電磁気学　演習

【問１】 Maxwell方程式
(1)	３次元空間の原点のまわりの任意の回転に対して不変なベクトル場 V の一般形を求め、この場が逆２乗則の場、すなわち位置ベクトルに平行で、原点からの距離の二乗に反比例する強さを持つための必要十分条件は、原点以外で div V = 0 となることであることを示せ。 　またこのとき | V | と 1 / r² の比を C と書き、V を原点の近傍で特異点を持たず、かつ絶対値が | V | を超えないように値を修正した場を V' と書けば、div V' は原点の近傍のみで 0 でない値を持ち、その全空間での積分は必ず一定値 4pC となり、従って空間全体では div V = 4pC d となっていることを示せ。
→ 答
(2)	スカラー場 r , r¢ とベクトル場 J , J' があり、r と J 及び r¢ と J' の間にはそれぞれ連続の式が成り立っているものとする。今、定常状態において、物質 A の点 s の近傍の微小部分 dV にある δr と δJ が、物質 B の点 s' の近傍の微小部分 dV' にある δr¢ と δJ' から、δr¢δr に比例する逆２乗則の力（比例定数は 1 / ( 4peo ) ）と δJ' · δJ に比例する逆２乗則の力（比例定数は - mo / ( 4p ) ）の力を受けるものとする。 　このとき、物質 A が物質 B から受ける力 F は ò ( rE + J ´ B ) dV の形に書け、しかも場 E と B は、第６節 (6-31) の形のCoulomb場とBiot-Savart場の形に書け、しかも Dj = - r¢ / eo と D A = - mo J' を満たすスカラー場 j とベクトル場 A により E = - grad j 及び B = rot A と書け、従って rot E = 0 と div B = 0 が成り立ち、更に D º eo E , H º B / mo と置けば、div D = r¢ と rot H = J' が成り立つことを示せ。
→ 答
(3)	前問 (2) の j と A を r¢ と J' によって表す式と、E , B , D , H の定義式が非定常な場合でも成り立つものと仮定すると、D と H は、Maxwell方程式 (M1) と (M2) を満たすことを示せ。 　この場合、定常な場合でなければ成り立たないはずの式を一部で用いたにもかかわらず、非定常な場合でも成り立つ (M1) が正しく導かれた理由を説明せよ。
→ 答
(4)	空間に、定常な電流密度を等速度 v で並進運動させて得られる電流密度 J が流れているものとする。このとき、速度 v で運動する試験電荷 q は場 E と B から F = q( E + v ´ B ) の力を受けること、J の作る磁場 B も J と同様にあるベクトル場を速度 v で並進運動させた場で与えられること、q は同じ速度 v で並進運動する J の作る場 E , B からは力を受けないこと、B はMaxwell方程式の (M4) を満たすこと、の４条件を仮定すると、J の作る場 E , B はMaxwell方程式の (M3) を満たさなければならないことを示せ。
→ 答

【問２】 解の一意性
(1)	電流密度が 0 の場合の真空中の電磁場のエネルギー保存則を E , B のみを用いて表せ。
→ 答
(2)	Poynting vectorの大きさは、電磁エネルギー密度に真空中の光速度を乗じた値を超えないことを示せ。
→ 答
(3)	電荷密度も電流密度も存在しない場合、与えられた正数 R に対し、原点を中心とする半径 R - ct の球における電磁エネルギーを UR(t) と書くとき、UR(t) を t で微分したものは 0 以下であることを示せ。
→ 答
(4)	時刻 t ³ 0 で電荷密度 r と電流密度 J が与えられ、時刻 t = 0 で初期条件 Eo , Bo が与えられたとき、これらのもとでMaxwell方程式を満たす電磁場 E , B は、存在すれば一意的に定まることを示せ。
→ 答

