電磁気学

36．電磁場のHamiltonian

　本節では、電磁場のHamiltonianを構成してみましょう。V = R³ とすれば、電磁場の作用積分は、(35-18),(35-19) により、

(36-1) S = S_em + S_cp

と分けることができます。ただし

(36-2) S_em = 1
—–
2 ò t₁
dt
t₀ ò æ
è e_o|E|²- |B|²
——
m_o ~~- jr~~ ö
ø dV

(36-3) S_cp = ò t₁
dt
t₀ ò æ
è A · J - jr
—–
2 -c²h_o ö
ø dV ~~= å~~_i ò t₁
dt
t₀ ò æ
è r_iv_i· A - r_ij
——
2 -c²h_oi ö
ø dV

で、積分領域の明示がないものは全空間 R³ における積分を意味します。また、jr の積分を２つに分けたのは、後の変形の便宜によるものです。
　さて、LagrangianからHamiltonianを作るには、t の関数とその１階微分の汎関数を ]t₀ , t₁[ で積分したもの、という形に変形することが必要ですが、この目的のために、Coulombゲージ(第６節参照)を採用することにします。
　まず、スカラー・ポテンシャル j として、(6-24) を満たす解を一つ選んで固定しておきます。このような j のうち、無限遠で 0 となるものは一意的に定まって、

(36-4) j(t, s) = 1
——
4pe_o ò r(t, s')
———
r dV'

で与えられます。ただし、r = |s - s'| で、dV' は変数 s' に関する積分であることを表わします。また、ベクトル・ポテンシャルは制約条件 (6-28) が付されています。

　まず最初に S_cp の方を t の関数とその１階微分の汎関数を ]0, T [ で積分した形に変形します。それは前節の (35-13),(35-15) と同様で、

(36-5) S_cp= ò t₁

t₀ L_cp(t)dt æ
ç
è L_cp(t)~~= å~~_i ò L_i,ξ(t)c_i(ξ)dV_ξ ö
÷
ø

となります。ただし、r_i や h_i は (33-54) の形に書けるものと仮定し、

(36-6) L_i,ξ(t)= q_i ì
í
î A(t, s_i,ξ) · v_i(t, s_i,ξ)- j(t, s_i,ξ)
———–
2 ü
ý
þ ~~- m_ic²g_i,ξ^-1~~

(36-7) g_i,ξ~~^-1 =~~ Ö———————–
|v_i(t, s_i,ξ)|²
~~1 -~~ ————–
c²

と置きました。次に S_em を同様な形に変形するために、E を２成分に分けて、

(36-8) E = E_T + E_L

(36-9) E_T ~~= -~~ ¶A
—–
¶t

(36-10) E_L ~~= -~~ grad j

と置き、E_T を E の横波成分、E_L を E の縦波成分とよびます。

(36-11) e_o ò |E_L|²dV =e_o ò |grad j|²dV = ò div(j grad j)dV ~~- e~~_o ò ~~jDj dV =~~ ò jr dV ( ∵ (6-24) )

(36-12) ò E_T · E_LdV = ò ¶A
—–
¶t · grad j dV = ò div æ
è j ¶A
—–
¶t ö
ø dV - ò j ¶
—–
¶t div A dV ~~= 0~~ ( ∵ (6-28) )

ですから、(36-8),(36-12),(36-9),(36-11) により、(36-2) は

(36-13) S_em = 1
—–
2 ò t₁
dt
t₀ ò æ
è e_o|E_T|²~~+ e~~_o|E_L|² - |B|²
——
m_o ~~- jr~~ ö
ø dV = 1
—–
2 ò t₁
dt
t₀ ò æ
è e_o ½
½ ¶A
—–
¶t ½²
½ - |rot A|²
———
m_o ö
ø dV

となります。さて、ここで A を

(36-14) A(t, s) = ò e^{ik · s} A_k(t) d₃k æ
è d~~₃kº~~ dk¹dk²dk³
————
(2p)³ ö
ø

とFourier分解すれば、

(36-15) ¶A
—–
¶t = ò e^{ik · s} ·
A_k d₃k æ
è ·
A_k º dA_k
——
dt ö
ø

(36-16) rot A = ò grad e^{ik · s} ´ A_k d₃k = i ò e^{ik · s} k ´ A_k d₃k

(36-17) div A = ò grad e^{ik · s} · A_k d₃k = i ò e^{ik · s} k · A_k d₃k

が成り立ちますから、div A ~~= 0~~ と (36-17) をFourier変換することにより、

(36-18) k · A_k ~~= 0~~

がわかり、各 A_k は k に垂直な２個の自由度を持つことがわかります。また (36-18) から

(36-19) |k ´ A_k|² = k²|A_k|² ( k = |k| )

