電磁気学

　本節では、反射と屈折の問題を扱います。
　二つの領域 Ω⁺ と Ω^- が面 S を境にして接しているものとし、Ω^± それぞれにおいて、誘電率はそれぞれ e^± 、透磁率はそれぞれ m^± でそれぞれ定数であり、S 上には面電荷も面電流もないものとします。Ω⁺ に電磁場の入射波 E_i ，H_i と反射波 E_r ，H_r が、Ω^- に電磁場の屈折波 E_t ，H_t が存在するものとして、それぞれの関係を調べてみましょう。

(32-1)  E =

ì í î

Ei + Er      ( in Ω+ )   Et      ( in Ω- )

(32-2i)  Ei = Eioeiwi (fi - t )

(32-2r)  Er = Eroeiwr (fr - t )

(32-2t)  Et = Etoeiwt (ft - t )

(32-3i)  Di = Dioeiwi (fi - t ) = e+Ei

(32-3r)  Dr = Droeiwr (fr - t ) = e+Er

(32-3t)  Dt = Dtoeiwt (ft - t ) = e-Et

(32-4)  H =

ì í î

Hi + Hr      ( in Ω+ )   Ht      ( in Ω- )

(32-5i)  Hi = Hioeiwi (fi - t )

(32-5r)  Hr = Hroeiwr (fr - t )

(32-5t)  Ht = Htoeiwt (ft - t )

(32-6i)  Bi = Bioeiwi (fi - t ) = m+Hi

(32-6r)  Br = Broeiwr (fr - t ) = m+Hr

(32-6t)  Bt = Btoeiwt (ft - t ) = m-Ht

　S には面電荷も面電流もないという仮定とMaxwell方程式により、rot E ，rot H ，div D ，div B は S 上で特異点を持ちません。したがって、第26節の境界条件 (26-5),(26-10) により、

(32-7e)  n ´ Ei + n ´ Er = n ´ Et      on S

(32-7h)  n ´ Hi + n ´ Hr = n ´ Ht      on S

(32-7d)  n · Di + n · Dr = n · Dt      on S

(32-7b)  n · Bi + n · Br = n · Bt      on S

　ただし n は波の進行方向側を向いた S の法線です。入射波が 0 でなければ、これら (32-7) に出てくるすべての項が 0 となることはないので、E_i 等のうちのいずれかのある方向成分を Z_i 等と書けば、(Z_i , Z_r , Z_t ) ¹ 0 かつ

(32-8)  Zi + Zr = Zt      on S

が成り立ちますが、(32-2),(32-3),(32-5),(32-6) により、Z_i = Z_ioe^{iw_i (f_i - t )} 等と書けるので、

(32-9)  Zioeiwi (fi - t ) + Zroeiwr (fr - t ) - Ztoeiwt (ft - t ) = 0      on S

となります。さて、w_i , w_r , w_t の中で最小のものを w と書き、h_i = w_i /w , h_r = w_r /w , h_t = w_t /w と置きます。(32-9) の両辺を t で微分して - iw で割れば、光学近似により w_i 等に比べて ¶Z_io/¶t 等は無視できるので、

(32-10)  hiZioeiwi (fi - t ) + hrZroeiwr (fr - t ) - htZtoeiwt (ft - t ) = 0      on S

　再度両辺を t で微分して - iw で割れば、光学近似により、

(32-11)  hi²Zioeiwi (fi - t ) + hr²Zroeiwr (fr - t ) - ht²Ztoeiwt (ft - t ) = 0      on S

　ゆえに (32-9)〜(32-11) と (Z_i , Z_r , Z_t ) ¹ 0 on S により、

(32-12)  0 = det

æ ç ç è

1 hi hi²

1 hr hr²

1 ht ht²

ö ÷ ÷ ø

= (hi - hr)(hr - ht)(ht - hi)

　ゆえに h_i , h_r , h_t のいずれか２つが等しいことがわかるので、例えば h_i = h_r とします。
　まず、(32-7) の右辺がすべて 0 の場合は、屈折波が存在しないので、h_t = h_i = h_r と置いても問題ありません。
　また、(32-7) の右辺の中に 0 でないものがある場合は、それを Y_t とすれば、

(32-13)  Yioeiwi (fi - t ) + Yroeiwr (fr - t ) - Ytoeiwt (ft - t ) = 0      on S

　これの両辺を t で微分して - iw で割れば、光学近似により、

(32-14)  hi{Yioeiwi (fi - t ) + Yroeiwr (fr - t )} - htYtoeiwt (ft - t ) = 0      on S

