電磁気学

　Poynting vector の時間平均 S_o は、(25-13) により

(31-1)  So =

Â(Eo* ´ Ho) —————– 2

=

Eo* ´ Ho + Eo ´ Ho* ————————— 4

となりますが、これと電磁場のエネルギー密度の時間平均 u_o を用いて、光線速度 v_r を

(31-2)  vr =

So —– uo

で定義します。(31-1) と κ の内積をとると

(31-3)  κ · So	= κ · (Eo* ´ Ho) + κ · (Eo ´ Ho*) ————————————— 4
	= (κ ´ Eo)* · Ho + (κ ´ Eo) · Ho* ————————————— 4
	= Bo* · Ho + Bo · Ho* ————————– 4        ( ∵ (30-9c) )
	= Â(Bo* · Ho) —————– 2
	= 2um

　ただし u_m は磁界のエネルギー密度の時間平均です。同様に、

(31-4)  κ · So	= - κ · (Ho ´ Eo*) - κ · (Ho* ´ Eo) —————————————— 4
	= - (κ ´ Ho) · Eo* - (κ ´ Ho)* · Eo —————————————— 4
	= Do · Eo* + Do* · Eo ————————– 4        ( ∵ (30-9a) )
	= Â(Do · Eo*) —————– 2
	= 2ue

　ただし u_e は電界のエネルギー密度の時間平均です。u_o = u_e + u_m ですから、(31-2)〜(31-4) により

(31-5)  κ · vr = 1

が成り立ちます。ここで第５節と同様な計算で v_r の上限を計算してみましょう。まず (31-1) により

(31-6)  | So| £

|Eo* ´ Ho| ————– 2

£

|Eo||Ho| ———– 2

　また、e_i (i=1,2,3) の |E_oi|² (i=1,2,3) による重み付き平均を e と書けば、

(31-7)  uo = ue + um =

Â(Do · Eo*) + Â(Bo* · Ho) ———————————– 4

=

åiei|Eoi|² + m|Ho|² ———————— 4

=

e|Eo|² + m|Ho|² —————— 4

³

Öem |Eo||Ho| ————— 2

　よって、(31-2),(31-6),(31-7) により

(31-8)  vr = |vr| =

½ ½

So —– uo

½ ½

£

1 —— Öem

　この式の右辺は、光速度 c を誘電率がテンソルの場合に拡張したものです。したがって (31-8) は、光線速度が一般化された光速度 c を超えないことを意味しています。
　次に、v_r の向きについて調べてみましょう。前節により、κ は ε から (30-17) 又は (30-26) によって定まるある曲面 S_ε 上にあります((30-17) が成り立つ場合は原点を中心とする球面、(30-26) が成り立つ場合は原点を内部に含む同心球殻状の閉曲面が４点でくっついたような形)。そこで、曲面 S_ε 上で κ の仮想変位をとれば、(30-9a),(30-9c) により

(31-9a)  dDo = d(Ho ´ κ) = dHo ´ κ + Ho ´ dκ

(31-9b)  dBo = d(κ ´ Eo) = dκ ´ Eo + κ ´ dEo

　ゆえに、

(31-10a)  Eo* · dDo	= Eo* · (dHo ´ κ + Ho ´ dκ)
	= (κ ´ Eo)* · dHo + (Eo* ´ Ho) · dκ
	= Bo* · dHo + (Eo* ´ Ho) · dκ      ( ∵ (30-9c) )
	= mHo* · dHo + (Eo* ´ Ho) · dκ      ( ∵ (30-11a) )
	= Ho* · dBo + (Eo* ´ Ho) · dκ      ( ∵ (30-11a) )

(31-10b)  Ho* · dBo	= Ho* · (dκ ´ Eo + κ ´ dEo)
	= (Eo ´ Ho*) · dκ - (κ ´ Ho)* · dEo
	= (Eo ´ Ho*) · dκ + Do* · dEo      ( ∵ (30-9a) )
	= (Eo ´ Ho*) · dκ + Eo* · ε · dEo      ( ∵ (30-11b) )
	= (Eo ´ Ho*) · dκ + Eo* · dDo      ( ∵ (30-11b) )

