問５ 答

( 1 )　導体を z軸に取り、x² + y² = d² であるような点 (x, y, z) における磁界を計算すると、

(P5-1)  H =

I —– 4p

ò

¥ -¥

(0, 0, dz) ´ (x, y, z-z) ——–——————–——  Ö{d² + (z-z)²}³

=

I —– 4p

ò

¥ -¥

(- y, x, 0)dz —————–– Ö(d² + z²)³

=

I —— 4pd²

ò

p/2 -p/2

(- y, x, 0) cos q dq =

I —— 2pd²

(- y, x, 0)

となります。ただし積分変数を z から z = d tan q により q に変換しました。

　またベクトルポテンシャルは、例えば

(P5-2)  A = -

moI log d ————  2p

(0, 0, 1)

で与えられます。実際、

(P5-3)  rot A = -

moI ——  2p

grad log d ´ (0, 0, 1) = -

moI ——–  2pd

grad d ´ (0, 0, 1) = -

moI ——–  2pd ²

(x, y, 0) ´ (0, 0, 1) = moH = B

となるからです。なお、A を求めるのに、線電流のベクトルポテンシャルを導線に沿って積分して求めようとしても、積分が収束しないことに注意します。

( 2 )　回路の頂点の座標の (x, y)-成分を (0, 0) , (a, 0) , (a, a) , (0, a) とし、両回路の z 成分を 0 及び l とします。このとき、両回路の平面 y = 0 に含まれる一辺同志の間に働く力 F₁ を (4-39a) を使って求めると、

(P5-4)  F1	= ± mo I ² ——–  4p  ò  a 0 ds ò  a 0 (t - s, 0, l ) dt ———————––  Ö{l² + (t - s)²}³
	= ± mo lI ²ez ———–  4p  ò  a 0 ds ò  a 0 dt ———————––  Ö{l² + (t - s)²}³
	= ± mo I ²ez ———–  4pl  ò  a 0 ds ò  a 0 d —–  dt t - s ——————–  Öl² + (t - s)²  dt
	= ± mo I ²ez ———–  4pl  ò  a 0 ds t - s ——————–  Öl² + (t - s)²  | | | | |  a t=0
	= ± mo I ²ez ———–  4pl  ò  a 0 d —–  ds   _________ Öl² + (t - s)²  ds   | | | | |  a t=0
	= ± mo I ²ez ———–  4pl    _________ Öl² + (t - s)²    | | | | |  a s=0 | | | | |  a t=0
	= ± mo I ²ez ———–  2pl      _____ ( Öl² + a² - l )
	= ± mo I ²ez ———–  2p  æ è Ö______  l² + a² ————  l    - 1 ö ø

で与えられます。ただし e_z は z-軸方向の単位ベクトルです。他の互いに近い方の平行な一辺同士に働く力も同様です。
　また、互いに遠い方の平行な一辺同士に働く力は F₂ は

(P5-5)  F2 = ±

mo I ² ——–  4p

ò

a 0

ds

ò

a 0

(t - s, a, l ) dt ——————————–  Ö{l² + a² + (t - s)²}³

= ±

mo I ² ——–  2p

(0, a, l )

æ è

Ö________  l² + 2a² ————–  l² + a²

-

1  –———– Öl² + a²

ö ø

　また、ねじれの関係にある辺同士は、辺の向きが互いに直交するので、積分は 0 となります。よって、両回路間に働く力は、y-軸方向の力もキャンセルして

(P5-6)  F = 4( F1 + F2 ) = ±

2mo I ²ez ————  p

æ è

Ö______  l² + a² ————  l

+

l –———– Öl² + a²

- l

Ö________  l² + 2a² ————–  l² + a²

- 1

ö ø

となります。特に l が a に比べて十分大きいときは、r = a²/l² と置いて、r についてTaylor展開すれば、

(P5-7)  F	= ± 2mo I ²ez ————  p  {(1 + r)½ + (1 + r)-½ - (1 + 2r)½(1 + r)-1 - 1}
	= ± 2mo I ²ez ————  p  ì í î 1 + r —– 2 - r² —– 8 + ¼ + 1 - r —– 2 + 3r² —— 8 - ¼ - æ è 1 + r - r² —– 2 + ¼ öæ øè 1 - r + r² - ¼ ö ø - 1 ü ý þ
	= ± 2mo I ²ez ————  p  æ è 3 —– 4 r² + ¼ ö ø
	» ± 3mo I ²a4ez ————–  2pl4

