —— ¶l dV
		= ò E ·  ¶D —— ¶l dV      ( ∵ (15-5) )
		= åi ji dQi —— dl  - ò rE · u dV      ( ∵ (17-11) )
		= åi ji dQi —— dl  - ò  f e · u dV      ( ∵ (14-6a) )

　そこで、パラメター l に共役な力 F^e_l を

(17-13)  Fel =

ò

f e · u dV

で定義すると、(17-12) から

(17-14)  dUe =  åi ji dQi - Fel dl

が得られます。一方、Ω で r = 0 ですから、(15-16) は

(17-15)  Ue =

1 —– 2

åi ji Qi

となるので、両辺を２倍してから微分を取れば、

(17-16)  2dUe =  åi ji dQi + åi Qi dji

となるので、(17-16) から (17-14) を辺々引けば、

(17-17)  dUe =  åi Qi dji + Fel dl

が得られます。従って、(17-14) と (17-17) から F^e_l は次の式で計算できることがわかります：

(17-18)  Fel = -

æ è

¶Ue —— ¶l

ö ø

Qi

=

æ è

¶Ue —— ¶l

ö ø

ji

　ただし、右下の添字は、それらの変数を固定して微分することを意味する熱力学でおなじみの記法です。

　さて、空間に点電荷が存在すると、エネルギー積分 (5-21) が発散してしまい、上記の議論が適用できないので、別に考察する必要があります。
　以下、誘電率 e がスカラーである場合のみを考え、まず点電荷 Q d_s' が外部静電界 E = - grad j から受ける力を考えてみましょう。その力の密度を f ^e' とし、Γ の形状を表わすパラメター l に対して (17-3) で u を定義すると、l に共役な力は

(17-19)  Fe¢l º

ò

f e' · u dV =

ò

rE · u dV = Q u · E = - Q u · grad j = - Q

¶j —– ¶l

となります。ただし j は点電荷が置かれている位置のスカラー・ポテンシャル j(s') を表します。
　次に、空間に n 個の点電荷 Q_i d_si が存在する場合を考え、各 i に対して Q_i 以外の点電荷が作るスカラー・ポテンシャルを j'_i と書くと、

(17-20)  j'i = åj(¹i) dij Qj

　ただし

(17-21)  dij =

1  ——–   4perij

(  rij = | si - sj |  )

で、d_ij は添字 i と j について対称であることに注意します。そこで、自己エネルギーを除いた電気エネルギー U'_e を

(17-22)  U'e =

1 —– 2

åi j'i Qi =

1 —– 2

å i¹j

dij Qi Qj

で定義し、Q_k の位置 s_k を指定するパラメターを l_k とすれば、(17-20) により

(17-23)  Fe¢lk = - Qk

¶j'k  ——  ¶lk

= - Qk

¶  —–  ¶lk

åi(¹k) dki Qi = - åi(¹k)

¶dki ——  ¶lk

Qk Qi = -

1 —– 2

å i¹j

¶dij ——  ¶lk

Qi Qj = -

æ è

¶U'e ——  ¶lk

ö ø

Qi

　また (17-22),(17-20) により

(17-24)

æ è

¶U'e —— ¶Qi

ö ø

lk

= åj(¹i) dij Qj = j'i

ですから、

(17-25)  dU'e = åi

æ è

¶U'e —— ¶Qi

ö ø

lk

dQi + åk

æ è

¶U'e ——  ¶lk

ö ø

Qi

dlk = åi j'i dQi - åk Fe'lkdlk

が成り立ちます。一方、(17-22) により

(17-26)  2dU'e = åi j'i dQi + åi Qi dj'i

ですから、(17-26) から (17-25) を辺々差し引けば

(17-27)  dU'e = åi Qi dj'i + åk Fe'lkdlk

となるので、(17-18) と同様に、

(17-28)  Fe¢lk = -

æ è

¶U'e ——  ¶lk

ö ø

Qi

=

æ è

¶U'e ——  ¶lk

ö ø

j'i

が成り立つことがわかります。