電磁気学

　滑らかな境界 S を持つ領域 Ω の内部に点 s を取ります。
　任意のスカラー f º f(t, ξ) に対し、r º ξ - s , r º | r | , d⁽⁴⁾ º d(t)d(r) , [d] º d(t - r/c) と置き、空間変数に対する微分演算子は ξ に関する微分を意味することにし、時間変数 t に対する畳み込み演算を * で表し、一般に t , ξ の関数 y º y(t, ξ) に対して

(29-1)  [y] º [d] * y =

ò

¥ -¥

d(t - t - r/c) y(t, ξ) dt = y(t - r/c, ξ)

と置くと、

(29-2)  £

[d] —–  r

= 4p£Gc = - 4pd(4)

(29-3)

¶  —– ¶t

(c * y) =

¶c —–  ¶t

* y = c *

¶y —–  ¶t

ですから

(29-4)  div	æ è	[d] —–  r	* Ñf - f * Ñ	[d] —–  r	ö ø	= [d] —–  r * Df - f * D [d] —–  r
						= [d] —–  r * £f - f * £ [d] —–  r + [d] —–  c²r * ¶²f —– ¶t² - f * ¶² —– ¶t² [d] —–  c²r
						= [d] —–  r * £f + f * 4pd(4) + ¶  —– ¶t [d] —–  c²r * ¶f —–  ¶t - ¶f —–  ¶t * ¶  —– ¶t [d] —–  c²r
						= [£f] ——  r + 4pfd(r)

となります。また

(29-5)   Ñr =

r —– r

(29-6)   Ñ[d] = Ñd(t - r/c) = -

Ñr —– c

¶[d] ——  ¶t

= -

r —–  cr

¶[d] ——  ¶t

に注意すれば、

(29-7)	[d] —–  r	* Ñf - f * Ñ	[d] —–  r	= [d] —–  r * Ñf - f * [d]Ñ 1 —  r - f * Ñ[d] ——  r
				= [d] —–  r * Ñf + f * [d]r ——  r³ + f * r —– cr² ¶[d] ——  ¶t
				= [d] —–  r * Ñf + f * [d]r ——  r³ + ¶f —–  ¶t * [d]r —— cr²
				= [Ñf] ——  r + r [f] ——–  r³ + r —– cr² é ë ¶f —–  ¶t ù û

となることがわかります。従って、(29-4) を Ω で空間変数 ξ に対して積分すれば、Gaussの定理と (29-7) により

(29-8)  f(t, s) = -

1 —– 4p

òΩ

[£f] ——  r

dV +

1 —– 4p

ò¶Ω

æ è

[Ñf] ——  r

+

r [f] ——–  r³

+

r —– cr²

é ë

¶f —–  ¶t

ù û

ö ø

· dS       ( sÎΩ )

という式が成り立つことがわかります。これは、f が斉次の波動方程式 £f = 0 の解ならば、f の s における値は Ω の境界面における r/c だけ過去の f 及びその一階微分のみによって定まることを意味しています。

　特に、f が時間を含まない関数 y によって

(29-9)  f = e-iw ty

と書ける場合は、k = w/c と置いて、

(29-10a)  [f] = e-iw(t-r/c) y = eik r f

(29-10b)  [Ñf] = e-iw(t-r/c) Ñy = eik r Ñf

(29-10c)

é ë

¶f —–  ¶t

ù û

= - iw[f] = - iw eik r f

(29-10d)  [£f] = e-iw(t-r/c) (D + k²)y = eik r £f

ですから、(29-8) は

(29-11)  f(t, s) = -

1 —– 4p

òΩ

£f —–  r

eik r dV +

1 —– 4p

ò¶Ω

ì í î

Ñf —–  r

+

æ è

1 —– r²

-

ik —– r

ö ø

r f —–  r

ü ý þ

eik r · dS       ( sÎΩ )

という形になります。これをKirchhoff-Huygensの定理といいます。

　この定理の応用として、Ω の外部の点 s' に光源があるときの、領域 Ω 内の点 s における電磁界を求めてみましょう。
　r' º ξ - s' , r' º | r' | と置き、f(ξ) を点 ξ における電場又は磁場の任意の成分とすると、(27-22),(27-34) の表示式により、k の次数が最大の項は、いずれも次の形をしていることがわかります。

(29-12)  A

e-iw t+ik r' ————  r'

　電磁波のうち、波長が非常に短いある範囲にある場合を光と呼びますが、光の波長を l とすると、kl = 2p なので、l が小さければ k は非常に大きくなります。従って、k の次数最大の項以外は無視する近似で、

(29-13)  f(t, ξ) = A

e-iw t+ik r' ————  r'

となり、「偏微分方程式」第４節 (4-34) により、原点を除き、f は同節 (4-26) 式で f を 0 とし、w を k に置き換えた式により

(29-14)  £f = Df -

1 —– c²

¶² —– ¶t²

e-iw t A

eik r' ——–  r'

= Df + k²f = 0

を満たします。ただし、空間変数の微分は ξ による微分を意味します。また

(29-15)  Ñf = Ñr'

¶f —–  ¶r'

=

r' —–  r'

¶f —–  ¶r'

= Ae-iw t

r' —–  r'

eik r' (ikr' - 1) ——————  r' ²

が成り立つので、これらを (29-11) に代入し、点 ξÎS における外向き法線と r のなす角を q 、r' のなす角を q' とすれば、

(29-16a)

r —–  r

· dS = cos q dS

(29-16b)

r' —–  r'

· dS = cos q' dS

ですから、(29-11) は

(29-17)  f(t, s)	= 1 —– 4p ò¶Ω ì í î  Ae-iw t ———  r eik r' (ikr' - 1) ——————  r' ²  cos q' + æ è 1 —– r² - ik —– r ö ø A e-iw t+ik r' ————  r'  cos q ü ý þ eik r dS
	» ik —– 4p ò¶Ω  Ae-iw t+ik r' —————  r' eik r ——  r (cos q' - cos q) dS

となります。ただし k に関する最高次の項以外は無視しました。

　この式は、まず s' を出た光が ¶Ω に達すると、強度が面との角度によって | cos q' - cos q | 倍されて、そこが新たな光源になって観測点 s に達する、と解釈できる式です。この原理を Huygensの原理と言います。
　ちなみに強度が最も強くなるのは | cos q' - cos q | = 2 すなわち q = 0 , q' = p の場合、すなわち ξ립 が s' と s を結ぶ線分上にある場合です。