問１ 答

( 1 )　原点のまわりの任意の回転に対して不変な V は、まずその大きさが原点からの距離 r のみの関数でなければなりませんから、ある関数 f により

(P1-1)  | V | =  f(r)

と書けることがわかります。また、V の向きが位置ベクトル r に平行でなければ、位置ベクトルに平行な軸の周りに回転させたとき不変にならないので、V は r に平行であることがわかります。従って V は一般に

(P1-2)  V =  f(r)

r —– r

º g(r)r

と書けることになります。ゆえにこの式の div を取れば、grad r = r / r ですから

(P1-3)  div V = div{g(r)r} = g(r) div r + r · grad g(r) = 3g(r) + g'(r)r · grad r = 3g(r) + r g'(r) =

3r²g(r) + r³g'(r) ——————– r²

=

1 — r²

d  — dr

{r³g(r)}

　ゆえに、原点以外で div V = 0 が成り立つことと r³g(r) が定数、すなわち

(P1-4)  V = g(r)r =

Cr —– r³

となることは同値です。(P1-4) は V の大きさが原点からの距離の二乗に反比例することを意味しています。

　原点を中心とする半径 R の球 Ω の中で滑らかな値を持ち、Ω の球の外で V と一致する任意のベクトル場を V' とすれば、有界な領域の外で 0 となる滑らかな任意のスカラー関数 g に対し、Ω の外で div V' = div V = 0 ですから、Gaussの定理により

(P1-5)

ò

g div V' dV =

òΩ

g div V' dV =

òΩ

div (gV' ) dV -

òΩ

V' · grad g dV

(P1-6)

òΩ

div (gV' ) dV =

ò¶Ω

gV' · dS =

òr=R

gV' · dS

=

òr=R

gV · dS

=

òr=R

g

Cr —– r³

· dS

=

CR —– R³

òr=R

g dS =

C —– R²

òr=R

g dS

　従って、特に g º 1 とすれば、grad g = 0 ですから

(P1-7)

ò

div V' dV =

C —– R²

òr=R

dS =

C —– R²

4pR² = 4pC

となって確かに一定値になります。また、| grad g | の最大値を M と書き、R ® 0 とすれば、

(P1-8)

òΩ

div (gV' ) dV

=

C —– R²

òr=R

g dS ® 4pCg(0)

(P1-9)

| | |

òΩ

V' · grad g dV

| | |

£

òΩ

| V' | | grad g | dV £

òΩ

| V | | grad g | dV £ MC

òΩ

dV —–  r²

= 4pMCR ® 0

　従って、(P1-5) から

(P1-10)

ò

g div V dV =

lim R ® 0

ò

g div V' dV = 4pCg(0)

となり、これは div V = 4pC d が成り立つことを意味しています。

( 2 )　物質 A が物質 B から受ける力は、

(P1-11)  F	= 1  ——  4peo òò rr'r —— r³ dVdV' -  mo —— 4p  òò (J · J')r ——— r³ dVdV'
	= ò r ì í î 1  ——  4peo ò r'r —— r³ dV' ü ý þ dV +  mo —— 4p  òò æ è J ´ J' ´ r ——— r³ ö ø dVdV' -  mo —— 4p  òò J'(J · r) ——— r³ dVdV'
	= ò r ì í î 1  ——  4peo ò r'r —— r³ dV' ü ý þ dV + ò J ´ ì í î  mo —— 4p  ò J' ´ r ——— r³ dV' ü ý þ dV -  mo —— 4p  ò J' ì í î ò J · r ——– r³ dV ü ý þ dV'

と変形されます。ここで、

(P1-12a)  E º

1  ——  4peo

ò

r'r —— r³

dV'

(P1-12b)  B º

mo —— 4p

ò

J' ´ r ——— r³

dV'

と置き、定常な場合の連続の式による

(P1-13)  0 =

¶r —–  ¶t

+ div J = div J

と部分積分を用いて得られる

(P1-14)

ò

J · r ——– r³

dV = -

ò

J · grad

1 —–  r

dV =

ò

1 —–  r

div J dV = 0

を使えば、(P1-11) は

(P1-15)  F =

ò

( rE + J ´ B ) dV

と書けることがわかります。また (P1-12) は、それぞれ

(P1-16a)  E = -

1  ——  4peo

ò

r' grad

1 —–  r

dV' = - grad

ì í î

1  ——  4peo

ò

r' —–  r

dV'

ü ý þ

(P1-16b)  B = -

mo —— 4p

ò

J' ´ grad

1 —–  r

dV' =

mo —— 4p

ò

rot

J' —–  r

dV' = rot

ì í î

mo —— 4p

ò

J' —–  r

dV'

