問４ 答

( 1 )　導体を z軸に取り、x² + y² = d² であるような点 (x, y, z) における電界を計算すると、

(P4-1)  E =

q  —— 4peo

ò

¥ -¥

(x, y, z-z)dz –——————– Ö{d² + (z-z)²}³

=

q  —— 4peo

ò

¥ -¥

(x, y, z)dz —————–  Ö(d² + z²)³

=

q  ——— 4peod²

ò

p/2 -p/2

(x, y, 0) cos q dq =

q  ——— 2peod²

(x, y, 0)

となります。ただし z成分は奇関数の積分なので 0 になることを用い、x成分とy成分は、積分変数を z から z = d tan q により q に変換しました。

　またスカラーポテンシャルは、例えば

(P4-2)  j = -

q  —— 2peo

log d

で与えられます。実際、

(P4-3)  - grad j =

q  —— 2peo

grad log d =

q  ——— 2peod

grad d =

q  ——— 2peod

(x, y, 0) ———–  d

= E

となるからです。なお、j を求めるのに、点電荷のスカラーポテンシャルを導線に沿って積分して求めようとしても、積分が収束しないことに注意します。

( 2 )　点 s におけるスカラーポテンシャルの値 j(s) は

(P4-4)  4peoj(s) =

q ——– |s - a|

-

Q ——– |s - b|

と書けますから、条件 j(s) = 0 は

(P4-5)

q ——– |s - a|

=

Q ——– |s - b|

と書け、分母を払えば、

(P4-6)  Q²|s - a|² = q²|s - b|²

　すなわち

(P4-7)  Q²(|s|² - 2a · s + a²) = q²(|s|² - 2b · s + b²)

　整理して

(P4-8)  (Q² - q²)|s|² - 2(Q²a - q²b) · s + (Q²a² - q²b²) = 0

　ここで Q = q のときは、

(P4-9)  2(a - b) · s - (a² - b²) = 0

となるので

(P4-10)  (a - b) ·

æ è

s -

a + b ——– 2

ö ø

= 0

すなわち a と b の中点を通り、a と b を結ぶ直線に垂直な平面を表わします。

　また Q ¹ q のときは

(P4-11)

½ ½

s -

Q²a - q²b ————– Q² - q²

½ ½

= R

という球面になります。ただし

(P4-12)  R² =

|Q²a - q²b|² ————— (Q² - q²)²

-

Q²a² - q²b² ————– Q² - q²

=

|Q²a - q²b|² - (Q² - q²)(Q²a² - q²b²) ——————————————– (Q² - q²)²

=

Q²q²|a - b|² ————— (Q² - q²)²

すなわち

(P4-13)  R =

Qq|a - b| ———— |Q² - q²|

です。

( 3 )　導体を取り払い、かわりに点電荷の導体面に対する面対称な位置に - q の点電荷を置けば、(2) の結果により、導体面のあった位置のスカラーポテンシャルが丁度 0 になります。ゆえにこのときのスカラーポテンシャルの当該半空間における値が求める解になります。

　座標で書けば、電荷 q の位置を原点、導体面はy-z平面に平行でそのx座標を a とすれば、仮想的な点電荷の位置ベクトルは (2a, 0, 0) ですから、求めるスカラーポテンシャルは

(P4-14)  j =

q  —— 4peo

ì í î

1 –—————– Öx² + y² + z²

-

1 –————————– Ö(x - 2a)² + y² + z²

ü ý þ

( x < a )

で与えられます。スカラーポテンシャルを求めるためのこのような方法を鏡像法といいます。

( 4 )　長さ a の位置ベクトル a に置かれた点電荷 q に対し、導体を取り払って、かわりに長さ b の位置ベクトル b に点電荷 Q を置いて、(2) の結果を用いて原点を中心とした半径 R の球面のスカラーポテンシャルが 0 になるようにします。

　球の中心の位置ベクトルが 0 という条件から、

(P4-15)  b =

Q²a —— q²

　これを (P4-13) に代入すれば、

(P4-16)  R =

Qa —–  q

　すなわち

(P4-17)  Q =

Rq —–  a

(P4-18)  b =

R²a —–  a²

と置けばよいことがわかります。このとき

(P4-19)  b =

R² —–  a

ですから、a > R なら b < R となり、a < R なら b > R となります。したがって、このときのスカラーポテンシャルのうち球の外部の部分（ a > R のとき ）、又は球の内部の部分（ a < R のとき ）が、求める解になります。