　これらを辺々加えれば、

(31-11)  (Eo* ´ Ho + Eo ´ Ho*) · dκ = 0

　ゆえに (31-1),(31-2),(31-11) により

(31-12)  vr · dκ =

So · dκ ———– uo

=

(Eo* ´ Ho + Eo ´ Ho*) · dκ ———————————– 4uo

= 0

　仮想変位 dκ は任意でしたから、これは v_r が曲面 S_ε に垂直であることを示しています。また、(31-10) と同様に、

(31-13a)  Eo · dDo = Ho · dBo + (Eo ´ Ho) · dκ

(31-13b)  Ho · dBo = (Eo ´ Ho) · dκ + Eo · dDo

が成立します。よって、

(31-14)  (Eo ´ Ho) · dκ = 0

　これと (31-12) により、v_r は E_o ´ H_o とも平行であることがわかり、

(31-15a)  vr · Eo = 0

(31-15b)  vr · Ho = 0

が成り立ちます。また、(30-9a),(30-9c) と (31-5),(31-15) により、

(31-16a)  vr ´ Do = - vr ´ (κ ´ Ho) = (vr · κ)Ho - (vr · Ho)κ = Ho

(31-16b)  vr ´ Bo = vr ´ (κ ´ Eo) = (vr · Eo)κ - (vr · κ)Eo = - Eo

が成り立つので、E_o« D_o , H_o« B_o , κ « v_r , ε « ε^-1 , m« 1/m に関する双対性、すなわち各種関係式はこれらの置き換えを一斉に行っても成立することがわかります。

　さて次に、前節 (30-1) の y = y(w, s, t) = w{f(s) - t} に対して

(31-17)  k = Ñy = wÑf = wκ

と置きます。任意の k に対し、(31-17) を満たす κ が、k 方向の半直線と曲面 S_ε の交点として１個又は２個求まります。２個の場合はその一方を指定することにすれば、任意の k に対し、(31-17) を満たす (w,κ) の組が一意的に定まります。特に w を k の関数とみなすことができるので、

(31-18)  vg =

¶w —– ¶k

=

æ è

¶w  —– ¶k1

,

¶w  —– ¶k2

,

¶w  —– ¶k3

ö ø

と置いて、これを群速度といいます。まず、k の任意の仮想変位に対して

(31-19)  dw =

¶w —– ¶k

· dk = vg · dk

がわかりますが、w を固定して κ のみの仮想変位を考えれば、dw = 0 であり、また (31-17) により dk = wdκ ですから、(31-19) を w で割れば、

(31-20)  vg · dκ = 0

　すなわち v_r だけでなく v_g も面 S_ε に垂直であり、特に両者は向きが同じであることがわかります。さて、ここで群速度 v_g は情報伝達速度という意味を持つことを確かめましょう。y を s = s_o の近傍でテーラー展開して、１次の項まで取ると、

(31-21)  y(w, s, t) » y (w, so, t) +

¶y(w, so, t) ————– ¶so

· (s - so) = w {f(so) - t} + wÑf(so) · (s - so) = - w (t - to) + k · (s - so) = - wt' + k · s'

　ただし、

(31-22)  k = Ñy(w,so,t) = wÑf(so)

(31-23)  to = f(so)

(31-24)  t' = t - to

(31-25)  s' = s - so

です。さて、電磁場の任意の成分を f(t, s) で表すことにし、f(t, s) は多くの k に対する e^iy の因子の重ね合わせでできているとします。s が s_o に近ければ、(31-21) により

(31-26)  f(t, s) =

òR³

e-iw(k)t' + ik · s' a(k) dV(k)

　だだし a は k の重みを表します。ここでさらに、k がある k_o の近くに集中しているとすると、w を k_o の近くでテーラー展開して、１次の項まで取れば、

(31-27)  w(k) » w(ko) +

¶w(ko) ——— ¶ko

· (k - ko) = w(ko) + vg · k'

