問３ 答

( 1 )　u º u(t, x) に関する１次元の波動方程式：

(P3-1)

¶²u —— ¶x²

-

1 —– c²

¶²u —— ¶t²

= 0

において、独立変数を、t と x から

(P3-2a)  x º x + ct

(P3-2b)  h º x - ct

で定義される変数の組 x と h に変換すると、

(P3-3a)

¶ —–  ¶x

=

¶x —–  ¶x

¶ —–  ¶x

+

¶h —–  ¶x

¶ —–  ¶h

=

¶ —–  ¶x

+

¶ —–  ¶h

(P3-3b)

1 —–  c

¶ —–  ¶t

=

1 —–  c

æ è

¶x —–  ¶t

¶ —–  ¶x

+

¶h —–  ¶t

¶ —–  ¶h

ö ø

=

1 —–  c

æ è

c

¶ —–  ¶x

- c

¶ —–  ¶h

ö ø

=

¶ —–  ¶x

-

¶ —–  ¶h

すなわち

(P3-4a)

¶ —–  ¶x

+

1 —–  c

¶ —–  ¶t

= 2

¶ —–  ¶x

(P3-4b)

¶ —–  ¶x

-

1 —–  c

¶ —–  ¶t

= 2

¶ —–  ¶h

ですから、

(P3-5)  4

¶² ——–  ¶x¶h

=

æ è

¶ —–  ¶x

+

1 —–  c

¶ —–  ¶t

ö ø

æ è

¶ —–  ¶x

-

1 —–  c

¶ —–  ¶t

ö ø

=

¶² —— ¶x²

-

1 —– c²

¶² —— ¶t²

となります。ゆえに、方程式 (P3-1) は

(P3-6)

¶²u ——–  ¶x¶h

= 0

と書くことができます。これは、関数 ¶u/¶h の x による微分が 0 だということですから、¶u/¶h は x について定数、すなわち h のみの関数であるということを意味します：

(P3-7)

¶u —– ¶h

= g(h)

　ただし g(h) は h の任意の関数です。そこで g の原始関数、すなわち微分すると g になる関数を G と書くと、(P3-7) は

(P3-8)

¶ —– ¶h

{u - G(h)} = 0

となり、関数 u - G(h) は、h で微分すると 0 となるので h を含まない x のみの関数であることがわかります：

(P3-9)  u - G(h) = F(x)

　ただし F(x) は x の任意の関数です。従って、波動方程式 (P3-1) の一般解 u は、２つの任意関数 F , G を含む

(P3-10)  u = F(x) + G(h) º F(x + ct) + G(x - ct)

という形で与えられることがわかります。

( 2 )　t と r のみの関数 u の Du を計算すると、

(P3-11)  Du	= div grad u
	= div æ è ¶u —– ¶r grad r ö ø
	= div æ è ¶u —– ¶r r — r ö ø
	= ¶u —– ¶r 1 — r div r + r · grad æ è ¶u —– ¶r 1 — r ö ø
	= ¶u —– ¶r 3 — r + r · grad r ¶ —–  ¶r æ è ¶u —– ¶r 1 — r ö ø
	= ¶u —– ¶r 3 — r + r · r — r æ è ¶²u —– ¶r² 1 — r + ¶u —– ¶r ¶ —–  ¶r 1 — r ö ø
	= ¶u —– ¶r 3 — r + r æ è ¶²u —– ¶r² 1 — r - ¶u —– ¶r 1 —  r² ö ø
	= ¶²u —– ¶r² + 2 — r ¶u —– ¶r
	= 1 — r æ è r ¶²u —– ¶r² + 2 ¶u —– ¶r ö ø
	= 1 — r ¶² —– ¶r² (r u)

ですから、u º u(t, r) に対する３次元の波動方程式は

(P3-12)  Du -

1 —– c²

¶²u —— ¶t²

º

1 —–  r

¶² —–  ¶r²

(r u) -

1 —– c²

¶²u —— ¶t²

= 0

となるので、この等式に r を乗じると

(P3-13)

