電磁気学

　まずはじめに、媒体が不連続に変化する面における電磁場の境界条件について一般的に考察します。二つの領域 Ω⁺ と Ω^- が面 S を境にして接しているものとし、V は Ω = Ω⁺ÈΩ^- で定義され、境界面 S で必ずしも連続でないベクトル場で、その Ω^± から S に近づけたときの極限を V^± と書くことにします。

　最初に div V が S 上に特異点を持たない場合を考えます。Ω にコンパクトな台を持つ滑らかな任意の関数 y に対し、

(26-1)

òΩ

div(yV ) dV =

ò¶Ω

yV · dS = 0

　一方

(26-2)

òΩ±

div(yV ) dV =

ò¶Ω±

yV± · dS = ±

òS

yn · V± dS

　ただし n は、Ω⁺ から Ω^- に向いた S の法線です。div(yV ) = y div V + V · grad y は S 上に特異点を持たないので、(26-2) の Ω^± の積分を辺々加えると、Ω における積分に一致し、これは (26-1) により 0 になります。したがって

(26-3)

òS

yn · (V + - V -) dS = 0

　y は任意ですから、

(26-4)  n · V + = n · V -   on S

が得られます。電磁場の場合に応用すると、Maxwell方程式 (M4) により div B は特異点を持たないので、

(26-5a)  n · B+ = n · B-   on S

　また、r が特異点をもたなければ、Maxwell方程式 (M2) により div D は特異点を持たないので、

(26-5b)  n · D+ = n · D-   on S

となります。

　次に rot V が S 上に特異点を持たない場合を考えます。Ω にコンパクトな台を持つ滑らかな任意のベクトル場 Ψ に対し、

(26-6)

òΩ

div(V ´ Ψ ) dV =

ò¶Ω

(V ´ Ψ ) · dS = 0

　一方

(26-7)

òΩ±

div(V ´ Ψ ) dV =

ò¶Ω±

(V± ´ Ψ ) · dS = ±

òS

n · (V± ´ Ψ ) dS

　div(V ´ Ψ) = Ψ · rot V - V · rot Ψ は S 上に特異点を持たないので、(26-7) の Ω^± の積分を辺々加えると、Ω における積分に一致し、これは (26-6) により 0 になります。したがって

(26-8)

òS

{n ´ (V + - V -)} · Ψ dS =

òS

n · {(V + - V -) ´ Ψ} dS = 0

　Ψ は任意ですから、

(26-9)  n ´ V + = n ´ V -   on S

が得られます。電磁場の場合に応用すると、Maxwell方程式 (M3) により rot E は特異点を持たないので、

(26-10a)  n ´ E + = n ´ E -   on S

　また、J が特異点をもたなければ、Maxwell方程式 (M1) により rot H は特異点を持たないので、

(26-10b)  n ´ H + = n ´ H -   on S

となります。

　今度は、f , g を、どちらも Ω^± のいずれかで定義され、S 上で f = g となる滑らかな関数とします。S の近傍で定義された任意の滑らかなベクトル場 Ψ に対し、

(26-11)	òS	(n ´ Ñf ) · Ψ dS	= òS n · (Ñf ´ Ψ ) dS
			= òS {rot ( f Ψ ) - f rot Ψ } · dS
			= ò¶S  f Ψ · ds - òS  f rot Ψ · dS
			= ò¶S gΨ · ds - òS g rot Ψ · dS
			= òS {rot(gΨ ) - g rot Ψ } · dS
			= òS n · (Ñg ´ Ψ ) dS
			= òS (n ´ Ñg) · Ψ dS

　Ψ は任意ですから、

(26-12)  n ´ Ñf = n ´ Ñg   on S

が得られます。

　境界条件の応用例として、Ω を x-y 平面の有界領域とし、周りを完全導体で囲まれた z 軸方向に無限に伸びた空洞(導波管) Ω ´ R における電磁波を考えてみましょう。

(26-13a)  H = e-iwt+ihz (Hx(x, y) , Hy(x, y) , Hz(x, y) )

(26-13b)  E = e-iwt+ihz (Ex(x, y) , Ey(x, y) , Ez(x, y) )

と置いて s = 0 とおいた電磁波の方程式 (25-24) の x 成分と y 成分を書き下すと、

(26-14x)

¶Hz —— ¶y

- ihHy = - iweEx

(26-14y)  ihHx -

¶Hz —— ¶x

= - iweEy

(26-15x)

¶Ez —— ¶y

- ihEy = iwmHx

(26-15y)  ihEx -

¶Ez —— ¶x

= iwmHy

　周囲の導体は s = +¥ の極限を考えているので、境界面では r や J に特異点が生じます。従って境界条件は (26-5a),(26-10a) のみとなり、n = (n_x , n_y , 0) は z 成分を持たないので、(26-10a) から直ちに

(26-16)  Ez = 0   on ¶Ω

(26-17)  nxEy - nyEx = 0   on ¶Ω

が得られ、(26-5a) から

(26-18)  nxHx + nyHy = 0   on ¶Ω

が導かれますが、(26-14x) ´ n_y - (26-14y) ´ n_x を作って (26-17),(26-18) を用いると、

(26-19)

¶Hz —— ¶n

º nx

¶Hz —— ¶x

+ ny

¶Hz —— ¶y

= 0

　また、x , y を変数とする２次元のLaplacianを D' と書けば、(25-28) で s = 0 、D = D' - h² と置いた式が成り立つので、特に z 成分に関する式を書き下せば、

(26-20a)  D'Ez + (w²me - h²)Ez = 0

(26-20b)  D'Hz + (w²me - h²)Hz = 0

という２次元のLaplacianに関する固有値問題になります。E_z と H_z は異なる境界条件 (26-16),(26-19) に従いますから、0 でない解を持つ h の値は E_z と H_z でそれぞれ異なります。E_z = 0 となる電磁波をTE波、H_z = 0 となる電磁波をTM波といいます。
　E_z と H_z が求まれば、(26-14x) と (26-15y) を連立させて E_x と H_y を、(26-14y) と (26-15x) を連立させて E_y と H_x を求めることができ、

(26-21a)  Ex =

ih ———— w²me - h²

¶Ez —— ¶x

+

iwm ———— w²me - h²

¶Hz —— ¶y

(26-21b)  Ey =

ih ———— w²me - h²

¶Ez —— ¶y

-

iwm ———— w²me - h²

¶Hz —— ¶x

(26-21c)  Hx =

ih ———— w²me - h²

¶Hz —— ¶x

-

iwe ———— w²me - h²

¶Ez —— ¶y

(26-21d)  Hy =

ih ———— w²me - h²

¶Hz —— ¶y

+

iwe ———— w²me - h²

¶Ez —— ¶x

となります。