　座標で書けば、電荷 q の位置を (a, 0, 0) として

(P4-20)  j =

q  —— 4peo

ì í î

1 –————————  Ö(x - a)² + y² + z²

-

R/a –—————————– Ö(x - R²/a)² + y² + z²

ü ý þ

で与えられます。これも鏡像法の一つです。

( 5 )　導体の表面が y-z平面に平行になるように座標を取り、２枚の導体のx座標をそれぞれ 0 , L とし、点電荷の座標を (d, 0, 0) とします。

　まず、導体があたかも存在しないかのように考えたとき、右側の導体面でスカラーポテンシャルが 0 となるように、座標 (2L - d, 0, 0) に - q の仮想的な点電荷を置きます。

　次に、導体があたかも存在しないかのように考えたとき、左側の導体面でスカラーポテンシャルが 0 となるように、座標 (- d, 0, 0) と (-(2L - d), 0, 0) にそれぞれ - q と + q の仮想的な点電荷を置きます。これを以下同様に繰り返します。

　すなわち、x₀ = d , y₀ = 2L - d とし、(x_n , 0, 0) に置いた + q の電荷と ( y_n , 0, 0) に置いた - q の電荷による左の導体面上のポテンシャルをキャンセルするように、(- x_n , 0, 0) と (- y_n , 0, 0) にそれぞれ - q と + q の電荷を置き、これらが右の導体面上に作るポテンシャルをキャンセルするように (x_n+1 , 0, 0) と ( y_n+1 , 0, 0) にそれぞれ + q と - q の電荷を置きます。
　ただしここで x_n+1 と y_n+1 は、それぞれ - x_n , - y_n との平均値が L になるように、x_n+1 = 2L + x_n , y_n+1 = 2L + y_n と置きます。この漸化式を解けば、x_n = 2nL + d , y_n = 2(n + 1)L - d となりますから、これらの電荷及び仮想的な電荷の作るポテンシャルの総和として、j は次のようになります。

(P4-21)  j =

q  —— 4peo

¥ å n=0

ì í î

1 –————————— Ö(x-2nL-d)²+y²+z²

-

1 –————————— Ö(x+2nL+d)²+y²+z²

-

1 –———————————– Ö{x-2(n+1)L+d}²+y²+z²

+

1 –———————————– Ö{x+2(n+1)L-d}²+y²+z²

ü ý þ

　å の中の第１項と第２項の和、第３項と第４項の和は共に n^-2 のオーダーを持つので、右辺の無限和は収束し、これが求める解になります。

　このような手法を無限鏡像法といいます。

( 6 )　第 i 番目の導体に電荷 q_i ( i=1 ,¼, n ) があるとき、第 i 番目の導体表面におけるスカラーポテンシャル j_i は、近似的に

(P4-22)  ji =

qi ——–  4peori

+

å  j¹i

qj ——— 4peoLij

ですから、電位係数 d_ij は

(P4-23)  dij =	ì ï í ï î		1  ——–  4peori		(  j = i )
			1  ——— 4peoLij		(  j ¹ i )

で与えられます。ゆえに第23節 (23-13) により、第 i 番目と第 j 番目の導体間の静電容量 C_ij は

(P4-24)

1  —–  Cij

= dii - 2dij + djj =

1  ——  4peo

ì í î

1  —–  ri

-

2  —–  Lij

+

1  —–  rj

ü ý þ

で与えられます。

( 7 )　j を固定し、同心球殻の中心を原点とし、各点の原点からの距離を r と書き、次のような関数 j を考えます：

(P4-25)  j =	ì ï í ï î		q ——–  4peorj		(  r £ rj )
			q ——–  4peor		(  r > rj )

　このとき、半径 r の球面上で D = - e_o grad j を面積分すると、r > r_j のとき q 、r < r_j のとき 0 になるので、(P4-25) は、第 j 番目の導体のみ q の電荷を持ち、他の導体が電荷をもたない場合のスカラーポテンシャルであることがわかります。

