電磁気学

34．Lorentz変換と電磁場の変換則

　本節では、Lorentz変換の一般形を求め、それに伴う電磁場の諸量の変換則を求めてみましょう。

　VM の２点のMinkowski座標 (x0, ξ) , (h0, η) がLorentz変換 Λ により、それぞれ (x' 0, ξ' ) , (h' 0, η' ) に移ったとすると、

(34-1a)  æ
è		 x' 0 ö
ø		 = Λ æ
è		 x0 ö
ø
ξ' ξ

(34-1b)  æ
è		 h' 0 ö
ø		 = Λ æ
è		 h0 ö
ø
η' η

　ただし３次元ベクトルは列ベクトルを意味することにします。Λ による変換前後の座標がMinkowski座標であることを行列で表すと、

(34-2)  (x0, ξ †) G æ
è		 h0 ö
ø		 = (x' 0, ξ' †) G æ
è		 h' 0 ö
ø
η η'

　ただし † は転置行列を表し、

(34-3)  G = æ
è		 1 0† ö
ø
0  -c- 21

と置きました。ここで 0 は成分がすべて 0 の３次列ベクトル、1 は３次の単位行列です。(34-1) を (34-2) の右辺にに代入すると、

(34-4)  (x0, ξ †) G æ
è		 h0
η		 ö
ø		 = (x0, ξ †) Λ†GΛ æ
è		 h0
η		 ö
ø

　ここで (x0, ξ) , (h0, η) は任意に取れますから、Λ がLorentz変換であるための必要十分条件として

(34-5)  G = Λ†GΛ

が得られます。Λ1 , Λ2 を２つのLorentz変換とすると、(34-5) により

(34-6)  (Λ1Λ2)†G(Λ1Λ2) = Λ2†Λ1†GΛ1Λ2 = Λ2†GΛ2 = G

が成り立ちますから、２つのLorentz変換の積はLorentz変換です。また、(34-5) の行列式をとると、det G = (det G)(det Λ)² であり、(34-3) により det G = - c6 ¹ 0 ですから、

(34-7)  det Λ = ± 1

が成り立ちます。ゆえにLorentz変換 Λ は逆行列 Λ-1 を持ちますが、(34-5) の左から Λ† の逆行列を、右から Λ の逆行列を掛けることにより、Λ-1 もLorentz変換であることがわかります。つまりLorentz変換の全体は群をなします。これをLorentz変換群といいます。

　さて、Lorentz変換の一般形を求めるため、実数 g 、３次の列ベクトル a, b 、３次の正方行列 Γ によって、Λ を

(34-8)  Λ = æ
è		 g a† ö
ø
b Γ

と表すと、(34-5),(34-3) により

(34-9)  æ
è		 1 0† ö
ø		 = æ
è		 g b† ö
ø		 æ
è		 1 0† ö
ø		 æ
è		 g a† ö
ø		 = æ
è		 g -c- 2b† ö
ø		 æ
è		 g a† ö
ø		 = æ
è		 g²-c- 2|b|² ga†-c- 2b†Γ ö
ø
0  -c- 21 a Γ † 0  -c- 21 b Γ a -c- 2Γ † b Γ ga-c- 2Γ †b aa†-c- 2Γ †Γ

　この左辺と右辺の各成分を比較して、

(34-10a)  g² - c- 2|b|² = 1

(34-10b)  ga = c- 2Γ †b

(34-10c)  Γ †Γ - c²aa† = 1

　これらにより、Γ は正則行列であることがわかります。なぜなら、もし Γ が正則でなければ、Γe = 0 となる３次の列ベクトル e ¹ 0 が存在し、(34-10c) の左から e† 、右から e を乗じれば、- c²(a · e)² = e · e > 0 となって矛盾するからです。
　このことから、g ¹ 0 もわかります。なぜなら、g = 0 とすると、(34-10a) により b ¹ 0 ですが、(34-10b) により、Γ †b = 0 となり、Γ の正則性に反するからです。
　ゆえに、Lorentz変換を連続的に変化させると g の符号は変わらないことがわかったので、今後は g が正の場合のみを考えることにします。さて、３次の列ベクトル v を

