問２ 答

( 1 )　J が 0 の場合のMaxwell方程式 (M1),(M3) から

(P2-1)  div (E ´ H)	= H · rot E - E · rot H
	= - H · ¶B —–  ¶t - E · ¶D —–  ¶t
	= -  1  —–  mo B · ¶B —–  ¶t - eo E · ¶E —–  ¶t
	= - ¶ —–  ¶t ì í î  | B |² ——  2mo + eo | E |² ———  2  ü ý þ

　従って、Poynting vector S と電磁エネルギー密度 u を

(P2-2)  S º E ´ H =

E ´ B ———  mo

(P2-3)  u º

| B |² ——  2mo

+

eo | E |² ———  2

で定義すれば、J が 0 の場合の真空中の電磁場に関するエネルギー保存則として

(P2-4)  div S +

¶u —– ¶t

= 0

が得られます。

( 2 )　1 / m_o = e_oc² と相加相乗平均の不等式により

(P2-5)  u =

| B |² ——  2mo

+

eo | E |² ———  2

= eo

| E |² + c² | B |² —————— 2

³ eo Ö| E |² c² | B |² = eo c | E | | B | =

| E | | B | ———– moc

³

| E ´ B | ———– moc

=

| S | —–  c

となるので

(P2-6)  | S | £ c u

が得られます。

( 3 )　まず (P2-6) により

(P2-7)  -

ò| s | = R - ct

S(t, s) · dS £

ò| s | = R - ct

| S(t, s) | dS £ c

ò| s | = R - ct

u(t, s) dS

が成り立ちます。一方 U_R(t) は

(P2-8)  UR(t) º

ò| s | £ R - ct

u(t, s) dV =

ò

R - ct       dr 0

ò

| s | = r

u(t, s) dS       (  0 £ t < R / c  )

と書くことができますから、これを t で微分すれば

(P2-9)	dUR(t) ———  dt	= d —–  dt ò R - ct       dr 0 ò | s | = r u(t, s) dS
		= ò R - ct       dr 0 ò | s | = r  ¶u(t, s) ———  ¶t dS + d(R - ct) ————  dt ò | s | = R - ct u(t, s) dS
		= - ò R - ct       dr 0 ò | s | = r div S(t, s) dS - c ò | s | = R - ct u(t, s) dS       (  ∵ (P2-4)  )
		= - ò | s | £ R - ct div S(t, s) dV - c ò | s | = R - ct u(t, s) dS
		= - ò | s | = R - ct S(t, s) · dS - c ò | s | = R - ct u(t, s) dS       (  ∵ Gaussの定理  )
		£ 0       (  ∵ (P2-7)  )

が成り立ちます。

( 4 )　今、E₁ , B₁ の組と E₂ , B₂ の組が、共に初期条件：

(P2-10a)  E |t=0 = Eo

(P2-10b)  B |t=0 = Bo

を満たす真空中のMaxwell方程式：

(P2-11a)

1  —–  mo

rot B = eo

¶E —–  ¶t

+ J

(P2-11b)  eo div E = r

(P2-11c)  rot E = -

¶B —–  ¶t

(P2-11d)  div B = 0

の解であったとします。このとき

(P2-12a)  E º E1 - E2

(P2-12b)  B º B1 - B2

と置くと、これらは r º 0 , J º 0 , E_o º 0 , B_o º 0 に対する初期値問題 (P2-10),(P2-11) の解になります：

(P2-13a)  E |t=0 = 0

(P2-13b)  B |t=0 = 0

(P2-14a)

1  —–  mo

rot B = eo

¶E —–  ¶t

(P2-14b)  div E = 0

(P2-14c)  rot E = -

¶B —–  ¶t

(P2-14d)  div B = 0

　さて、u の定義式 (P2-3) から明らかなように u ³ 0 であり、従って U_R(t) の定義式 (P2-8) から明らかなように

(P2-15)  UR(t) ³ 0       (  0 £ t < R / c  )

　一方、(P2-8),(P2-3),(P2-13) により

(P2-16)  UR(0) º

ò| s | £ R

ì í î

eo —–  2

| E |t=0 |² +

1  —–  2mo

| B |t=0 |²

ü ý þ

dV = 0

ですから、これと (P2-9) により

(P2-17)  UR(t) £ 0       (  0 £ t < R / c  )

となります。これと (P2-15) により

(P2-18)  UR(t) = 0       (  0 £ t < R / c  )

がわかりますが、u ³ 0 ですから

(P2-19)  u =

eo —–  2

| E |² +

1  —–  2mo

| B |² = 0

　すなわち 0 £ t < R / c と | s | < R - ct において

(P2-20a)  E = 0

(P2-20b)  B = 0

となることがわかります。
　ところで任意の t > 0 と s に対し、R を | s | + ct より大きく取れば、0 £ t < R / c と | s | < R - ct が共に成り立つので、(P2-20) により、E₁(t, s) = E₂(t, s) と B₁(t, s) = B₂(t, s) がわかり、初期値問題 (P2-10),(P2-12) の解の一意性が成り立つことがわかりました。