【問３】 ポテンシャル
(1)	１次元の波動方程式 ¶²u/¶x² = c-2 ¶²u/¶t² の一般解を、x º x + ct , h º x - ct と変数変換することにより求めよ。
→ 答
(2)	空間の原点を除く４次元時空で定義された、時刻 t と原点からの距離 r のみの関数 u º u(t, r) が、３次元の波動方程式 Du = c-2 ¶²u/¶t² を満たすとき、このような u の一般形を求めよ。
→ 答
(3)	前問 (2) の解を空間の原点を含む全４次元時空における関数とみなし、これにd'Alembertian D = c-2 ¶²/¶t² を施すとどうなるか。また、その結果を用いてd'Alembertianの基本解（すなわち Du - c-2 ¶²u/¶t² = - d(t, s) となる u ）を求め、遅延ポテンシャルが確かに非斉次のd'Alembert方程式 Du - c-2 ¶²u/¶t² = - f(t, s) の解になっていることを確かめよ。
→ 答
(4)	真空の電磁場 E と B が満たすMaxwell方程式から E のみに関する方程式と B のみに関する非斉次の波動方程式を求めよ。
→ 答
(5)	前問 (4) の方程式の遅延ポテンシャル解を考えることによって、Lorentzゲージを満たす電磁ポテンシャルが自然に得られることを示せ。
→ 答

【問４】 電荷と静電界
(1)	無限に長い直線状の導体に、単位長さ当たり q の電荷が分布しているとき、導体からの距離 d における電界の強さを求めよ。また、このときの電界を与えるスカラーポテンシャルを求めよ。
→ 答
(2)	点 a に q 、点 b に - Q （ただし q と Q は同符号）の点電荷があるとき、これらの作るスカラーポテンシャルの値が 0 となる面を求めよ。
→ 答
(3)	電位 0 に接地された無限に広い平面導体から距離 a のところに q の点電荷があるとき、電荷のある側の半空間におけるスカラーポテンシャルを求めよ。
→ 答
(4)	電位 0 に接地された半径 R の導体外部に、導体の中心から距離 a > R の所に q の点電荷があるときの導体外部のスカラーポテンシャルと、導体の中に空いた半径 R の球状の空洞内部に、空洞の中心から a < R の距離に q の点電荷ががあるときの空洞内部のスカラーポテンシャルをそれぞれ求めよ。
→ 答
(5)	距離 L で平行に置かれ、共に接地された２枚の無限に広い導体があり、その一方から距離 d < L のところに点電荷 q があるとき、両導体に挟まれた領域のスカラーポテンシャルを求めよ。
→ 答
(6)	空間にn個の半径それぞれ ri の導体球があり、第 i 番目と第 j 番目の導体の距離を Lij とし、ri は Lij に比して十分小さいものとする。この導体系の電位係数と静電容量を求めよ。
→ 答
(7)	n枚の、半径がそれぞれ内側から順に ri であるような薄い同心球殻状の導体群からなる導体系の電位係数と静電容量を求めよ。
→ 答
(8)	導体系において、その中の第 k 番目の導体が空洞を持ち、ちょうど i < k であるような導体群を内部に取り囲んでいるものとする。このとき電位係数について、i £ k £ j なら dij = dkj が成り立つことを示せ。
→ 答
(9)	半径 r と R の２個の球形の導体が中心間の距離 L > r + R で置かれているとき、両導体間の静電容量を求めよ。
→ 答