となるので、(32-13),(32-14) と Y_t ¹ 0 on S 、従って特に (Y_i + Y_r , Y_t ) ¹ 0 on S により、

(32-15)  0 = det

æ è

1 hi

1 ht

ö ø

= ht - hi

となって、いずれにせよ h_i = h_r = h_t 、すなわち

(32-16)  wi = wr = wt = w

となることがわかります。つまり入射波、反射波、屈折波の周波数はすべて一致していることがわかりました。次に (32-9) の両辺に e^iwt を乗じれば、

(32-17)  Zioeiwfi + Zroeiwfr - Ztoeiwft = 0      on S

　この両辺を S に含まれる任意の曲線に沿って微分すれば、光学近似により、

(32-18)  fi'Zioeiwfi + fr'Zroeiwfr - ft'Ztoeiwft = 0      on S

　再度微分すると、光学近似により、

(32-19)  fi'²Zioeiwfi + fr'²Zroeiwfr - ft'²Ztoeiwft = 0      on S

　ゆえに、先程と同様にして

(32-20)  fi' = fr' = ft'      on S

であることがわかります。S 上の曲線の選び方は任意でしたから、ある定数 a , b により、S 上で

(32-21)  fi = fr + a = ft + b      on S

と書けます。ここに現れる定数は、因子 e^-iaw を Z_ro の方に、因子 e^-ibw を Z_to の方に含めてしまうことにより、a = b = 0 と仮定することができます：

(32-22)  fi = fr = ft      on S

　ここで第26節で得られた境界条件 (26-12) を用いると、

(32-23)  n ´ κi = n ´ κr = n ´ κt      on S

が成り立ちます。ただし

(32-24i)  κi = Ñfi

(32-24r)  κr = Ñfr

(32-24t)  κt = Ñft

です。(32-23) のベクトルを a と書けば、n , κ_i , κ_r , κ_t はすべて a と直交しますから、法線および、入射波、反射波、屈折波の進行方向はすべて同一平面上にあることがわかります。入射波、反射波、屈折波の位相速度をそれぞれ v_i , v_r , v_t と書き、それぞれの波の進行方向と n のなす角を q_i , q_r , q_t と書けば、(32-23) と (30-8) により、

(32-25)

sin qi ——– vi

=

sin qr ——– vr

=

sin qt ——– vt

が成り立ちます。これをSnellの法則といいます。また (30-21),(30-22) により、

(32-26)  vi = vr =

1  ———–– Öm+e+

(32-27)  vt =

1  ———–– Öm-e-

ですから、(21-25) はまた

(32-28)

____ Öm+e+ sin qi =

____ Öm+e+ sin qr =

____ Öm-e- sin qt = a      on S

と書けます。また、入射波と屈折波は n の方向に、反射波はこれとは反対の方向に進んでいるので、

(32-29i)  0 < n · κi =

cos qi ——– vi

=

____ Öm+e+ cos qi      on S

(32-29r)  0 > n · κr =

cos qr ——– vr

=

____ Öm+e+ cos qr      on S

(32-29t)  0 < n · κt =

cos qt ——– vt

=

____ Öm-e- cos qt      on S

　よって (32-28),(32-29) により、

(32-30)  -

p —– 2

< qi = p - qr <

p —– 2

　ところで e^-m^- < e⁺m⁺ のときには、入射角 q_i の大きさによっては sin q_t > 1 ということが起こり得ます。この場合、f_t が実数値である限り解は無く、f_t が複素数値をとる（すなわち減衰を考える）ことを許さなければなりません。すなわち

(32-31)  κt = kt// n + kt^e      ( e ^ n )

と書いたとき、n ´ κ_t は実数なので k_t^ は実数ですが、sin q_t > 1 により、

(32-32)  kt^² = kt^²(n ´ e) · (n ´ e) = (n ´ κt) · (n ´ κt) = κt · κt sin² qt > κt · κt = kt//² + kt^²

ですから k_t//² < 0 、すなわち k_t// は純虚数 iK になります。よって屈折波の急変動部分の因子は

(32-33)  eiwft(s) » exp{iw(ft(0) + κt · s)} = exp{iwft(0) + iwkt^s^ - wKs// }      ( s = s// n + s^e )