　ただし

(31-28)  vg =

¶w(ko) ——— ¶ko

(31-29)  k' = k - ko

と置きました。(31-27),(31-29) により

(31-30)  - w(k)t' + k · s' = - {w(ko) + vg · k' }t' + (ko + k' ) · s' = - w(ko)t' + ko · s' + (s' - vgt' ) · k'

ですから、これを (31-26) に代入すれば、

(31-31)  f(t, s) » e-iw(ko )t' + iko· s'

òR³

ei(s' - vg t') · k' a(ko + k') dV(k' )

　ここで、

(31-32)  c(ξ) =

òR³

eiξ · k' a(ko + k') dV(k' )

と置けば、

(31-33)  f(t, s) » e-iw(ko )t' + iko· s' c(s' - vgt' )

となり、これは正弦波 e^{-iw(k_o )t' + ik_o· s'} が速度 v_g で移動する振幅 c の上に乗っていることを示しています。このような波を波束と呼びます。群速度 v_g は、この波束の移動する速度ですから、これは情報の伝わる速度に他ならないことがわかります。

　さて、今までに位相速度 v_p 、光線速度 v_r 、群速度 v_g という３種類の速度が出てきました。これらのうち、(31-20) の直後にコメントしたように、v_r と v_g は向きが同じなのでした。そこで、さらに ε に特別な条件をつけた場合、これらの速度の間にどのような関係が生じるかを調べてみましょう。

　まず最初に ε が w に依存しない場合を考えます。κ はその向きと曲面 S_ε のみで定まり、S_ε は ε のみで定まるので、もし ε が w に依存しないなら、w を変化させても S_ε は変化しません。したがって κ を固定して w だけを変化させるということができます。このとき、dk = κdw となるので、(31-19) により、

(31-34)  dw = vg · dk = vg · κdw

　dw は任意ですから

(31-35)  vg · κ = 1

が成り立ちます。v_r と v_g は向きが同じでしたから、(31-5) と (31-35) を比較して、

(31-36)  vr = vg

が成り立つことがわかり、光線速度と群速度は一致します。

　次に、ε がスカラー e である場合を考えます(e は w に依存してもよい)。この場合、前節 (30-20) が成り立ちますから、

(31-37)  κ · κ = me

　w を固定して両者の κ に対する仮想変位をとると、

(31-38)  κ · dκ = 0

　両辺を k² で割って (30-7) を用いると、

(31-39)  vp · dκ = 0

　すなわち v_p は S_ε に垂直です。一方 (31-12) 直後のコメントにより v_r も S_ε に垂直ですから、v_p と v_r の向きは同じです。一方 (31-5) の両辺を k² で割って (30-7),(30-8) を用いると、

(31-40)  vp · vr = k-2 = vp²

　v_r と v_p は向きが同じですから、これは

(31-41)  vr = vp

を意味し、今度は光線速度と位相速度が一致します。ところで、これらと平行であることが既にわかっている群速度との関係はどうなっているのでしょうか。(31-17) の両辺を２乗して前節 (30-20) を使うと、

(31-42)  k² = w²me

　両辺を k_i で微分すれば、

(31-43)  2ki = m

¶w  —— ¶ki

æ è

2we + w²

¶e —— ¶w

ö ø

　両辺を w で割れば、(30-20),(31-17),(31-18) により

(31-44)  2ki = k² vgi

æ è

2 +

w —– e

¶e —— ¶w

ö ø

と変形されます。さらに両辺を 2k² で割って (30-7) を使えば、

(31-45)  vp =

æ è

1 +

w —— 2e

¶e —– ¶w

ö ø

vg

という関係式が得られます。

　さて、以上の両条件が成り立つ場合、すなわち ε がスカラーで、かつ w に依存しないならば、位相速度、光線速度、群速度はすべて一致することがわかります。さらに前節 (30-21),(30-22) により

(31-46)  vp = vr = vg =

1 —— Öme

が成り立つこともわかります。