【問５】 電流と静磁界
(1)	無限に長い直線状の導体に電流 I が流れているとき、導体からの距離 d における磁界の強さを求めよ。また、このときの磁界を与えるベクトルポテンシャルを求めよ。
→ 答
(2)	電流 I が流れる一辺の長さ a の正方形の２つの回路が、それぞれの中心を通る軸に垂直に、間隔 l で平行に置かれている。この両回路間に働く力を求め、l が a に比べて十分大きいときの近似式を求めよ。
→ 答
(3)	半径 r 、間隔 d のコイルに電流 I が流れているとき、コイルの中心軸から距離 x 離れた点における磁界の強さを求め、コイルの単位長さ当たりを横切る電流 i º I/d の値を一定にしたまま d ® 0 としたときの極限について考察せよ。
→ 答
(4)	半径 r の無限に長い円柱の側面を、面に平行かつ円柱の軸に垂直な方向に一様な電流が流れている場合に生じる磁界の強さを求めよ。ただし、電流の強さは、軸に平行な線分の単位長さあたり i とする。またその答と前問 (3) との関係について述べよ。
→ 答
(5)	半径 a の円周に沿って半径 b < a の円を回転させてできるドーナツ状の領域 Ω に導線を一様かつ十分密に巻きつけたコイルが作る磁界の強さを求めよ。ただし電流の強さを I 、導線の巻き付き数を n とする。またドーナツ内部が一定の透磁率 m の磁性体である場合に、このコイルの自己インダクタンスを求めよ。
→ 答
(6)	前問 (5) のコイルを１次コイルとよぶことにし、このコイルに更に別の導線を一様かつ密に巻きつけ、これを２次コイルとよぶことにする。２次コイルの巻き付き数を n' とするとき、１次コイルと２次コイルからなる 2 ´ 2 = 4 とおりの組み合わせそれぞれに対するインダクタンスを求めよ。
→ 答

【問６】 超伝導体
(1)	平行な平面 Π , Π' に挟まれた厚さ d の超伝導体 Ω があり、その外部に Π に平行で一様な磁束密度 Bo がかかっているとき、Ω の内部における磁束密度を求めよ。
→ 答
(2)	一様な磁束密度 Bo がかかっている空間に、半径 R の超伝導体球 Ω を置いたときの Ω の外部の磁束密度を求めよ。ただし Ω の内部の磁束密度は完全に 0 になると仮定してよい。
→ 答
(3)	超伝導体 Ω の境界から距離が h 以上離れている点の全体を Ωh と書くとき、Londonの第１方程式 (11-25) は Ωh のみで、またLondonの第２方程式 (11-28) は Ω2h のみで成り立ち、そのかわり Ω2h において 1 、Ωh の外で 0 となる滑らかな非負関数を c とするとき、厚さ 2h の“表皮”部分 Ω \ Ω2h では B · rot (cJ ) £ 0 が成り立つことのみを要請するものとする。 　このとき、(B ´ J )c の ¶Ω における面積分を考えることにより、場が定常もしくは低周波領域では、Ω2h において B と J は完全に 0 になることを示せ。
→ 答

【問７】 電子回路
(1)
→ 答
(2)
→ 答

【問８】 誘電体と磁性体
(1)	強さ Eex の一様な電界の中に、半径 R 、誘電率 e の球状の誘電体を置いたとき、誘電体内部と外部の電界をそれぞれ求めよ。
→ 答
(2)	強さ Eex の一様な電界の中に、半径 R の球から半径 R' < R の同心球の空洞をくりぬいた形の誘電率を置いたとき、誘電体の空洞にできる電界は、与えられた外部電界に比例した一様電界であることを示せ。 　またこの比例定数は 1 より小さく、e ® ¥ の極限で 0 となることを確かめよ（誘電体による静電遮蔽）。
→ 答
(3)	誘電率 e1 の誘電体と誘電率 e2 の誘電体が平面で接しているとする。前者の内部に、境界面から距離 L のところに点電荷 Q があるときにできる電界を求めよ。
→ 答
(4)	厚さ d 、誘電率 e の無限に広い誘電体の板があり、この板の表面から L の距離に点電荷 Q があるとき、誘電体の反対側にできる電界を求め、e を大きくとれば、この電界はいくらでも小さくなることを示せ（誘電体による静電遮蔽）。
→ 答
(5)	前問で、誘電体の板で仕切られた一方の空間に任意の電荷分布がある場合についても静電遮蔽効果があることを確かめ、同様なことが磁性体の板で仕切られたときの電流の作る磁界についても成り立つことを示せ（磁性体による磁気遮蔽）。
→ 答
(6)	無限に広い平行板のコンデンサの両極に、単位面積あたりそれぞれ ± Q の電荷が蓄えられているとき、その内側が真空の場合と誘電率 e の誘電体で満たされている場合について E の大きさの比を求めよ。 　同様に、十分密に巻いた無限に長い円筒状のコイルに、筒の単位長さあたり I の電流が流れているとき、その内側が真空の場合と透磁率 m の磁性体で満たされている場合について B の大きさの比を求めよ。 　e > eo 及び m > mo である場合、荷電粒子や電流の受ける力の違いについて、電界の場合と磁界の場合の相違を述べよ。
→ 答
(7)	直方体が、そのある面に垂直に一様な磁化 M を持つときの磁荷を求めよ。また、この物体が別の面に垂直な方向に速度 v で運動しているとき、相対論的効果を考慮した場合に現れる分極 P と磁流を求めよ。
→ 答