となって、境界面の法線 n の方向に向かって急激に減衰していくことがわかります。このような状態を全反射とよびます。

　さて、次に電磁場の緩やかな変動部分（添字 o を付けたベクトル場）を求めてみましょう。入射波について、n · E_io = 0 が成り立つ場合と n · H_io = 0 が成り立つ場合に分けて考えることにします。

CASE 1  n · E_io = 0 の場合：

　まず (32-7d) を共通の因子 e^iw(f-t) で除し、(32-3) と仮定 n · E_io = 0 を使うと

(32-34)  e+(n · Ero) = e-(n · Eto)      on S

　また、(32-7e) を共通の因子 e^iw(f-t) で除したものの各項に (32-23) の各項を乗じれば、

(32-35)  (n ´ κi) · (n ´ Eio) + (n ´ κr) · (n ´ Ero) = (n ´ κt) · (n ´ Eto)      on S

　一方、(32-3i) と第30節 (30-9b) により

(32-36)  κi · Eio =

κi · Dio ———– e+

= 0      on S

ですから

(32-37)  (n ´ κi) · (n ´ Eio) = (n · n)(κi · Eio) - (n · κi)(n · Eio) = - (n · κi)(n · Eio)

となりますが、仮定 n · E_io = 0 により

(32-38i)  (n ´ κi) · (n ´ Eio) = 0      on S

が成り立ちます。また (32-37) と同様に

(32-38r)  (n ´ κr) · (n ´ Ero) = - (n · κr)(n · Ero)

(32-38t)  (n ´ κt) · (n ´ Eto) = - (n · κt)(n · Eto)

が得られます。そこで (32-35) に (32-38) を代入すれば、

(32-39)  (n · κr)(n · Ero) = (n · κt)(n · Eto)      on S

となりますが、(32-29) により、e^± > 0 , n · κ_t > 0 , n · κ_r < 0 なので、(32-34) と (32-39) により

(32-40)  n · Eio = n · Ero = n · Eto = 0      on S

がわかります。一方、(32-7e) を共通の因子 e^iw(f-t) で除し、左から n ´ を施せば、

(32-41)  n ´ (n ´ Eio) + n ´ (n ´ Ero) = n ´ (n ´ Eto)      on S

　これを展開して (32-40) を用いれば、

(32-42)  Eio + Ero = Eto      on S

がわかります。一方 (32-7h) を共通の因子 e^iw(f-t) で除し、(32-6) を用いれば、

(32-43)

n ´ Bio ———– m+

+

n ´ Bro ———– m+

=

n ´ Bto ———– m-

　この両辺に (30-9c) を代入すれば、

(32-44)

n ´ (κi ´ Eio) —————— m+

+

n ´ (κr ´ Ero) —————— m+

=

n ´ (κt ´ Eto) —————— m-

　これを展開して (32-40) を用いれば、

(32-45)

n · κi ——– m+

Eio +

n · κr ——– m+

Ero =

n · κt ——– m-

Eto

　ここで、(32-42) の両辺に n · κ_t /m^- を乗じたものから (32-45) を辺々引けば

(32-46)

æ è

n · κt ——– m-

-

n · κi ——– m+

ö ø

Eio +

æ è

n · κt ——– m-

-

n · κr ——– m+

ö ø

Ero = 0

となるので、これを E_ro について解けば次のようになります。

(32-47)  Ero =

n · κi /m+ - n · κt /m- ————————— n · κt /m- - n · κr /m+

Eio =

_____ Öe+/ m+ cos qi -   _____ Öe-/ m- cos qt ————————————–   _____ Öe+/ m+ cos qi +   _____ Öe-/ m- cos qt

Eio

　ただしここで、(32-29) 及び、(32-30) から得られる cos q_r = - cos q_i を使いました。特に m⁺ = m^- の場合は、(32-28) により、

(32-48)  Ero

=

cot qi - cot qt —————— cot qi + cot qt

Eio =

sin qt cos qi - sin qi cos qt ——————————– sin qt cos qi + sin qi cos qt

Eio =

sin(qt - qi) ————– sin(qt + qi)

Eio

　これと (32-42) により E_to も求まります。

CASE 2  n · H_io = 0 の場合：

　対称性により、(32-42),(32-47) と同様に、

(32-49)  Hio + Hro = Hto      on S

(32-50)  Hro =

n · κi /e+ - n · κt /e- ————————— n · κt /e- - n · κr /e+

Hio =

_____ Öm+/ e+ cos qi -   _____ Öm-/ e- cos qt ————————————–   _____ Öm+/ e+ cos qi +   _____ Öm-/ e- cos qt

Hio

　特に m⁺ = m^- の場合は、(32-28) により、

(32-51)  Hro

=

sin qi cos qi - sin qt cos qt —————————— sin qi cos qi + sin qt cos qt

Hio =

sin(2qi) - sin(2qt) ——————— sin(2qi) + sin(2qt)

