電磁気学

24．電磁波と電信方程式

　一般に r = 0 , J = sE を満たす非定常な電磁場を電磁波といいます。本稿では、簡単のため、電磁波を考える際は e , m , s はすべて定数であると仮定することにします。
　この場合のMaxwell方程式は

(24-1a)  rot H - e E
—–
t		 = sE

(24-1b)  div E = 0
 
(24-1c)  rot E + m H
—–
t		 = 0

(24-1d)  div H = 0

となりますが、(24-1a) と (24-1c) の rot を取ると、

(24-2a)  rot rot H - e ¶ 
—–
t		 rot E = s rot E

(24-2b)  rot rot E + m ¶ 
—–
t		 rot H = 0

　ゆえに rot rot = grad div - D と (24-1b),(24-1d) を使ってこれらを変形すると

(24-3a)  DH + e ¶ 
—–
t		 rot E + s rot E = 0

(24-3b)  DE - m ¶ 
—–
t		 rot H = 0

　ここで更に (24-1a),(24-1c) を用いれば、

(24-4a)  DH - ms H
—–
 ¶t		 - em ²H
——
t²		 = 0

(24-4b)  DE - ms E
—–
 ¶t		 - em ²E
——
t²		 = 0

という、E と H それぞれに対する同形の方程式が得られます。一般に、スカラー u に関する方程式：

(24-5)  Du - ms u
—–
 ¶t		 - em ²u
——
t²		 = 0

を電信方程式とよびます。この方程式を、空間変数に対するFourier変換によって解いてみましょう。

(24-6)  u(t, s) = òòò q(t, k) ei k · s dk1 dk2 dk3

と表すと、q の満たす方程式は、

(24-7)  em d²q
——
dt²		 + ms dq
—–
 dt		 + k²q = 0       ( k = | k | )

という常微分方程式になるので、a(k) と b(k) を l に関する２次方程式：

(24-8)  eml² + msl + k² = 0

の解、すなわち
 
(24-9a)  a(k) º		 - ms + Ö____________
m²s² - 4emk²
—————————–
2em
 
(24-9b)  b(k) º		 - ms - Ö____________
m²s² - 4emk²
—————————–
2em

とすれば、q の一般解は

(24-10)  q(t, k) =  f(k) ea(k)t + g(k) eb(k)t

と書けます。ゆえにこれを (24-6) に代入すれば、電信方程式 (24-5) の一般解として

(24-11)  u(t, s) = òòò { f(k) ea(k)t + i k · s + g(k) eb(k)t + i k · s }dk1 dk2 dk3

という表示が得られます。

　特に s > 0 の場合、e の指数の a(k) と b(k) は、| k | £ ms / ( 2Öem ) のときはいずれも負の実数、| k | > ms / ( 2Öem ) のときは負の実部を持つ虚数ですから、いずれにせよ

(24-12)  ea(k)t + i k · s , eb(k)t + i k · s ® 0       ( t ® ¥ )

すなわち

(24-13)  u(t, s) ® 0       ( t ® ¥ )

となる、言い換えると時間と共に大きさが減少していく減衰波であることがわかります。

　また s = 0 の場合は、方程式 (24-5) は斉次のd'Alembert方程式：

(24-14)  Du - em ²u
——
t²		 = 0

になり、c º 1 / Öem と置けば、(24-9) は a(k) = ick , b(k) = - ick となるので、一般解 (24-11) は

(24-15)  u(t, s) = òòò { f(k) ei (k · s + ckt) + g(k) ei (k · s - ckt) }dk1 dk2 dk3

となります。

　ここで、s = 0 の場合について、単位ベクトル e が存在して、t と e · s のみの関数であるような電磁波（平面波）を求めてみましょう。この場合、e の長さは 1 であると仮定してよいので、e の向きを x-軸の性の向きに取れば、これは x と t のみの関数になっている電磁場を求めることを意味します。x と t のみの関数であるベクトル場 V º (Vx , Vy , Vz ) に対して

