電磁気学

　本節では場の複素表示の応用として、電磁場の輻射について解説します。この場合には以下に説明する Hertz vector というものを考えると便利です。

　連続の式を満たす r , J が任意に与えられたとき、

(27-1a)  J =

¶P —– ¶t

(27-1b)  r = - div P

を満たすベクトル P をとります。このような P が必ず存在することは、次のようにして証明することができます。
　時間を含まないベクトル場 P_o を

(27-2)  div Po = - ro

を満たすように取ります(「微分多様体」第20節 (20-40d) 参照 )。ただし r_o は r の t = 0 における値です。そして P を

(27-3)  P = Po +

ò

t 0

J dt

で定義します。(27-3) の両辺を t で微分すれば (27-1a) が得られ、(27-3) の両辺の div をとれば、連続の式：

(27-4)  div J = -

¶r —–  ¶t

により (27-1b) が得られます。

　さて、(27-1) を満たす P に対する d'Alembert方程式：

(27-5)  £Πe = -

P —– e

の解 Π_e を Hertz vector といいます。Hertz vectorから A と j を、

(27-6a)  A = em

¶Πe ——  ¶t

(27-6b)  j = - div Πe

で定義すれば、A と j はLorentzゲージによるポテンシャルになります。
　実際、(6-19) は明らかに成り立ちます。また、(27-5) の両辺に em を乗じて t で微分し、(27-1a) と (27-6a) 用いれば、£A = - m J となり、これは (6-20a) に他なりません。
　また、(27-5) の両辺の div を取り、(27-1b) と (27-6b) を用いれば、- £j = r/e が得られ、これは (6-20b) に他なりません。

　逆に、Lorentzゲージによる任意のポテンシャル A , j に対し、(27-6) を満たすHertz vectorが存在することを、次のようにして示すことができます。
　時間を含まないベクトル場 Π_eo を

(27-7)  div Πeo = - jo

を満たすように取ります(「微分多様体」第20節 (20-40d) 参照 )。ただし j_o は j の t = 0 における値です。そしてベクトル場 Π_e を

(27-8)  Πe = Πeo +

1 —– em

ò

t 0

A dt

で定義します。この両辺に em を乗じて t で微分すれば (27-6a) が得られ、一方 (6-19) により

(27-9)

1 —– em

div A = -

¶j —–  ¶t

ですから、(27-8) の両辺の div を取り、(27-7),(27-9) を使えば (27-6b) が得られます。そこで P を (27-5) で定義すれば、(27-6) と第６節 (6-20) により (27-1) が得られます。

　Hertz vector を用いると、電磁界は、

(27-10)  E	= - grad j - ¶A —– ¶t
	= grad div Πe - em ¶²Πe ——  ¶t²       ( ∵ (27-6) )
	= rot rot Πe + DΠe - em ¶²Πe ——  ¶t²
	= rot rot Πe + £Πe
	= rot rot Πe - P —– e       ( ∵ (27-5) )

(27-11)  B = rot A = em rot

¶Πe ——  ¶t

( ∵ (27-6a) )

で計算できます。ここで

(27-12)  C = e rot Πe

と置けば、

(27-13a)  D = eE = rot C - P

(27-13b)  H =

B —– m

=

¶C —– ¶t

となります。

　Hertz vector の応用として、振動する双極子の作る電磁界を計算してみましょう。角周波数 w で単振動する双極子とは、

(27-14)  P = pe-iw td(s)

という複素表示をもつ P から (27-1) で定義された電荷・電流分布のことを意味するものとします。ここで p は定ベクトル（双極子モーメント）です。このとき、r と J は

(27-15a)  r = - div P = - e-iw t p · grad d(s)

(27-15b)  J =

¶P —– ¶t

= -iwpe-iw td(s)

で与えられ、この双極子に対して (27-5) を満たす Π_e は、次の遅延ポテンシャルで与えられます：

(27-16)  Πe =

1 —— 4pe

ò

P(t-r/c,s') ————– r

dV' =

pe-iw t+ik r ————– 4per

ただし、r = |s| 、k = w/c です。これをもとに C 、続いて D と H を計算します。

(27-17)  C = e rot Πe =

e-iw t ——–  4p

grad

eik r ——  r

´ p =

e-iw t ——–  4p

¶ —–  ¶r

æ è

eik r ——  r

ö ø

n ´ p =

e-iw t+ik r ————–  4p

æ è

ik —–  r

-

1 —– r²

ö ø

n ´ p

　ただし

(27-18)  n = grad r =

s —– r

です。(27-17) により、

(27-19)  H =

¶C —– ¶t

= -

iwe-iw t+ik r —————  4p

æ è

ik —–  r

-

1 —– r²

ö ø

n ´ p =

we-iw t+ik r ————–  4p

æ è

k —–  r

+

i —– r²

ö ø

n ´ p

(27-20)  D	= rot C
	= e-iw t ——–  4p  grad ì í î eik r  æ è ik —–  r - 1 —– r² ö ø ü ý þ ´ (n ´ p) + e-iw t+ik r ————–  4p  æ è ik —–  r - 1 —– r² ö ø rot (n ´ p)
	= e-iw t+ik r ————–  4p  æ è - k² —–  r - 2ik —–  r² + 2 —– r³ ö ø n ´ (n ´ p) + e-iw t+ik r ————–  4p  æ è ik —–  r - 1 —– r² ö ø n ´ (n ´ p) - 2(n · p)n —————————– r
	= e-iw t+ik r ————–  4p  æ è - k² —–  r - ik —–  r² + 1 —– r³ ö ø n ´ (n ´ p) + e-iw t+ik r ————–  4p  æ è - 2ik —–  r² + 2 —– r³ ö ø (n · p)n

