電磁気学

　本節では静磁場の完全導体に働く力を求めます。第18節の設定条件に加え、完全導体以外の空間には電流が存在せず、また簡単のため μ は定テンソルと仮定します。なお、本節では rot H のことを J と書くことにします。
　今、実パラメター l を持つ３次元空間からそれ自身への写像 ψ_l が与えられ、I_i ，Ω' ，S_i (i=1,¼,m) は l に依存し、かつ Ω' ，S_i はパラメターと共に動く、すなわち l に依存しない Ω^o' ，S^o_i (i=1,¼,m) が存在して、

(20-1)  Ω' = ψl(Ωo'i)

(20-2)  Si = ψl(Soi)

が成り立っているものとします。また、パラメター l に対する微分を (17-2) で、仮想変位率ベクトル u を (17-3) でそれぞれ定義します。
　さて、(17-7) は、その証明を見れば明らかなように、任意のベクトル場 E と D に対して成り立ちますから、これを H と B に対して適用すれば、

(20-3)

ò

H · ds ^

d —– dl

(B · dS) =

ò

ì í î

H ·

¶B —— ¶l

+ H · u div B + (B ´ u) · rot H

ü ý þ

dV

　ここで (20-3) の左辺を、(18-17) による

(20-4)  B · dS = rot A · dS = d(A · ds)

および

(20-5)  d(H · ds) = rot H · dS = J · dS

(20-6)  d(J · dS) = d²(H · ds) = 0

および、Ω" でのみ成り立つ

(20-7)  A · ds = grad Φ · ds = dΦ

を使って変形すると、

(20-8)	ò	H · ds ^	d —– dl	(B · dS)	= ò H · ds ^ d —– dl d(A · ds)      ( ∵ (20-4) )
					= ò H · ds ^ d ì í î d —– dl (A · ds) ü ý þ       ( ∵ 「微分多様体」第15節 (15-10) )
					= ò d(H · ds) ^ d —– dl (A · ds) - ò d ì í î H · ds ^ d —– dl (A · ds) ü ý þ
					= ò d(H · ds) ^ d —– dl (A · ds)
					= ò J · dS ^ d —– dl (A · ds)      ( ∵ (20-5) )
					= òΩ' J · dS ^ d —– dl (A · ds)
					= òΩ" J · dS ^ d —– dl dΦ      ( ∵ (20-7) )
					= òΩ" J · dS ^ d dΦ —— dl       ( ∵ 「微分多様体」第15節 (15-10) )
					= òΩ" d ì í î dΦ —— dl J · dS ü ý þ - òΩ" dΦ —— dl d(J · dS)
					= ò¶Ω" dΦ —— dl J · dS      ( ∵ (20-6) )
					= ò¶Ω' dΦ —— dl J · dS + åi ò Si ì í î dΦ(s-) ——— dl  - dΦ(s+) ——— dl  ü ý þ J · dS
					= åi ò Si dΦi —— dl  J · dS       ( ∵ (18-3),(18-11) )
					= åi dΦi —— dl  ò Si J · dS
					= åi Ii dΦi —— dl        ( ∵ (18-2) )

　したがって、(20-3) の 左辺に (20-8) を、右辺に rot H º J  と (18-4) を適用し、

(20-9)  (B ´ u ) · J = (J ´ B) · u

に注意すれば、

(20-10)  åi Ii

dΦi —— dl

=

ò

ì í î

H ·

¶B —— ¶l

+ (J ´ B) · u

ü ý þ

dV

　ゆえに、

(20-11)	dUm —— dl	= 1 —– 2 ò  ¶ —– ¶l (H · B) dV      ( ∵ (15-15) )
		= 1 —– 2 ò  ¶ —– ¶l (H · μ · H) dV
		= ò H · μ ·  ¶H —— ¶l dV
		= ò H ·  ¶B —— ¶l dV      ( ∵ (18-6) )
		= åi Ii dΦi —— dl  - ò (J ´ B) · u dV      ( ∵ (20-10) )
		= åi Ii dΦi —— dl  - ò  f m · u dV      ( ∵ (14-6b) )

