電磁気学

　本節では、Maxwell方程式と相対論的運動方程式を変分原理によって導いてみましょう。

　与えられた r ，J に対し、未知関数としてスカラー場 j とベクトル場 A を考えます。まず E º e_o^-1D , B º m_oH を、j と A から (6-1a),(6-1b) で定義すれば、Maxwell方程式のうち (M3),(M4) は自動的に満たされます。
　次に、t₀ < t₁ を２つの時刻、V を空間の有界な領域とし、j と A を、t = t₀ , t₁ 及び V の境界で 0 となるように dj と dA だけ微小変化させると、

(35-1)	òV	(div D - r)dj dV	= òV {div(Ddj) - D · grad(dj) - rdj} dV
			= òV {- D · d grad j - rdj} dV + ò¶V (Ddj) · dS
			= òV ì í î D · d æ è E + ¶A —– ¶t ö ø - rdj ü ý þ dV
			= òV æ è D · dE + D · ¶ —–  ¶t dA - rdj ö ø dV
			= d òV æ è D · E ——– 2 - rj ö ø dV + òV D · ¶ —–  ¶t dA dV

(35-2)	òV	æ è	J +	¶D —– ¶t	- rot H	ö ø	· dA dV	= òV æ è J · dA + ¶D —– ¶t · dA - dA · rot H ö ø dV
								= òV ì í î J · dA + ¶D —– ¶t · dA + div(dA ´ H) - H · rot dA ü ý þ dV
								= òV æ è J · dA + ¶D —– ¶t · dA - H · d rot A ö ø dV + ò¶V (dA ´ H) · dS
								= òV æ è J · dA + ¶D —– ¶t · dA - H · dB ö ø dV
								= d òV æ è J · A -  H · B ——– 2 ö ø dV + òV ¶D —– ¶t · dA dV

が成り立ちますから、これらを辺々加え、t について t₀ から t₁ まで積分すると、

(35-3)	ò	t1   dt t0	òV	ì í î (div D - r)dj + æ è J + ¶D —– ¶t - rot H ö ø · dA ü ý þ dV
				= d ò t1   dt t0 òV ì í î E · D ——– 2 - rj + J · A -  H · B ——– 2 ü ý þ dV + ò t1   dt t0 òV ¶ —–  ¶t (D · dA) dV
				= d ò t1   dt t0 òV ì í î  E · D - H · B —————— 2 + J · A - rj ü ý þ dV + òV dV ò t1 t0 ¶ —–  ¶t (D · dA) dt
				= d ò t1   dt t0 òV ì í î  E · D - H · B —————— 2 + J · A - rj ü ý þ dV + òV D · dA ½ ½ t1 t0 dV
				= d ò t1   dt t0 òV ì í î  E · D - H · B —————— 2 + J · A - rj ü ý þ dV

　ゆえに、dj と dA の任意性から、Maxwell方程式のうち (M1),(M2) は

(35-4)  d

ò

t1   dt t0

òV

ì í î

E · D - H · B —————— 2

+ J · A - rj

ü ý þ

dV = 0

と同値になります。

　次に、運動方程式 (33-49) を考えます。今度は、各粒子の質量密度 h 、電荷密度 r 、流速 v も未知のスカラー及びベクトル値関数と考えることにします。ただし、これらは全く自由に取るのではなく、電荷と質量に対する連続の式：

(35-5a)

¶r —– ¶t

+ div(rv) = 0

(35-5b)

¶h —– ¶t

+ div(hv) = 0

が成り立つという条件のもとで自由に変化させるものとします。
　さて、世界線 (33-45) のうち、これを t をパラメターとして表したとき s(t_o) = ξ となる s を s_ξ と表わすことにします。世界線を、t = t₀ , t₁ 及び V の境界で 0 となるような微小量 ds だけ任意に変化させたとき、方程式 (33-49) の両辺と ds の内積をとって [t₀ , t₁] ´ V で積分すれば、

(35-6)

ò

t1   dt t0

òV

r(E + v ´ B) · ds dV =

ò

t1   dt t0

òV

h

d —–  dt

(gv) · ds dV

　両辺の空間積分において、s に s_ξ を代入して積分変数を s から ξ に変換すると、「微分多様体」第15節 (15-12) 及び同第20節 (20-33) により

(35-7)

d —–  dt

(rdV|

s = sξ

) =

æ è

¶ —–  ¶t

+ Lv

ö ø

(rdV)