が得られます。ただしここで、

(27-21)  rot (n ´ p)	= r rot (n ´ p) ————— r
	= rot (rn ´ p) - grad r ´(n ´ p) ———————————— r
	= Ñ ´ (s ´ p) - n ´(n ´ p) —————————— r
	= ( p · grad )s - p div s - n(n · p) + p —————————————— r
	= - n(n · p) - p —————— r
	= n ´ (n ´ p) - 2 n(n · p) —————————– r

を使い、(27-20) では原点のみに存在する P は無視しました。(27-19),(27-20) により D と H は互いに直交していることがわかります。また、双極子から十分遠ければ、電磁場は 1/r に比例する項だけになり、

(27-22a)  D »

-k²e-iw t+ik r —————–  4pr

n ´ (n ´ p)

(27-22b)  H »

wke-iw t+ik r —————–  4pr

n ´ p

となり、その大きさは |n ´ p| = p sin q に比例することもわかります。
　また、複素表示であることに注意して Poynting vector の時間平均を計算すれば、十分遠方で、

(27-23)  S =

Â(D ´ H*) ————— 2e

»

wk³|n ´ p|²n ————— 32p²er²

=

wk³p²sin²q n ————— 32p²er²

　したがって、半径 r の球面上で積分すれば、エネルギーの流れの時間平均は、

(27-24)  W	= ò S · dS
	» ò 2p    df 0 ò p 0 wk³p²sin²q ————– 32p²er² r²sin q dq
	= wk³p² ——— 16pe ò p 0 (1 - cos²q) sin q dq
	= wk³p² ——— 16pe ò  1 -1 (1 - l²) dl
	= wk³p² ——— 12pe
	= mw4 p2 ———  12pc

となります。ただし、最後の等号で、k = w/c と c²em = 1 を使いました。

　次に、電荷密度 r = 0 である場合について考えてみましょう。この場合、連続の式により div J = 0 ですから、

(27-25)  J = rot M

を満たすベクトル M が存在します。この M に対する d'Alembert方程式：

(27-26)  £Πm = - M

の解 Π_m を考え、これも Hertz vector といいます。この Π_m を用いて

(27-27)  A = m rot Πm

と置くと、この A と j º 0 の組はCoulombゲージのポテンシャルになります。実際、(27-27) の両辺の div をとれば (6-28) が導かれ、(27-26) の両辺に m を乗じて rot をとれば、(27-25),(27-27) により £A = - m J が導かれ、(6-15) が成り立つからです。

　逆に、j º 0 であるようなCoulombゲージのポテンシャル A が与えられたとすると、(6-28) とポアンカレの補題により、(27-27) を満たす Π_m が存在します。この Π_m から (27-26) によって M を定義すれば、(27-26) の両辺の rot をとり、(27-27),(6-15) を用いることにより、(27-25) が得られます。

　この Π_m を使って、今度は振動する磁気双極子の作る電磁界を計算してみましょう。角周波数 w で単振動する磁気双極子とは、

(27-28)  M = me-iw td(s)

という複素表示をもつ M から (27-25) で定義された電流分布のことを意味するものとします。ここで m は定ベクトル（磁気双極子モーメント）です。このとき J は

(27-29)  J = rot M = - e-iw t m ´ grad d(s)

で与えられ、この双極子に対して (27-26) を満たす Π_m は、次の遅延ポテンシャルで与えられます：

(27-30)  Πm =

1 —– 4p

ò

M(t-r/c,s') ————– r

dV' =

me-iw t+ik r ————– 4pr

　これをもとに A 、続いて E と B を計算すると、振動する双極子の場合と同様にして、

(27-31)  A = m rot Πm =

me-iw t+ik r —————  4p

æ è

ik —–  r

-

1 —– r²

ö ø

n ´ m

(27-32)  E = -

¶A —– ¶t

= -

mwe-iw t+ik r —————–  4p

æ è

k —–  r

+

i —– r²

ö ø

n ´ m

(27-33)  B = rot A =

me-iw t+ik r ————–  4p

æ è

-

k² —–  r

-

ik —–  r²

+

1 —– r³

ö ø

n ´ (n ´ m) +

me-iw t+ik r ————–  4p

æ è

-

2ik —–  r²

+

2 —– r³

ö ø

(n · m)n

が得られます。(27-32),(27-33) により E と B は互いに直交していることがわかります。また、磁気双極子から十分遠ければ、電磁場は 1/r に比例する項だけになり、

(27-34a)  E »

-mwke-iw t+ik r ——————  4pr

n ´ m

(27-34b)  B »

-mk²e-iw t+ik r ——————  4pr

n ´ (n ´ m)

となり、その大きさは |n ´ m| = m sin q に比例することもわかります。また、Poynting vector の時間平均を計算すれば、十分遠方で、

(27-35)  S =

Â(E ´ B*) ————— 2m

»

mwk³|n ´ m|²n —————— 32p²r²

=

mwk³m²sin²q n —————— 32p²r²

　したがって、半径 r の球面上で積分すれば、エネルギーの流れの時間平均は、

(27-36)  W

=

ò

S · dS

»

mwk³m² ———– 12p

=

mw4 m2 ——— 12pc3

となります。