¶² —–  ¶r²

(r u) -

1 —– c²

¶² —–  ¶t²

(r u) = 0

となり、これは１次元の波動方程式 (P3-1) の x と u をそれぞれ r と r u に置き換えた式に他なりませんから、前問 (1) の結果により、この方程式の一般解は、F と G を任意の関数として、

(P3-14)  r u = F(r + ct) + G(r - ct)

と書けることがわかります。従って両辺を r で割って、f(t) º F(ct) 及び g(t) º G(- ct) と置けば、一般解 u は

(P3-15)  u =

f(t + r/c) ————  r

+

g(t - r/c) ————  r

という形に書けることがわかります。このような解を球面波といいます。

( 3 )　前問 ( 2 ) の (P3-15) で与えられた u に対し、時刻 t を固定した上で、３次元空間内の有界な領域の外で 0 となる任意の関数 v º v(s) に対し、原点を中心とする半径 h の球 Ω を除く３次元空間においてGreenの定理：

(P3-16)

òR³ \ Ω

( uDv - vDu ) dV =

ò¶ (R³ \ Ω)

æ è

u

¶v —– ¶n

- v

¶u —– ¶n

ö ø

dS =

ò¶Ω

æ è

v

¶u —– ¶n

- u

¶v —– ¶n

ö ø

dS

を適用することにします。まずこの式の左辺は、R³ \ Ω において u が (P3-12) を満たすことから

(P3-17)

òR³ \ Ω

( uDv - vDu ) dV =

òR³ \ Ω

æ è

uDv -

v —– c²

¶²u —— ¶t²

ö ø

dV ®

òR³

æ è

uDv -

v —– c²

¶²u —— ¶t²

ö ø

dV       ( h ® 0 )

　また、¶Ω 上では、r = h ですから

(P3-18)  u =

f(t + h/c) + g(t - h/c) ————————— h

(P3-19)

¶u —– ¶n

=

¶u —– ¶h

=

f '(t + h/c) - g'(t - h/c) —————————– ch

-

f(t + h/c) + g(t - h/c) ————————— h²

となるので

(P3-20a)

ò¶Ω

v

¶u —– ¶n

dS =

òr=h

v

æ è

f '(t + h/c) - g'(t - h/c) —————————– ch

-

f(t + h/c) + g(t - h/c) ————————— h²

ö ø

dS ® - 4pv(0){ f(t) + g(t)}    ( h ® 0)

(P3-20b)

ò¶Ω

u

¶v —– ¶n

dS = -

òr=h

f(t + h/c) + g(t - h/c) ————————— h

¶v —– ¶n

dS = O(h) ® 0       ( h ® 0 )

となり、従って

(P3-21)

ò¶Ω

æ è

v

¶u —– ¶n

- u

¶v —– ¶n

ö ø

dS ® - 4pv(0){ f(t) + g(t)}       ( h ® 0)

　ゆえに (P3-16) で h ® 0 とすれば、(P3-17),(P3-21) により

(P3-22)

òR³

æ è

uDv -

v —– c²

¶²u —— ¶t²

ö ø

dV = - 4pv(0){ f(t) + g(t)}

となりますが、これは v の任意性により、超関数の意味で

(P3-23) Du -

1 —– c²

¶²u —— ¶t²

= - 4pd(s){ f(t) + g(t)}

が成り立つことを意味しています。ゆえにd'Alembertianの基本解は、(P3-15) で f(t) º d(t) / (4p) , g(t) º 0 と置いたときの

(P3-24a)  E+(t, s) º

d(t + r/c) ———— 4pr

と、(P3-15) で f(t) º 0 , g(t) º d(t) / (4p) と置いたときの

(P3-24b)  E-(t, s) º

d(t - r/c) ———— 4pr

で与えられます。ゆえに、非斉次の波動方程式：

(P3-25) Du -

1 —– c²

¶²u —— ¶t²

= - f(t, s)