(24-16a)  div V = Vx
—–
 x 

(24-16b)  rot V = æ
è		 0
,		 - Vz
—–
 x 
,		 Vy
—–
 x 		 ö
ø

ですから、s = 0 の場合のMaxwell方程式のうち (24-1a) の各成分は

(24-17a)  - e Ex
—–
 t 		 = 0

(24-17b)  - Hz
—–
 x 		 - e Ey
—–
 t 		 = 0

(24-17c)  Hy
—–
 x 		 - e Ez
—–
 t 		 = 0

　また (24-1b) は

(24-18)  Ex
—–
 x 		 = 0

　また (24-1c) の各成分は

(24-19a)  m Hx
—–
 t 		 = 0

(24-19b)  - Ez
—–
 x 		 + m Hy
—–
 t 		 = 0

(24-19c)  Ey
—–
 x 		 + m Hz
—–
 t 		 = 0

　また (24-1d) は

(24-20)  Hx
—–
 x 		 = 0

となります。ゆえにまず (24-17a) と (24-18) により

(24-21a)  Ex = const.

がわかります。同様に、(24-19a) と (24-20) により

(24-21b)  Hx = const.

がわかります。

　次に c º 1 / Öem , x± º x ± ct と置くと

(24-22a) 
—–
 ¶x		 = ¶x+
—–
 x		  ¶ 
—–
 ¶x+		 + ¶x-
—–
 x		  ¶ 
—–
 ¶x-		 =  ¶ 
—–
 ¶x+		 +  ¶ 
—–
 ¶x-

(24-22b)  1
—
 c
—–
 ¶t		 = 1
—
 c		 ¶x+
—–
 t		  ¶ 
—–
 ¶x+		 + 1
—
 c		 ¶x-
—–
 t		  ¶ 
—–
 ¶x-		 =  ¶ 
—–
 ¶x+		 -  ¶ 
—–
 ¶x-

ですから、

(24-23a)  2  ¶ 
—–
 ¶x±		 ( ÖeEy ± ÖmHz ) = æ
è
—–
 ¶x		 ± 1
—
 c
—–
 ¶t		 ö
ø		 ( ÖeEy ± ÖmHz ) = Öe Ey
—–
 x 		 + Öem Hz
—–
 t 		 ± Öm Hz
—–
 x 		 ± Öme Ey
—–
 t 		 = 0       ( ∵ (24-19c), (24-17b) )

(24-23b)  2  ¶ 
—–
 ¶x±		 ( ÖmHy ± ÖeEz ) = æ
è
—–
 ¶x		 ± 1
—
 c
—–
 ¶t		 ö
ø		 ( ÖmHy ± ÖeEz ) = Öm Hy
—–
 x 		 - Öme Ez
—–
 t 		 ± Öe Ez
—–
 x 		 ± Öem Hy
—–
 t 		 = 0       ( ∵ (24-17c), (24-19b) )

　ここで x+ と x- は独立な変数ですから、x+ のみの関数 F+(x+ ) , G+(x+ ) と、x- のみの関数 F-(x- ) , G-(x- ) が存在して

(24-24a)  ÖeEy ± ÖmHz = F±(x± ) = F±(x ± ct)

(24-24b)  ÖmHy ± ÖeEz = G±(x± ) = G±(x ± ct)

となります。ゆえにこれらを逆に解けば、

(24-25a)  Ey = F-(x - ct) + F+(x + ct)
—————————–
2 Öe

(24-25b)  Hz = F-(x - ct) - F+(x + ct)
—————————–
2 Öm

(24-25c)  Hy = G+(x + ct) + G-(x - ct)
—————————–
2 Öm

(24-25d)  Ez = G+(x + ct) - G-(x - ct)
—————————–
2 Öe

が得られます。ゆえに E と H をそれぞれ定数部分 Eo , Ho と x ± ct のみの関数である部分 E± , H± に分離すれば、

(24-26a)  E = Eo + E+ + E-

(24-26b)  H = Ho + H+ + H-

　ただし

(24-27a) Eo º (Ex , 0, 0)   //   e

(24-27b)  E± º æ
è		 0
,		 F±(x ± ct)
————–
2 Öe
,		 ± G±(x ± ct)
————–
2 Öe		 ö
ø		   ^   e

(24-28a) Ho º (Hx , 0, 0)   //   e

(24-28b)  H± º æ
è		 0
,		 G±(x ± ct)
————–
2 Öm
,		 ± F±(x ± ct)
————–
2 Öm		 ö
ø		   ^   e

です。従って、電磁波のうち時間的に変化する部分は、波の進行方向 ± e に直交する横波であり、しかも

(24-29)  E± · H± = 0

ですから、同方向に進む電場と磁場同士は直交することがわかります。

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