　ゆえに電位係数 d_ij は

(P4-26)  dij =	ì ï í ï î		1  ——–  4peorj		(  i £ j )
			1  ——–  4peori		(  i > j )

で与えられます。ゆえに第23節 (23-13) により、第 i 番目と第 j 番目の導体間の静電容量 C_ij は

(P4-27)

1  —–  Cij

= dii - 2dij + djj =

1  ——  4peo

ì í î

1  —–  ri

-

2  ———–  rmax{i, j}

+

1  —–  rj

ü ý þ

=

1  ——  4peo

ì í î

1  ———–  rmin{i, j}

-

1  ———–  rmax{i, j}

ü ý þ

で与えられます。

( 8 )　関数 j - j_k は、第 k 番目の導体（以下導体 k と呼びます）の内側の境界上で 0 となる調和関数で、導体 k の内側と外側で分離されていますから、内側の関数は外側の関数の影響を受けません。
　従って特に、内側の j_i - j_k は外側の Q_j の影響を受けません。すなわち d_ij - d_kj = ¶(j_i - j_k)/¶Q_j = 0 となります。

　このような現象を静電遮蔽といいます。

( 9 )　まず、導体があたかも存在しないかのように考えたとき、半径 r の導体（以下導体１とよぶ）の表面の所が一定の電位 j となるように、導体１の中心に仮想的な点電荷 4pe_orj を置きます。

　次に x₀ = 0 , q₀ = 4pe_orj と置き、導体１の中心から半径 R の導体（以下導体２とよぶ）の中心に向かう線分の、距離 x_n のところに電荷 q_n を置き、導体２の中心から導体１の中心に向かう線分の、距離 y_n のところに電荷 - Q_n を置いて、電荷 q_n と - Q_n が導体２の表面の所に作るポテンシャルの和が 0 、電荷 - Q_n と q_n+1 が導体１の表面の所に作るポテンシャルの和が 0 となるように x_n , y_n , q_n , Q_n を決めていきます。
　問２ (4) の結果を用いると、

(P4-28)  yn =

R² ——–  L - xn

xn+1 =

r² ——–  L - yn

(P4-29)  Qn =

ynqn ——–  R

qn+1 =

xn+1Qn ———  r

という漸化式が得られます。(P4-28) を解くために、２次の列ベクトル X_n , Y_n を導入し、

(P4-30)  X0 =

æ è

0 1

ö ø

Yn =

æ è

0   R² -1  L

ö ø

Xn       Xn+1 =

æ è

0   r² -1  L

ö ø

Yn

を解き、X_n , Y_n それぞれに対し、その第１成分を第２成分で除したものを x_n , y_n と置けば、これが (P4-28) の解になることは明らかです。(P4-30) から Y_n を消去すると、

(P4-31)  Xn+1 =

æ è

0   r² -1  L

ö ø

æ è

0   R² -1  L

ö ø

Xn =

æ è

-r²   r²L -L  L²-R²

ö ø

Xn º

æ è

a  b c  d

ö ø

Xn º AXn

となって、行列 A の冪を計算することに帰着します。A の固有方程式：

(P4-32)  det(l - A) = (l - a)(l - d) - bc = l² - (a + d)l + (ad - bc) = 0

の解を a , b とすると、a + b = a + d = L² - r² - R² , ab = ad - bc = r²R² > 0 が成り立ち、a + b - 2Öab = L² - (r + R)² > 0 ですから、(a + b)²> 4ab なので、a , b は相異なる正の２実根です。
　さて、

(P4-33)

æ è

l-a   -b -c   l-d

ö ø

æ è

b l-a

ö ø

= 0       ( l = a, b )

すなわち

(P4-34)  A

æ è

b l-a

ö ø

= l

æ è

b l-a

ö ø

( l = a, b )