ü ý þ

と書けます。ただし grad や rot の変数は s なので、これらの微分演算に対し、変数が s' である r¢ や J' は定数であることに注意します。ゆえに

(P1-17a)  j º

1  ——  4peo

ò

r' —–  r

dV'

(P1-17b)  A º

mo —— 4p

ò

J' —–  r

dV'

と置けば、E = - grad j , B = rot A と書け、従って rot E = - rot grad j = 0 及び div B = div rot A = 0 となり、しかも (P1-17) により

(P1-18a)  - Dj =

r¢  —–  eo

(P1-18b)  - D A = mo J'

となり、また定常な場合の連続の式による

(P1-19)  0 =

¶r¢ —–  ¶t

+ div' J' = div' J'

を使えば、

(P1-20)  div A =

mo —— 4p

ò

div

J' —–  r

dV' =

mo —— 4p

ò

J' · grad

1 —–  r

dV' = -

mo —— 4p

ò

J' · grad'

1 —–  r

dV' =

mo —— 4p

ò

1 —–  r

div' J' dV' = 0

が得られます。ただし div' や grad' は微分の変数が s' であることを意味し、最後の変形で部分積分を使いました。ゆえに

(P1-21a)  div D = eo div E = - eo div grad j = - eo Dj = r¢

(P1-21b)  rot H =

1  —–  mo

rot B =

1  —–  mo

rot rot A =

1  —–  mo

grad div A -

1  —–  mo

D A = J'

となります。

( 3 )　表示を簡単にするため、j_* º e_o j , A_* º A / m_o と置けば、(P1-17) は

(P1-22a)  j* =

1 —— 4p

ò

r' —–  r

dV' =

1 —— 4pr

* r¢

(P1-22b)  A* =

1 —– 4p

ò

J' —–  r

dV' =

1 —— 4pr

* J'

となり、(P1-18) は

(P1-23a)  - Dj* = r¢

(P1-23b)  - D A* = J'

となります。また、連続の式により

(P1-24)  div A* +

¶j* —–  ¶t

=

1 —— 4pr

* div J' +

1 —— 4pr

*

¶r¢ —–  ¶t

=

1 —— 4pr

*

æ è

div J' +

¶r¢ —–  ¶t

ö ø

= 0

　ゆえに H = rot A_* と D = - grad j_* と (P1-24) により

(P1-25a)  rot H -

¶D —– ¶t

= rot rot A* +

¶ —–  ¶t

grad j* = grad div A* - D A* + grad

¶j* —–  ¶t

= grad

æ è

div A* +

¶j* —–  ¶t

ö ø

- D A* = - D A*

(P1-25b)  div D = - div grad j* = - Dj*

となるので、これと (P1-23) により、確かにMaxwell方程式のうち (M1) と (M2) が得られます。

　ところで、正しい式では (P1-23) は

(P1-26a)  - £j* = r¢

(P1-26b)  - £ A* = J'

となり、D の定義も

(P1-27)  D = - grad j* -

1 —– c²

¶A* —–  ¶t

ですから、(P1-25) の左辺にそれぞれ

(P1-28a)  -

¶ —–  ¶t

æ è

-

1 —– c²

¶A* —–  ¶t

ö ø

=

1 —– c²

¶²A* ——  ¶t²

(P1-28b)  div

æ è

-

1 —– c²

¶A* —–  ¶t

ö ø

= -

1 —– c²

¶ —–  ¶t

div A*

=

1 —– c²

¶ —–  ¶t

¶j* —–  ¶t

=

1 —– c²

¶²j* ——  ¶t²

が加わるため、(P1-25) の右辺の - D A_* と - Dj_* がそれぞれ - £ A_* と - £j_* に置き換わるので、(P1-26) により、結果的に正しい答が得られたわけです。

( 4 )　観測点を速度 v で並進運動させた場合の時間微分を d/dt と書くと、

(P1-29)

d —–  dt

=

¶ —–  ¶t

+ v · Ñ

ですが、仮定により B はこの並進運動する観測点における時間変化がありませんから

(P1-30)  0 =

dB —– dt

=

¶B —– ¶t

+ (v · Ñ)B =

¶B —– ¶t

- Ñ ´ (v ´ B) + v (Ñ · B) =

¶B —– ¶t

- rot (v ´ B) + v div B

　一方、速度 v で並進運動する電荷 q が受ける力 F = q( E + v ´ B ) は仮定により 0 ですから、

(P1-31)  v ´ B = - E

となり、しかも仮定により B はMaxwell方程式の (M4) 、すなわち

(P1-32)   div B = 0

を満たすので、(P1-31) と (P1-32) を用いれば、(P1-30) は

(P1-33)  0 =

¶B —– ¶t

+ rot E

となり、これはMaxwell方程式の (M3) に他なりません。