が導かれるので、(36-15),(36-16) とParsevalの等式(「偏微分方程式」第１節 (1-37) 参照 )により、

(36-20) ò ½
½ ¶A
—–
¶t ½²
½ dV = ò ·
|A_k|² d₃k

(36-21) ò |rot A|² dV = ò |k ´ A_k|²d~~₃k =~~ ò k²|A_k|²d₃k

　これらを (36-13) に代入して ~~1/m~~_o = c²e_o を用いると、

(36-22) S_em = ò t₁

t₀ L_em(t)dt æ
è L_em(t)= ò L_k(t)d₃k ö
ø

　ただし

(36-23) L_k(t)= e_o
—–
2 æ
è ·
|A_k|² - c²k²|A_k|² ö
ø

という表示が得られます。さて、A_k は k に直交しますから、これらと直交し、かつ互いに直交する独立な２成分の実部と虚部をそれぞれ A_k,n,R , A_k,n,I ( n ~~= 1~~, 2 ) として、

(36-24) A_k=
å
n=1,2 A_k,ne_k,n ( A_k,n = A_k,n,R + i A_k,n,I)

と書くことができます。これにより (36-23) は

(36-25) L_k(t)= e_o
—–
2
å
n=1,2
å
x=R,I æ
è ·
A_k,n,x² - c²k²A_k,n,x² ö
ø

となります。以上で荷電粒子及び電磁場のLagrangianを t の関数とその１階微分の汎関数を ]0, T [ で積分したものとして表わすことができました。

　以上の結果をもとにHamiltonianを求めてみましょう。まず s_i,ξ に共役な運動量を p_i,ξc_i(ξ) dV_ξ と書くことにすると、s_i,ξ の時間微分は L_i,ξ にしか含まれませんから、(36-6) により、

(36-26) p_i,ξ = ¶L_i,ξ
——
¶v_i,ξ = q_iA_i(t,s_i,ξ) + m_ig_i,ξv_i,ξ

　したがって

(36-27) m_i²g_i,ξ²c² - | p_i,ξ - q_iA_i(t, s_i,ξ)|² = m_i²g_i,ξ²c² æ
è ~~1 -~~ |v_i,ξ(t)|²
———
c² ö
ø =m_i²c²

　これは、両辺に c² を乗じて

(36-28a) E_i,ξ = m_ig_i,ξc²

(36-28b) p_i,ξ = m_ig_i,ξv_i,ξ = p_i,ξ - q_iA_i(t, s_i,ξ)

と置けば、

(36-29) E_i,ξ² - c²|p_i,ξ|² = (m_ic²)²

　あるいは

(36-30) E_i,ξ = c ___________
Öm_i²c²+ |p_i,ξ|² = c ______________________
Öm_i²c²+ | p_i,ξ - q_iA_i(t, s_i,ξ)|²

と書くことができます。

　次に、A_k,n,x ( n ~~= 1~~, 2 ; x = R,I ) に共役な運動量を Π_k,n,x d₃k と書くことにすると、A_k,n,x の時間微分は L_k にしか含まれませんから、(36-25) により、

(36-31) Π_k,n,x = ¶L_k
———
·
¶A_k,n,x =e_o ·
A_k,n,x ( n ~~= 1~~, 2 ; x = R, I )

　すなわち Π_k,n,x を各成分に持つベクトルを Π_k と書けば、

(36-32) Π_k =e_o ·
A_k

　以上により、電磁場と荷電粒子全体からなる系のHamiltonian H は、

(36-33) H = H_em + H_cp

　ただし
(36-34) H_em
º
å
n=1,2
å
x=R,I ò ·
A_k,n,xΠ_k,n,x d₃~~k -~~L_em

=e_o ò   ·
|A_k|² d₃k - ò L_k(t)d₃k      ( ∵ (36-32),(36-22) )

= e_o
—–
2 ò æ
è   ·
|A_k|² + c²k²|A_k|² ö
ø d₃k      ( ∵(36-23) )

= 1
——
2e_o ò æ
è |Π_k|²+ c²e_o²k²|A_k|² ö
ø d₃k      ( ∵(36-32) )

(36-35) H_cp
ºå_i ò v_i,ξ · p_i,ξ c_i(ξ)dV_ξ - L_cp

=å_i ò ì
í
î v_i,ξ · æ
è q_iA_i(t,s_i,ξ) + m_ig_i,ξv_i,ξ ö
ø -L_i,ξ ü
ý
þ c_i(ξ)dV_ξ      ( ∵ (36-26),(36-5) )

=å_i ò ì
í
î m_ig_i,ξ|v_i,ξ|² + m_ic²g_i,ξ~~^-1 +~~ q_ij(t, s_i,ξ)
————–
2 ü
ý
þ c_i(ξ)dV_ξ      ( ∵ (36-6) )