ですから、

(P4-35)  A

æ è

b      b   a-a  b-a

ö ø

=

æ è

b      b   a-a  b-a

ö ø

æ è

a  0 0  b

ö ø

すなわち

(P4-36)  A =

æ è

b      b   a-a  b-a

ö ø

æ è

a  0 0  b

ö ø

æ è

b      b   a-a  b-a

ö ø

-1

ですから

(P4-37)  An	= æ è    b      b   a-a  b-a ö ø æ è a  0 0  b ö ø n   æ è    b      b   a-a  b-a ö ø -1
	= 1 ——— b(b-a) æ è    b      b   a-a  b-a ö ø æ è an  0 0  bn ö ø æ è b-a  -b a-a   b ö ø
	= 1 ——— b(b-a) æ è     ban         bbn (a-a)an  (b-a)bn ö ø æ è b-a  -b a-a   b ö ø

　ゆえに

(P4-38)  Xn = AnX0 =

1 ——— b(b-a)

æ è

ban         bbn (a-a)an  (b-a)bn

ö ø

æ è

-b  b

ö ø

=

1 —— b-a

æ è

b(bn-an) (b-a)bn-(a-a)an

ö ø

=

1 —— b-a

æ è

r²L(bn-an) (b+r²)bn-(a+r²)an

ö ø

(P4-39)  Yn =

æ è

0   R² -1  L

ö ø

Xn =

1 —— b-a

æ è

0   R² -1  L

ö ø

æ è

r²L(bn-an) (b+r²)bn-(a+r²)an

ö ø

=

1 —— b-a

æ è

R²{(b+r²)bn-(a+r²)an} L(bn+1-an+1)

ö ø

　したがって

(P4-40)  xn =

r²L(bn-an) ———————– (b+r²)bn-(a+r²)an

(P4-41)  yn =

R²{(b+r²)bn-(a+r²)an} —————————– L(bn+1-an+1)

　一方、(P4-29) から Q_n を消去し、(P4-40),(P4-41) を使えば

(P4-42)  qn+1 =

xn+1 ynqn ————  rR

= rR qn

(b+r²)bn-(a+r²)an ————————— (b+r²)bn+1-(a+r²)an+1

　ゆえに

(P4-43)  qn = (rR)nq0

(b+r²)-(a+r²) ———————– (b+r²)bn-(a+r²)an

= 4peoj

r(rR)n(b-a) ———————– (b+r²)bn-(a+r²)an

　これと (P4-29),(P4-41) により

(P4-44)  Qn = 4peoj

(rR)n+1(b-a) —————– L(bn+1-an+1)

が得られます。ところで 0 £ x_n < r , 0 £ y_n < R ですから、これと (P4-28) により

(P4-45)  0 < yn <

R² ——–  L - r

0 < yn+1 <

r² ——–  L - R

　ゆえにこれと (P4-29) により

(P4-46)

qn+1 —— qn

=

xn+1 yn ———  rR

<

rR —————— (L - R)(L - r)

< 1

Qn+1 —— Qn

=

yn+1xn+1 ———  Rr

<

rR —————— (L - R)(L - r)

< 1

となるので、q_n , Q_n それぞれの総和は収束します。一方、各導体の電荷は D の導体表面での面積分で与えられ、その値は各導体内にある仮想点電荷の総和に等しいので、導体１の全電荷 q と導体２の全電荷 Q は

(P4-47a)  q =

¥ å n=0

qn = 4peorj

¥ å n=0

(b-a)(rR)n ———————– (b+r²)bn-(a+r²)an

(P4-47b)  Q =

¥ å n=0

Qn =

4peoj ———  L

¥ å n=1

(b-a)(rR)n ————– bn-an

で与えられます。一方、導体１表面上の電位は j , 導体２表面上の電位は 0 ですから、容量係数 c₁₁ と誘導係数 c₂₁ は、

(P4-48a)  c11 =

q — j

= 4peor

¥ å n=0

(b-a)(rR)n ———————– (b+r²)bn-(a+r²)an

(P4-48b)  c21 =

Q — j

=

4peo ——–  L

¥ å n=1

(b-a)(rR)n ————– bn-an

　導体１と導体２の役割を入れ替えて、a , b の組が役割を入れ替えても変わらないことに注意すれば、

(P4-48c)  c22 = 4peoR

¥ å n=0

(b-a)(rR)n ———————— (b+R²)bn-(a+R²)an

(P4-48d)  c12 =

4peo ——–  L

¥ å n=1

(b-a)(rR)n ————– bn-an

= c21

が得られるので、これらを第23節 (23-14) に代入すれば、静電容量が求まります。