(34-11)  v = g-1 b

で定義すると、(34-10a) により

(34-12)  g² æ
è		 1 - |v|²
—–
c²		 ö
ø		 = 1

　ゆえに、これから

(34-13)  v º |v| < c

(34-14)  g =

 		 1
—————		 > 1

 
Ö———— 
|v|² 
1 - —– 
c²  

がわかります。また (34-10b),(34-11) から

(34-15)  a = c- 2Γ †v

が成り立つので、これを (34-10c) に代入すれば、

(34-16)  Γ † æ
è		 1 - vv†
—–
 c² 		 ö
ø		 Γ = 1

　さて、任意の実数 a に対して

(34-17)  Z(a) º 1 + a - 1
——–
|v|²		 vv† 

と置くと、Z(a) は対称行列で、(vv†)² = |v|²vv† に注意すれば、任意の実数 a , b に対して

(34-18)  Z(a)Z(b)
= æ
è		 1 + a - 1
——–
|v|²		 vv†  ö
ø		 æ
è		 1 + b - 1
——–
|v|²		 vv†  ö
ø

= 1 + a + b - 2
————
|v|²		 vv†  + a - 1
——–
|v|²		 b - 1
——–
|v|²		 |v|² vv† 

= 1 + a + b - 2 + (a - 1)(b - 1)
——————————–
|v|²		 vv† 

= 1 + ab - 1
———
|v|²		 vv† 

= Z(ab)

が成り立つので、(34-14) と、(34-18) で a = b = g - 1 と置いたものを使えば、

(34-19)  1 - vv†
——
c²		 = 1 - |v|²
—–
c²		 vv†
——
 |v|² 		 = 1 + (g - 2 - 1) vv†
——
 |v|² 		 = Z(g - 2) = Z(g -1) ² = Z(g -1)†Z(g -1)

が成り立ちますから、(34-16) は、

(34-20)  Γ †Z(g -1)†Z(g -1)Γ = 1

と書けます。これは

(34-21)  X º Z(g -1)Γ

と置くと

(34-22)  X †X = 1

となるので X は３次の直交行列であることがわかります。また

(34-23)  Z(1) = 1

ですから、これと (34-18) により、a ¹ 0 のとき

(34-24)  Z(a)-1 = Z(a-1)

が成り立つので、(34-21) は

(34-25)  Γ = Γv X

と書くことができます。ただし

(34-26)  Γv º Z(g) = 1 + g - 1
——–
|v|²		 vv† 

と置きました。また、任意の３次元ベクトル ξ を v に平行な成分 ξ// と垂直な成分 ξ^ に

(34-27)  ξ = ξ// + ξ^       æ
è		 ξ// = v · ξ
——
|v|²		 v ö
ø

と直和分解すると、

(34-28)  Γv ξ = ξ + g - 1
——–
|v|²		 (v · ξ)v = ξ + (g - 1)ξ// = gξ// + ξ^

　すなわち Γv は v の方向に g倍に引き伸ばす演算子であることがわかります。特に

(34-29)  Γv v = g v

が成り立ちますから、(34-11) と、(34-15) の両辺の転置行列を取ったものにより、

(34-30)  Λ = æ
è		 g a† ö
ø		 = æ
è		 g c- 2v†Γ ö
ø		 = æ
è		 g c- 2v†Γv ö
ø		 æ
è		 1  0† ö
ø
b Γ gv Γ gv Γv 0 X

　ただし最後の等号で (34-25) を使いました。ここで

(34-31)  Λv º æ
è		 g c- 2v†Γv ö
ø		 = æ
è		 g c- 2(Γv v)† ö
ø		 = æ
è		 g c- 2gv† ö
ø		       ( ∵ (34-29) )
gv Γv gv Γv gv Γv

(34-32)  X(4) º æ
è		 1  0† ö
ø
0 X

と置くと、(34-30) により、Λ は

(34-33)  Λ = Λv X(4)

と分解されます。X(4) は明らかにLorentz変換で、Lorentz変換は群を成しますから、Λv もLorentz変換です。したがって、任意のLorentz変換は、空間部分が v の方向にg 倍されるLorentz変換と、空間部分の回転のみの変換という２つのLorentz変換の積に分解されることがわかりました。

　さて、(34-26) により Γ-v = Γv であり、(34-18),(34-26) により

(34-34)  Γv² = Z(g²) = 1 + g² - 1
——–
|v|²		 vv†  = 1 + g²
—–
|v|²		 (1 - g- 2)vv† = 1 + g²
—–
|v|²		 |v|²
—–
c²		 vv†  = 1 + g²
—–
c²		 vv† 

ですから、これと (34-29) により

(34-35)  Λv Λ-v = æ
è		 g c- 2gv† ö
ø		 æ
è		  g -c- 2gv† ö
ø		 = æ
è		 g²-c- 2g²|v|²  -c- 2g(gv†-v†Γv) ö
ø		 = æ
è		 1  0† ö
ø
gv Γv -gv Γv g(gv-Γv v) -c- 2g²vv†+Γv² 0 1