½ ½ ½

s = sξ

=

ì í î

¶r —– ¶t

+ div(rv)

ü ý þ

dV

½ ½ ½

s = sξ

　さて、世界線 s を変化させれば、(33-45) によって変化後の v が定義されます。ここでさらに、変化後の r を

(35-8)  r(t, sξ) =

ro(ξ) ————– |det ¶sξ /¶ξ|

で定義します。ただし r(t_o, ξ) を r^o(ξ) と書きました。s_ξ(t_o) = ξ ですから、これは

(35-9)  rdV|

s = sξ

= ro(ξ) dVξ

を意味します。ただし dV_ξ は ξ を変数とする体積要素です。(35-9) により (35-7) の左辺は 0 となるので、右辺も 0 となり、微小変化後の r と v は制約条件 (35-5a) を満たすことがわかります。h についても同様にして変化後の値を定義すれば

(35-10)  hdV|

s = sξ

= ho(ξ) dVξ

となり、制約条件 (35-5b) が成り立ちます。変化後の r , h をこのように定義すると、(35-9),(35-10) により (35-6) の rdV と hdV は共に t に依存しないので、これらは t に関する積分の外に出せて、

(35-11)

òV

ro(ξ) dVξ

ò

t1 t0

(E + v ´ B) · ds dt =

òV

ho(ξ) dVξ

ò

t1 t0

d —–  dt

(gv) · ds dt

となります。ところで「古典力学」第11節 (11-1)〜(11-10) により、

(35-12)

d —–  ds

(A · v - j) = E + v ´ B

が成り立ちますから、(35-11) の左辺は

(35-13)	òV	ro(ξ) dVξ	ò	t1 t0	(E + v ´ B) · ds dt	= òV ro(ξ) dVξ ò t1 t0 d —–  ds (A · v - j) · ds dt
						= òV ro(ξ) dVξ d ò t1 t0 (A · v - j) dt
						= d òV ro(ξ) dVξ ò t1 t0 (A · v - j) dt
						= d ò t1   dt t0 òV r(A · v - j) dV

と変形されます。また、部分積分により、

(35-14)

ò

t1 t0

d —–  dt

(gv) · ds dt = -

ò

t1 t0

gv ·

d —–  dt

ds dt = -

ò

t1 t0

gv · dv dt = c²d

ò

t1 t0

Ö———— |v|² 1 - —– c²

dt = c²d

ò

t1 t0

dt —– g

が成り立ちますから、(35-11) の右辺は

(35-15)	òV	ho(ξ) dVξ	ò	t1 t0	d —–  dt	(gv) · ds dt	= c² òV ho(ξ) dVξ d ò t1 t0 dt —– g
							= c²d òV ho(ξ) dVξ ò t1 t0 dt —– g
							= c²d ò t1   dt t0 òV h —– g dV
							= c²d ò t1   dt t0 òV ho dV

と変形されます。ゆえに、(35-11),(35-13),(35-15) により、(35-6) は

(35-16)  d

ò

t1   dt t0

òV

{ri(A · vi - j) - c²hoi} dV = 0

と同値になります。ただし、これらが第 i 粒子に対するものであることを明記するため、r , h_o , v には添字 i をつけました。(35-16) をすべての i に対して加えれば、

(35-17)  d

ò

t1   dt t0

òV

{J · A - rj - c²ho} dV = 0

となりますから、(35-4),(35-17) を併せれば、Maxwell方程式と各荷電粒子の運動方程式の両方を変分原理 d S = 0 で導くための作用積分 S は、

(35-18)  S =

ò

t1   dt t0

òV

L dV

で与えられることがわかります。ただし、

(35-19)  L =

E · D - H · B —————— 2

+ J · A - rj - c²ho

です。ところで (33-4),(33-15) により

(35-20)  ceoda ^ *da	= da ^ (ceo*da)
	= (B · dS + E · ds ^ dt) ^ (- D · dS + H · ds ^ dt)
	= dt ^ (E · ds) ^ (D · dS) + (B · dS) ^ (H · ds) ^ dt
	= (E · D - B · H) dt ^ dV

　また (33-1),(33-17) により

(35-21)  a( j ) = A · J - jr

ですから、

(35-22)  L dt ^ dV =

ceoda ^ *da ——————  2

+ {a( j ) - c²ho}dt ^ dV

が成り立ちます。