は、f と基本解 (P3-24) との４次元時空における畳み込み：

(P3-26)  u º E± * f =

òR4

d(t - t' ± | s - s' | / c) ————————– 4p| s - s' |

f(t', s' ) dV'dt' =

òR³

f(t ± | s - s' | / c, s' ) ———————— 4p| s - s' |

dV' =

1 —– 4p

òR³

f(t ± r/c, s' ) —————  r

dV'

で与えられることがわかります。この複号が - の方の解が遅延ポテンシャルであり、複号が + の方の解を先進ポテンシャルといいます。

( 4 )　真空中のMaxwellの方程式：

(P3-27a)

1  —–  mo

rot B = eo

¶E —–  ¶t

+ J

(P3-27b)  eo div E = r

(P3-27c)  rot E = -

¶B —–  ¶t

(P3-27d)  div B = 0

において、(P3-27c) の両辺の回転を取ると、

(P3-28)  rot rot E = - rot

¶B —–  ¶t

　左辺を変形すれば、

(P3-29)  grad div E - DE = -

¶ —–  ¶t

rot B

　左辺に (P3-27b) を、右辺に (P3-27a) を使って変形すれば

(P3-30)

1  —–  eo

grad r - DE = - mo

¶ —–  ¶t

æ è

eo

¶E —–  ¶t

+ J

ö ø

となって、B を含まない E のみの方程式が得られました。

　次に (P3-27a) の両辺の回転を取ると、

(P3-31)

1  —–  mo

rot rot B = eo rot

¶E —–  ¶t

+ rot J

　両辺に m_o を掛けて、左辺を変形すれば、

(P3-32)  grad div B - DB = eo mo

¶ —–  ¶t

rot E + mo rot J

　これを更に (P3-27d),(P3-27c) を使って変形すれば

(P3-33)  - DB = - eo mo

¶ —–  ¶t

¶B —–  ¶t

+ mo rot J

となって、今度は E を含まない B のみの方程式が得られました。

　E のみの方程式 (P3-30) と B のみの方程式 (P3-33) は、e_o m_o = 1 / c² により、それぞれ

(P3-34a)  DE -

1 —– c²

¶²E —— ¶t²

=

1  —–  eo

grad r + mo

¶J —–  ¶t

(P3-34b)  DB -

1 —– c²

¶²B —— ¶t²

= - mo rot J

という形に変形することができます。

( 5 )　非斉次の波動方程式：

(P3-35)  Du -

1 —– c²

¶²u —— ¶t²

= - f

の遅延ポテンシャル解は、(P3-26) により

(P3-36)  u º E- * f

で与えられます。従って、(P3-34) の遅延ポテンシャル解は、

(P3-37a)  E = E- *

æ è

-

1  —–  eo

grad r - mo

¶J —–  ¶t

ö ø

= - grad

æ è

E- *

r  —–  eo

ö ø

-

¶ —–  ¶t

æ è

E- * mo J

ö ø

= - grad j -

¶A —– ¶t

(P3-37b)  B = E- *

æ è

mo rot J

ö ø

= rot

æ è

E- * mo J

ö ø

= rot A

と変形されます。ただし

(P3-38a)  j(t, s) º E- *

r  —–  eo

=

1  ——–  4peo

ò

r(t - r/c, s' ) —————–  r

dV

(P3-38b)  A(t, s) º E- * mo J =

mo ——  4p

ò

J(t - r/c, s' ) —————–  r

dV

です。また 1/(c²e_o ) = m_o と連続の式により

(P3-39)  div A +

1 —– c²

¶j —–  ¶t

= div

æ è

E- * mo J

ö ø

+

1 —– c²

¶ —–  ¶t

æ è

E- *

r  —–  eo

ö ø

= mo E- *

æ è

div J +

¶r —–  ¶t

ö ø

= 0

が成り立ち、これらは j と A が確かにLorentzゲージの電磁ポテンシャルになっていることを意味しています。