となるので、

(34-36)  Λv-1 = Λ-v

が成り立っています。さて、

(34-37)  Λv æ
è		 t ö
ø		 = æ
è		 g c- 2gv† ö
ø		 æ
è		 t ö
ø		 = æ
è		 gt ö
ø
0 gv Γv 0 gtv

ですから、Λv は、ある点が静止していると観測される座標から、速度 v で運動していると観測される座標に変換するLorentz変換です。
　したがって (34-36) により、Λ-v は逆に、ある点が速度 v で運動していると観測される座標から、その点に固定された座標系に変換するLorentz変換であることがわかります。そこで、この変換により電磁場の諸量がどのように変換されるかを見ていきましょう。

　まず、電荷密度と電流密度については、(33-25) が４元ベクトルであることから、

(34-38)  æ
è		 r' ö
ø		 º Λ-v æ
è		 r ö
ø		 = æ
è		  g -c- 2gv† ö
ø		 æ
è		 r ö
ø		 = æ
è		 gr - c- 2g v · J ö
ø
J' J -gv Γv J - grv + ΓvJ

　したがって、これと (34-28) により

(34-39a)  r' = g æ
è		 r - v · J
——–
c²		 ö
ø

(34-39b)  J'// = g (J// - rv)

(34-39c)  J'^ = J^

が成り立ちます。また、電磁ポテンシャルについては、(33-1) により

(34-40)  da = (-j  A†) æ
è		 dt ö
ø		 = (-j'  A' †) æ
è		 dt' ö
ø
ds ds'

　ここで

(34-41)  æ
è		 dt ö
ø		 = (Λ-v)-1 æ
è		 dt' ö
ø		 = Λv æ
è		 dt' ö
ø
ds ds' ds'

ですから、dt' , ds' の係数を比較して、

(34-42)  (-j'  A' †) = (-j  A†)Λv

　この転置行列をとり、(34-31) と Γv が対称行列であることを使えば、

(34-43)  æ
è		 -j' ö
ø		 = Λv† æ
è		 -j ö
ø		 = æ
è		 g gv† ö
ø		 æ
è		 -j ö
ø		 = æ
è		 - gj + gv · A ö
ø
A' A c- 2gv Γv A - c- 2gjv + Γv A

　ゆえに、これと (34-28) により

(34-44a)  j' = g (j - v · A)

(34-44b)  A'// = g æ
è		 A// - jv
—–
c²		 ö
ø

(34-44c)  A'^ = A^

という変換則が得られます。また、電磁場については、Fmn をmn成分に持つ４次の正方行列を F と書けば、(33-10) により

(34-45)  F = æ
è		 0 -E† ö
ø
E  ΩB

となります。ただし

(34-46)  ΩB = æ
ç
ç
è		 0  B3  -B2 ö
÷
÷
ø
-B3 0  B1
B2  -B1 0 

で、

(34-47)  ΩB† = - ΩB

(34-48)  ΩB ξ = ξ ´ B

が成り立ちます。さて、F のLorentz変換後の行列を F' と書くと、

(34-49a)  æ
è		 x' 0 ö
ø		 = Λ-v æ
è		 x0 ö
ø
ξ' ξ

(34-49b)  æ
è		 h' 0 ö
ø		 = Λ-v æ
è		 h0 ö
ø
η' η

すなわち

(34-50a)  æ
è		 x0 ö
ø		 = Λv æ
è		 x' 0 ö
ø
ξ ξ'

(34-50b)  æ
è		 h0 ö
ø		 = Λv æ
è		 h' 0 ö
ø
η η'

が成り立つとき

(34-51)  (x' 0  ξ' †) F' æ
è		 h' 0 ö
ø		 = (x0  ξ †) F æ
è		 h0 ö
ø		 = (x' 0  ξ' †) Λv†FΛv æ
è		 h' 0 ö
ø
η' η η'

が成り立ちます。ただし２番目の等号は (34-50) を使いました。両辺を比較して、

(34-52)  F' = Λv†FΛv = æ
è		 g gv† ö
ø		 æ
è		 0 -E† ö
ø		 æ
è		 g c- 2gv† ö
ø		 = æ
è		 gv·E -gE†+gv†ΩB ö
ø		 æ
è		 g c- 2gv† ö
ø
c- 2gv Γv E  ΩB gv Γv Γv E -c- 2gvE†+Γv ΩB gv Γv