=å_i m_ic² ò g_i,ξ æ
è |v_i,ξ|²
——
c² ~~+ g~~_i,ξ^-2 ö
ø c_i(ξ) dV_ξ +U

=å_i m_ic² ò g_i,ξ c_i(ξ) dV_ξ +U      ( ∵ (36-7) )

=å_i ò E_i,ξc_i(ξ)dV_ξ + U      ( ∵ (36-28a) )

となります。ただし

(36-36) U
ºå_i q_i
—–
2 ò j(t, s_i,ξ)c_i(ξ)dV_ξ

=å_i 1
—–
2 ò j(t, s_i,ξ)r_i(t, s_i,ξ)dV_ξ

= 1
—–
2 ò jr dV

= 1
——
8pe_o òò rr'dV dV'
————–
r

=å_ij q_iq_j
——–
~~8pe~~_o òò c_i(ξ)c_j(ξ') dV_ξ dV_ξ'
————————
|s_i,ξ(t) - s_j,ξ'(t)|

です。なお、

(36-37) E_em
º H_em+ U

= e_o
—–
2 ò æ
è   ·
|A_k|² + c²k²|A_k|² ö
ø d₃k+ 1
—–
2 ò jr dV      ( ∵ (36-34),(36-36) )

= e_o
—–
2 ò æ
è |E_T|² + c² |B|² + |E_L|² ö
ø dV      ( ∵ (36-9),(36-20),(36-21),(36-11) )

= ò æ
è e_o|E|²
——–
2 + |B|²
——–
2m_o ö
ø dV      ( ∵ (36-8),(36-12) )

は電磁場のエネルギーに他なりません。(36-33),(36-35),(36-37) により

(36-38) H =å_i ò E_i,ξc_i(ξ)dV_ξ + E_em

　すなわち系全体のHamiltonianは、荷電粒子と電磁場のエネルギーの和に一致します。

　さて、Fourier分解 (36-14) における A_k を (36-24) のように成分に分けたときの e^{ik · s}A_k,ne_k,nd₃k (の実部)を、波数ベクトル k をもつ光子とよびます。以下、荷電粒子との相互作用がない光子を考えます。(36-3),(36-5) により、A は L_cp に

(36-39) ò A · J dV = ò A_k · J_k* d₃k=
å
n=1,2
å
x=R,I ò A_k,n,xJ_k,n,xd₃k

として含まれていますから、荷電粒子との相互作用がないための必要十分条件は、

(36-40) J_k,n,x ~~= 0~~ ( n ~~= 1~~, 2 ; x = R, I )

となります。このような光子については、A_k,n,x に対するLagrange方程式は、(36-25) により、

(36-41) ~~0 =~~ dL_k
———
dA_k,n,x º ¶L_k
———
¶A_k,n,x - d
—–
dt æ
ç
è ¶L_k
———
·
¶A_k,n,x ö
÷
ø ~~= -e~~_o( ··
A_k,n,x + c²k² A_k,n,x )

となりますが、これは調和振動子の方程式であり、その解は

(36-42) A_k,n = A^o_k,ne^±ickt

で与えられます。一方 A_-k,n も (36-41) と同じ方程式を満たすので、複号の一方は A_-k,n が担うことにすれば、一方(例えば負号)のみを考えれば十分です。すなわち

(36-43) A_k = A^o_ke^-ickt

が成り立っているものと仮定することができます。さらに計算の便のため、荷電粒子と相互作用のない光子がある範囲の k にわたって分布していると仮定すると、(36-37) により、その電磁エネルギーは、

(36-44) E_em = e_o
—–
2 ò æ
è ·
|A_k|² + c²k²|A_k|² ö
ø d₃~~k= e~~_oc² ò k²|A^o_k|²d₃k

　また電磁運動量は、Parsevalの等式により、

(36-45) p_em
=e_o ò E ´ B dV

~~= -e~~_o ò ¶A
—–
¶t ´ rot A dV

~~= -~~ie_o ò ·
A_k* ´ (k ´ A^o_k) d₃k      ( ∵ (36-15),(36-16) )

=e_oc ò k A^o_k* ´ (k ´ A^o_k) d₃k      ( ∵ (36-43) )

=e_oc ò k k |A^o_k|² d₃k      ( ∵ (36-18) )

　ここで、A^o_k' が、ある特定の k のみで値を持ち、その絶対値の２乗がデルタ関数の定数倍、すなわちある正定数 a によって

(36-46) e_ock' |A^o_k'|² ~~= ad~~(k' - k)

となっていると仮定すれば、(36-44),(36-45) により、特定の k に対する光子のエネルギー及び運動量は

(36-47a) E_em = ack

(36-47b) p_em = ak

となり、

(36-48) E_em = c|p_em|

という関係が成り立つことがわかります。これは、(36-29) で形式的に質量 m ~~= 0~~ と置いた形：

(36-49) E_em² - c²|p_em|² ~~= 0~~

をしており、その意味で、光子の質量はゼロである、ということができます。