Hio =

cos(qi + qt) sin(qi - qt) ————————— sin(qi + qt) cos(qi - qt)

Hio =

tan(qi - qt) ————– tan(qi + qt)

Hio

という解が得られます。ただしここで、三角関数の公式：

(32-52a)  sin(a + b) - sin(a - b) = 2 cos a sin b

(32-52b)  sin(a + b) + sin(a - b) = 2 sin a cos b

で a = q_i + q_t 、b = q_i - q_t としたものを使いました。なお、CASE 2 の場合、q_i + q_t = p/2 のとき H_ro = 0 、したがって E_ro = 0 となって反射波が消えますが、このときの q_i をBrewster角といいます。一般の入射波は、n · E_io = 0 であるような光と n · H_io = 0 であるような光の合成で表わされますから、入射角がBrewster角のとき、反射波は前者のみの光による偏光になることがわかります。

　なお、CASE 1 , CASE 2 いずれの場合も、全反射の場合は、sin q_t > 1 により cos² q_t < 0 すなわち cos q_t は純虚数になるので、(32-47),(32-50) の右辺の係数は絶対値 1 の虚数となります。したがって、入射波と反射波の位相はずれますが、CASE 1 , CASE 2 のいずれが成り立つかによって

(32-53a)  |Ero| = |Eio|

(32-53b)  |Hro| = |Hio|

の一方が成り立ちます。ところが (32-6i),(30-9c),(32-36) により、

(32-54)  (m+)² |Hio|² = Bio* · Bio = (κi ´ Eio*)(κi ´ Eio) = (κi · κi)(Eio* · Eio) - (κi · Eio*)(κi · Eio) = |κi|²|Eio|²

　同様に、

(32-55)  (m+)² |Hro|² = |κr|² |Ero|²

が成り立ち、(32-23),(32-29i),(32-29r),(32-30) により

(32-56)  |κi|² = |n ´ κi|² + (n · κi)² = |n ´ κr|² + (n · κr)² = |κr|²

が成り立ちますから、(32-53) の一方が成立すれば他方も成立し、入射波と反射波のエネルギー密度は変わらないことがわかります。

　この節の最後に、Ω^- が s > 0 の導体である場合を考えてみましょう。このとき、屈折波については、(30-9a) を導くのに用いた (30-3a) のかわりに、J = sE を用いて

(32-57)  0 = e-iy

æ è

rot H -

¶D —– ¶t

- sE

ö ø

= rot Hto -

¶Dto ——  ¶t

+ iwÑf ´ Hto + iwDto - sEto

から光学近似によって得られる式：

(32-58)  κt ´ Hto = - (e- + is/w)Eto

が成り立ちます。これは、上記の議論で e^- を複素数：

(32-59)  es º e- + is/w

に置き換えた式が成立することを意味します。置き換えた式の (32-28) と (32-29t) から、

(32-60)  a² + (n · κt)² = m-es

　よって k_t// = n · κ_t は虚部を持ち、(32-33) と同様にして屈折波は指数関数的に減少することがわかります。これを導体の表皮効果といいます。
　一方、(32-59) により、s ® ¥ のとき |e_s| ® ¥ ですから、これと (32-60) により

(32-61a)  |n · κt /m-| ® ¥      ( s ® ¥ )

(32-61b)  |n · κt /es| ® 0      ( s ® ¥ )

　したがって、(32-47) と (32-61a) により、CASE 1 の場合

(32-62)  Ero

=

n · κi /m+ - n · κt /m- ————————— n · κi /m+ + n · κt /m-

Eio ® - Eio      ( s ® ¥ )

　これと (32-42) により

(32-63)  Eto ® 0      ( s ® ¥ )

　また、(32-50) と (32-61b) により、CASE 2 の場合

(32-64)  Hro

=

n · κi /e+ - n · κt /es ————————— n · κi /e+ + n · κt /es

Hio ® Hio      ( s ® ¥ )

　これと (32-49) により

(32-65)  Hto ® 2Hio      ( s ® ¥ )

が成り立つことがわかりました。(32-62),(32-64) によれば、完全導体の極限で、(32-53) がこの場合にも成り立つことがわかります。これは良導体がよい鏡になる、ということを意味しています。