　ここで、(34-52) の行列の左下成分を比較すれば、

(34-53)  E'
= gΓv E - g²vE†v
———
 c² 		 + gΓv ΩB v

= gΓv E - g²(v · E)v
————
c²		 + gΓv(v ´ B)       ( ∵ (34-48) )

= gE + g² - g
——–
|v|²		 (v · E)v - g²(v · E)v
————
c²		 + gv ´ B + g - 1
——–
|v|²		 {v · (v ´ B)}v

= gE + 1 - g
——–
|v|²		 (v · E)v + gv ´ B         æ
ç
è		 ∵ g²
—–
|v|²		 - g²
—–
c²		 = g²(1 - |v|²/c²)
—————–
|v|²		 = 1
—–
|v|²		 ö
÷
ø

= gE + (1 - g)E// + gv ´ B

= E// + gE^ + gv ´ B

　これにより次の変換則が得られます。

(34-54a)  E'// = E//

(34-54b)  E'^ = g (E^ + v ´ B)

　また、(33-15) により、２階反対称テンソル da の E を H に、B を - D に置きかえると２階反対称テンソル ceo*da が得られますから、H の変換則として

(34-55a)  H'// = H//

(34-55b)  H'^ = g (H^ - v ´ D)

が得られます。また、(34-55) を mo倍すれば、

(34-56a)  B'// = B//
(34-56b)  B'^ = g æ
è		 B^ - v
—–
c²		 ´ E ö
ø

が得られ、(34-54) を eo倍すれば、

(34-57a)  D'// = D//
(34-57b)  D'^ = g æ
è		 D^ + v
—–
c²		 ´ H ö
ø

が得られます。

　次に、分極と磁化について考えてみましょう。第１節により、

(34-58a)  J - Je = P
—–
t		 + rot M

(34-58b)  r - re = - div P

　そこで、

(34-59)  we = re dV - Je · dS ^ dt

と置くと、(33-50) と (34-58) により、

(34-60)  we - w = div P dV + æ
è		 rot M + P
—–
t		 ö
ø		 · dS ^ dt = d(P · dS + M · ds ^ dt) = dq

　ただし

(34-61)  q º P · dS + M · ds ^ dt

と置きました。第１節によれば、P と M は、マクロには (34-58) を満たす場として一意的に定まるので、(34-60) を満たす２次形式 q も一意的に定まることがわかります。ゆえに、E , B と同様に、

(34-62a)  M'// = M//

(34-62b)  M'^ = g (M^ + v ´ P)

(34-63a)  P'// = P//
(34-63b)  P'^ = g æ
è		 P^ - v
—–
c²		 ´ M ö
ø

という変換則が得られます。

　ところで (34-55),(34-57) の変換則における D と H は、真空中の電束密度と磁界の強さ（第０節 (D),(H) 参照）ですが、(34-62),(34-63) を用いると、実は物質中の電束密度と磁界の強さ（第２節 (2-3) 参照）に関する変換則としても正しいことがわかります。
　実際、(34-55) の各式各辺から (34-62) の各式各辺をそれぞれ差し引き、(34-57) の各式各辺に (34-63) の各式各辺をそれぞれ加えれば、(34-55),(34-57) の H と D にそれぞれ H - M と D + P を代入した式が得られますが、(2-3) により、H - M と D + P はそれぞれ物質中の H と D に他ならないからです。

　最後に磁荷と磁流について調べてみましょう。(33-4) から (33-11) の４番目の等号を導く式の変形において、E の所を M に、B の所を P にそれぞれ置き換えれば、(34-61) から

(34-64)  *q = |a|½ æ
è		 - M · dS - P · ds ^ dt
————–
a		 ö
ø		 = - M · dS
———
 c		 + cP · ds ^ dt

が得られるので、両辺に cmo = 1/(ceo) を乗じて外微分を取れば、(2-12) により

(34-65)  cmod(*q) = - modiv M dV - mo M
—–
t		 · dS ^ dt + rot P
——
 eo		 · dS ^ dt = rmdV - Jm · dS ^ dt

となり、これを (33-50) と比較すれば、(rm , Jm ) が (r, J ) と同じく４元ベクトルになっていることがわかり、その変換則も

(34-66a)  r'm = g æ
è		 rm - v · Jm
——–
 c² 		 ö
ø

(34-66b)  J'm // = g (Jm // - rmv)

(34-66c)  J'm ^ = Jm ^

となることがわかります。

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