電磁気学
19．最小エネルギーの原理（静磁界）
本節では、２乗可積分な H と B に関する方程式 (18-1)
〜(18-6)
の解の存在と一意性を確かめます。全空間で定義されたベクトル場 H , H' に対して、
(19-1) ( H | H' ) = |
ò |
H · μ · H' dV |
と置きます。
この内積に付随するノルム ||H|| = ( H | H )
½ が有限値を取る H の全体 X はヒルベルト空間になります。μ に対する条件により、(a)
HÎX、(b)
H が２乗可積分、(c)
μ · H が２乗可積分、の３条件はすべて同値です。
さて、(18-1)
〜(18-3)
を満たす HÎX の全体を Z と書くと、HÎZ とは、任意の静磁ベクトル A について (18-15)
が成り立つことを意味するのでした。
以上の準備のもとで (18-1)
〜(18-6)
の解 H，B の存在と一意性が、ノルムを最小にする HÎZ の存在と一意性に帰着できることを示しましょう（最小エネルギーの原理）。
まず H ，B を (18-1)
〜(18-6)
の解とすると、HÎZ ですから、A を (18-18)
で定義し、H'ÎZ を任意に取れば、A , H のペアについても A , H' のペアについても共に (18-15)
が成り立ちます。従って、dH = H' - H と置けば、
(19-2) |
ò |
dH · rot A dV = 0 |
が成り立ちます。ゆえに (19-2),(18-17),(18-6),(19-1)
により、
(19-3) 0 = |
ò |
dH · B dV = |
ò |
dH · μ · H dV = ( dH | H ) |
が成り立つので
(19-4) || H' ||² = || H + dH ||² = || H ||² + || dH ||² + 2( dH | H ) = || H ||² + || dH ||² ³ || H ||² |
となり、H は Z の元の中でノルムが最小になっていることがわかります。
逆に HÎZ は Z の元の中でノルムが最小になっているとします。B を (18-6)
で定義します。
さて、(18-8)
により、(18-15)
の左辺は Ω' の内部における H の値には無関係です。したがって、H のノルムが最小であることから、
でなければならず、これと (18-6)
から (18-5)
がわかります。
次に (18-4)
が成り立つことを確かめるため、滑らかで台がコンパクトな任意のスカラー場 y を取り、任意の実数 l に対し、
と置きます。y の台はコンパクトですから、任意の静磁ベクトル A に対して、
(19-7) |
ò |
Hl · rot A dV |
= |
ò |
(H + l grad y) · rot A dV |
|
|
= |
ò |
H · rot A dV + l |
ò |
grad y · rot A dV |
|
|
= |
ò |
H · rot A dV + l |
ò |
rot grad y · A dV |
|
|
|
となるので、HÎZ から HlÎZ が従います。一方
(19-8) || Hl ||² = || H + l grad y ||² = || H ||² + l²|| grad y ||² + 2l( H | grad y ) |
ですが、H のノルムは Z の中で最小ですから、任意の l に対して
(19-9) || H || £ || Hl || |
が成り立ちます。すなわち
(19-10) l²|| grad y ||² + 2l( H | grad y ) ³ 0 |
が全ての実数 l について成り立つので
(19-11) ( H | grad y ) = 0
|
が成立することがわかります。ゆえに、y の台がコンパクトであることから、
(19-12) |
ò |
y div B dV = - |
ò |
B · grad y dV = - |
ò |
H · μ · grad y dV = - ( H | grad y ) = 0 |
y は任意ですから、これで (18-4)
が証明されました。以上で H，B のペアが (18-1)
〜(18-6)
の解になっていることがわかり、最小エネルギーの原理が証明されました。ちなみに、
(19-13) 0 |
|
|
=
| ò |
B · grad y dV ( ∵ (18-6) ) |
|
|
=
| òΩ |
B · grad y dV ( ∵ (18-5) ) |
|
|
=
| òΩ |
div(yB) dV - |
òΩ |
y div B dV |
|
|
=
| òΩ |
div(yB) dV ( ∵ (18-4) ) |
|
|
|
ただし n は ¶Ω の外向き法線、すなわち ¶Ω' の内向き法線です。y は任意にとれるので、これにより
すなわち完全導体から出る磁力線は、面に平行であることも分かります。
最後にノルムを最小にする HÎZ の存在と一意性を証明しましょう。ただし J を全く自由に与えたのでは解の存在は保証されません。実際、もし解 H が存在したとすると、滑らかで台がコンパクトな任意の関数 y に対して
と置くと、A は明らかに rot A
= 0 及び Φi = 0 (i=1,¼,m)
を満たす静磁ベクトルですから、H に対して (18-15)
が成り立つので、
(19-16) á y , div J ñ = - á grad y , J ñ = - á A , J ñ = - |
òΩ |
A · J dV = - |
ò |
H · rot A dV + åi IiΦi = 0 |
となり、y は任意ですから、J は超関数の微分の意味で
を満たしていなければなりません。逆にこの条件が満たされていれば、以下に示すように、(18-1)
〜(18-6)
の解の存在と一意性が示せます。
さて、(18-15)