【問９】 不均一媒体
(1)	時間的にも空間的にも変化するスカラーの誘電率 e 透磁率 m に対しても、第５節 (5-30) の運動量保存則を媒体に働く電磁力密度 f を含む形に拡張した式が成り立つためには、f がどのような形に表されることが必要十分か。
→ 答
(2)	更に、第５節 (5-5) が成り立つような任意の電磁界に対し、エネルギー保存則 (5-11) を媒体に働く電磁力密度 f と媒体の速度の場 v を含む形に拡張した式が成り立つための、誘電率 e と透磁率 m が満たすべき条件を求めよ。
→ 答

【問10】 常磁性と反磁性
(1)	一様な磁界 B の中に置かれ、自由に向きが変えられ、電荷分布を持たない電流 J が受ける力のモーメントを求め、これが一様な電界の中に置かれた双極子に働く力のモーメントと同じ形に表わせることを確かめよ。 　更に、J は、電流の大きさも形も変わらない剛体で、重心が不動であり、慣性モーメントはスカラーであると仮定するときのポテンシャル・エネルギーを求め、このような微小電流（例えば原子の束縛電子による電流）の磁気モーメントは、外部磁界と同じ方向を向こうとする性質（常磁性）を持つことを確かめよ。
→ 答
(2)	一様な磁界 B の中を走る電荷 q 、質量 m の荷電粒子（例えば金属の中の自由電子）の運動を求め、この荷電粒子により、与えられた磁界と反対向きの磁化（反磁性）が生じることを示せ。
→ 答
(3)	空間的に一様で時間的に変化する磁界 B の中に、B に垂直に固定された半径 r 、抵抗 R の円形の導体があるとき、この導体に流れる電流を求め、この電流に対する磁気モーメントと与えられた磁界との関係を求めよ。 　また、B が周期的に変化すると、この磁気モーメントはどう変化するか。
→ 答

【問11】 真空管
(1)	真空中に、間隔 l で２枚の無限に広い平面状の導体が平行に設置され、その一方（カソード）から電子が初速度 0 で面に垂直に他方（プレート）に向かって流れるとき、流れる単位面積あたりの電流 I と導体間の電位差 V の関係を求めよ。
→ 答
(2)	カソードとプレートの間に、両者を遮らない（例えば網状の）導体（グリッド）が存在するとき、カソードの表面電荷が Q であるという条件のもとで、カソード・グリッド間の電位差 VG（＝グリッド電圧）とカソード・プレート間の電位差 VP（＝プレート電圧）の関係を、電位係数を用いて表わせ。 　さらに、電流を一定にしたときのグリッド電圧の変化に対するプレート電圧の変化率の符号を変えたもの m を増幅率、プレート電圧を一定にしたときのグリッド電圧の変化に対する電流の変化率 gm を相互コンダクタンス、グリッド電圧を一定にしたときの電流の変化に対するプレート電圧の変化率 rP をプレート抵抗とよぶとき（真空管の三定数）、これらの間の関係を求めよ。
→ 答