　そこで、パラメター l に共役な力 F^m_l を

(20-12)  Fml =

ò

f m · u dV

で定義すると、(20-11) から

(20-13)  dUm =  åi Ii dΦi - Fml dl

が得られます。一方、Ω で J = 0 ですから、(18-22) は

(20-14)  Um =

1 —– 2

åi Ii Φi

となるので、両辺を２倍してから微分を取れば、

(20-15)  2dUm =  åi Ii dΦi + åi Φi dIi

となるので、(20-15) から (20-13) を辺々引けば、

(20-16)  dUm =  åi Φi dIi + Fml dl

が得られます。従って、(20-13) と (20-16) から F^m_l は次の式で計算できることがわかります：

(20-17)  Fml = -

æ è

¶Um —— ¶l

ö ø

Φi

=

æ è

¶Um —— ¶l

ö ø

Ii

　さて、空間に線電流が存在すると、エネルギー積分 (5-21) が発散してしまい、上記の議論が適用できないので、別に考察する必要があります。
　以下、透磁率 m がスカラーである場合のみを考え、まず閉曲線 Γ を流れる線電流 J = I γ_Γ が外部静磁界の磁束密度 B = rot A から受ける力を考えてみましょう。その力の密度を f ^m' とし、Γ の形状を表わすパラメター l に対して (17-3) で u を定義すると、l に共役な力は

(20-18)  Fm¢l º

ò

f m' · u dV =

ò

(J ´ B) · u dV =

ò

(B ´ u) · J dV = I

òΓ

(B ´ u) · ds = I

òΓ

(rot A ´ u) · ds

　ここで、外部磁界 B による Γ に沿った外部磁界による磁束を Φ と書いて、動く曲線上の積分の時間微分の公式(「微分多様体」第20節 (20-38) 参照 ) と A 自身は l によらないことと ¶Γ = Æ により

(20-19)

¶Φ —– ¶l

=

¶ —– ¶l

òΓ

A · ds =

òΓ

ì í î

¶A —– ¶l

+ rot A ´ u

ü ý þ

· ds +

ò¶Γ

A · u =

òΓ

(rot A ´ u) · ds

となります。(20-18),(20-19) により

(20-20)  Fm¢l = I

¶Φ —– ¶l

が得られます。
　次に、空間に n 個の線電流 I_i γ_Γi が存在する場合を考え、各 i に対して I_i 以外の線電流が作る磁場による Γ_i に沿った磁束を Φ'_i と書くと、

(20-21)  Φ'i = åj(¹i) Lij Ij

　ただし

(20-22)  Lij =

m —– 4p

ò

ò

Γi ´ Γj

ds' · ds ———– r

で、L_ij は添字 i と j について対称であることに注意します。そこで、自己エネルギーを除いた磁気エネルギー U'_m を

(20-23)  U'm =

1 —– 2

åi Φ'i Ii =

1 —– 2

å i¹j

Lij Ii Ij

で定義し、I_k の流れる回路 Γ_k の位置と形状を指定するパラメターを l_k とすれば、(20-20) により

(20-24)  Fm¢lk = Ik

¶Φ'k  ——  ¶lk

= Ik

¶  —–  ¶lk

åi(¹k) Lki Ii = åi(¹k)

¶Lki ——  ¶lk

Ik Ii =

1 —– 2

å i¹j

¶Lij ——  ¶lk

Ii Ij =

æ è

¶U'm ——  ¶lk

ö ø

Ii

　また (20-23),(20-21) により

(20-25)

æ è

¶U'm —— ¶Ii

ö ø

lk

= åj(¹i) Lij Ij = Φ'i

ですから、

(20-26)  dU'm = åi

æ è

¶U'm —— ¶Ii

ö ø

lk

dIi + åk

æ è

¶U'm ——  ¶lk

ö ø

Ii

dlk = åi Φ'i dIi + åk Fm'lkdlk

が成り立ちます。一方、(20-23) により

(20-27)  2dU'm = åi Φ'i dIi + åi Ii dΦ'i

ですから、(20-27) から (20-26) を辺々差し引けば

(20-28)  dU'm = åi Ii dΦ'i - åk Fm'lkdlk

となるので、(20-17) と同様に、

(20-29)  Fm¢lk =

æ è

¶U'm ——  ¶lk

ö ø

Ii

= -

æ è

¶U'm ——  ¶lk

ö ø

Φ'i

が成り立つことがわかります。