により、明らかに Z は X の閉凸集合ですから、あとは Z が空でないことを示せば、ヒルベルト空間論の最短点定理（「解析学の基礎」第14節参照）によって結論が得られます。そこで、
(19-18) Ho |
= rot |
ì
í
î |
1
——
4pr |
* (J + åi Ii γΓi) |
ü
ý
þ |
|
|
= grad |
1
——
4pr |
´* (J + åi Ii γΓi) |
|
|
= - |
r
——–
4pr³ |
´* (J + åi Ii γΓi) |
|
|
= |
1
—–
4p |
òΩ |
J ´ r
——–
r³ |
dV' + |
1
—–
4p |
åi Ii |
ò |
Γi |
ds ´ r
———
r³ |
|
(19-19) H = |
ì
í
î |
Ho in Ω
0 in Ω' |
と置きます。ただし (19-18)
の ´* は、ベクトルの成分をベクトルの外積で計算した畳み込み演算を表すものとし、γ
Γ は「偏微分方程式」第24節 (24-45)
で定義した超関数です。特に Γ が Γi のような閉曲線の場合は
ですから、「偏微分方程式」第24節 (24-51)
により
(19-21) div γ Γ = - d¶Γ = 0 |
が成り立ちます。これと (19-17)
により
(19-22) div(J + åi Ii γΓi) = 0 |
となります。また、Γi は Ω"ÈSi に含まれ、Si と正の向きに１点で交わる閉曲線です。明らかに評価式
と HÎX が成り立ち、
(19-24) rot Ho |
= rot rot |
ì
í
î |
1
——
4pr |
* (J + åi Ii γΓi) |
ü
ý
þ |
|
|
= grad div |
ì
í
î |
1
——
4pr |
* (J + åi Ii γΓi) |
ü
ý
þ |
- D |
ì
í
î |
1
——
4pr |
* (J + åi Ii γΓi) |
ü
ý
þ |
|
|
= grad |
1
——
4pr |
* div(J + åi Ii γΓi) |
- D |
1
——
4pr |
* (J + åi Ii γΓi) |
|
|
= grad |
1
——
4pr |
* 0 + d * (J + åi Ii γΓi) |
|
|
|
となります。さて、任意の静磁ベクトル A に対し、(16-24)
で定義される A(h) についても (18-7)
と同じ評価：
が成り立つので
(19-26) |
ò |
H · rot A dV |
= |
ò |
Ho · rot A dV ( ∵ (18-8),(19-19) ) |
|
|
= |
lim
h®0 |
ò |
Ho(h) · rot A dV |
|
|
= |
lim
h®0 |
ò |
Ho · rot A(h) dV ( ∵ 合成積の性質 ) |
|
|
= |
lim
h®0 |
ò |
div(A(h) ´ Ho) dV + |
lim
h®0 |
ò |
A(h) · rot Ho dV |
|
|
= |
lim
h®0 |
lim
R®¥ |
ò|s| =R |
(A(h) ´ Ho) · dS + |
lim
h®0 |
ò |
A(h) · rot Ho dV |
|
|
= |
lim
h®0 |
ò |
A(h) · rot Ho dV ( ∵ (19-23),(19-25) ) |
|
|
= |
lim
h®0 |
ò |
A(h) · (J + åi Ii γΓi) dV ( ∵ (19-24) ) |
|
|
= |
òΩ |
A · J dV + åi Ii |
ò |
Γi |
A · ds |
|
|
= |
òΩ |
A · J dV + åi IiΦi ( ∵ (18-11) ) |
|
となり、これは HÎZ を意味しますから、Z は空でないことがわかります。
以上で、方程式 (18-1)~(18-6)
の解の存在と一意性の証明が完成しました。
この節の最後に、静磁ベクトルに注目した、もう一つの“最小値問題”について説明します。
A を、B º rot
A と H º μ-1 ·
B の組が (18-1)~(18-6)
の解になっているような静磁ベクトルとし、各 Si と一点で交わる Ω' 内の閉曲線にそった磁束が Φi であるような任意の静磁ベクトル A' に対して
(19-27) Im(A') º |
1
—–
2 |
ò |
rot A' · μ-1 · rot A' dV - |
ò |
A' · J dV |
と置くと、
が成り立つことが証明できます。実際、dA º A' - A と置くと、これは各 Si と一点で交わる Ω' 内の閉曲線にそった磁束が 0 となる静磁ベクトルですから、(18-15)
で H に μ-1 · rot
A を、A に dA を、Φi に 0 を代入した式：
(19-29) |
ò |
rot A · μ-1 · rot dA dV = |
ò |
dA · J dV |
が成り立ちます。従って、
(19-30) Im(A') - Im(A) |
|
|
= |
1
—–
2 |
ò |
{(rot A + rot dA) · μ-1 · (rot A + rot dA) - rot A · μ-1 · rot A} dV - |
ò |
(A' - A) · J dV |
|
|
= |
ò |
rot A · μ-1 · rot dA dV + |
1
—–
2 |
ò |
rot dA · μ-1 · rot dA dV - |
ò |
dA · J dV |
|
|
= |
1
—–
2 |
ò |
rot dA · μ-1 · rot dA dV |
|
|
|
となって、(19-28)
は証明されました。特に J = 0 のときは Im(A)
は Um
になるので、これも最小エネルギーの原理とよぶことがあります。