【問12】 運動する誘電体
(1)	一様かつ一定の速度 v で流れる誘電率 e 、透磁率 m の媒体の中に、流れに抗して置かれた点電荷 q が作る電磁ポテンシャルを求めよ。
→ 答
(2)	静止した誘電率 e の誘電体における変動要素 eik·s - iwt を持つ平面電磁波の位相速度、光線速度、群速度をそれぞれ vp , vr , vg とするとき、この誘電体が速度 v で運動して見える座標から見た電磁波を求め、その位相速度、光線速度、群速度を vp , vr , vg , v で表わし、位相速度と光線速度の関係について考察せよ。 　特に、vp , vr , vg がそれぞれ - v に等しい場合どうなるか。
→ 答
(3)	静止した屈折率 n の誘電体から、これと平面で接し、その境界面に平行な速度で運動する静止時屈折率 n' の誘電体に平面波が進入するときの屈折について考察し、Snellの法則がこの場合にも成り立つことを示せ。 　また、n' = n の場合や、入射波が境界面に垂直な場合の屈折波はどうなるか。
→ 答

【問13】 レンズと焦点
(1)	一様な屈折率 n を持つ媒体 Ω と、一様な屈折率 n' を持つ媒体 Ω' が滑らかな面 S で接しているものとする。 　また、空間に２点 s , s' があり、各 xÎS に対し、s を端点に持ち x を通る半直線 l(x) も、s' を端点に持ち x を通る半直線 l'(x) も、いずれも x を境として、その一方の側がすべて Ω に含まれ、他方の側がすべて Ω' に含まれているものとする。 　次に、線分 s x が Ω の中にある場合は光がこの長さを進むのに要する時間を T(x) とし、Ω' の中にある場合は光がこの長さだけ Ω の中を進むのに要する時間を - T(x) とする。 　同様に、線分 s' x が Ω' の中にある場合は光がこの長さを進むのに要する時間を T '(x) とし、Ω の中にある場合は光がこの長さだけ Ω' の中を進むのに要する時間を - T '(x) とする。 　このとき、各 x に対して l(x)ÇΩ と l'(x)ÇΩ' の組が S で屈折して進む光線を表しているための条件は、T(x) + T '(x) が xÎS によらず一定値を取ることであることを示せ。
→ 答
(2)	境界面 S が半径 r の球面で、境界面の一点 so の十分近くの近傍を除いてシールドされていて、しかも s が S における so の法線の延長線の近くにある場合、s に対して (1) の性質を持つ点 s' が存在することを確かめ、s と s' の間に成り立つ関係式を求めよ。
→ 答
(3)	一様な屈折率を持つ空間に、片面が半径 R の球面、他方の面が半径 R' の球面からなる厚さの無視できる凸レンズがあり、レンズのまわりの空間の屈折率に対するレンズの屈折率の比を n とする。 　レンズの光軸（＝レンズの両面と垂直に交わる直線）を l とし、レンズの半径 R の面がある側の l に近いある点に点光源を置くとき、レンズの反対側の光軸の近くに光が集まる点（実像）ができることを確かめ、レンズの中心点から光源までの距離 f とレンズの中心点から実像までの距離 f ' の間に成り立つ関係を求めよ。またこのとき光源と実像の位置関係はどうなるか。 　更に、レンズが凹レンズの場合についても考察せよ。
→ 答

【問14】 虹の原理
(1)	真空中に屈折率 n を持つ半径 R の球があり、球の中心を通る直線 l に平行で、l との距離が r < R であるような光線が球に入射しているものとする。 　このとき、球に入射し、内側から球面で一回反射してから球の外に出る光線が、入射光線となす角 q を求めよ。
→ 答
(2)	上の球に、面密度が一様な平行光線が当たっているものとする。(1) で考えたような内側から一回反射したした反射光のみを考えることにすると、屈折率が 2 より小さければ、入射光線とある特定の角度 qn ( 0 < qn < p ) を持つ反射光が無限大の強度を持ち、しかも光の周波数によってその角度に差があり、周波数が大きいほど qn は小さいことを示せ。このことと水の屈折率が約 1.33 であることを用いて、虹ができる理由を説明せよ。
→ 答

【問15】 Rayleigh散乱
(1)
→ 答
(2)
→ 答
(3)
→ 答

【問16】 パラドクス
(1)
→ 答
(2)
→ 答
(3)
→ 答