という距離の４乗に反比例する式が得られます。

( 3 )　コイルをパラメター表示して (x, h, z) = (r cos q , r sin q , (dq)/(2p) ) とします。このとき、点 (x, 0, 0) における磁界の強さは

(P5-8)  H	= I —– 4p ò ¥ -¥ d(r cos q , r sin q , (dq)/(2p) ) ´ (x - r cos q , - r sin q , - (dq)/(2p) ) ——–——————————————————————————————–  Ö{(x - r cos q)² + r²sin²q + (dq)²/(2p)²}³
	= I —– 4p ò ¥ -¥ (- r sin q , r cos q , d/(2p) ) ´ (x - r cos q , - r sin q , - (dq)/(2p) ) ——–—————–—————————————————–———————  Ö{x² + r² - 2rx cos q + (dq)²/(2p)²}³  dq
	= I —– 4p ò ¥ -¥ ( (sin q - q cos q)rd/(2p) , (x - r cos q - rq sin q)d/(2p) , r² - rx cos q ) ———–—————–—————————————————–————————  Ö{x² + r² - 2rx cos q + (dq)²/(2p)²}³  dq
	= ¥ å n=-¥ I —– 4p ò p -p ( (sinq - qcosq)rd/(2p) + nrdcosq , (x - rcosq - rqsinq)d/(2p) - nrdsinq , r² - rxcosq ) ———–————————–———————————————————–———————————  Ö{x² + r² - 2rx cos q + (nd + dq/(2p))²}³  dq

で与えられます。次に、i = I/d を一定にして d ® 0 とすると、n に対する和は積分になり、

(P5-9)  H ®

i —– 4p

ò

¥   dl -¥

ò

p -p

( rl cos q , - rl sin q , r² - rxcosq ) —————————————————— Ö(x² + r² - 2rx cos q + l²)³

dq

　ここで、右辺の x成分は、被積分関数が l の奇関数であり、y成分は、被積分関数が q の奇関数なので、共に消えます。また z成分は、

(P5-10)

ò

¥ -¥

dl —————–– Ö(C + l²)³

=

1 —–  C

ò

p/2 -p/2

cos f df =

2 —–  C

( l = ÖC tan f )

を利用して l に対する積分を先に行なえば、

(P5-11)  Hz	®  i —– 2p ò  p -p r² - rx cos q ———————– x² + r² - 2rx cos q dq
	=  i —– 4p ò  p -p 2r² - rx (eiq + e-iq ) ———————— (reiq - x)(re-iq - x) dq
	=  i —– 4p ì í î ò  p -p reiqdq ———– reiq - x + ò  p -p re-iqdq ———— re-iq - x ü ý þ
	=  i —– 2p ò  p -p reiqdq ———– reiq - x
	=  i —– 2pi ò|z| = r dz ——–  z - x

　ゆえにCauchyの積分公式により、x < r のとき H_z ® i 、x > r のとき H_z ® 0 、すなわちコイルの内部ではコイルの方向に平行かつ一様な磁界が発生し、コイルの外部では磁界が 0 となることがわかります。

( 4 )　x² + y² < r² においては (0, 0, i) 、x² + y² ³ r² においては 0 と定義したベクトル場を H とします。
　このようなベクトル場は、x > 0 で 1 、x < 0 で 0 と定義したHeaviside関数 H を使って

(P5-12)  H = H(r² - x² - y²) (0, 0, i)

と表すことができます。このベクトル場の回転（ rot ）を取ると、

(P5-13)  rot H	=  æ è ¶ —–  ¶y H(r² - x² - y²) i , - ¶ —–  ¶x H(r² - x² - y²) i , 0 ö ø
	=  æ è - 2yi H'(r² - x² - y²) , 2xi H'(r² - x² - y²) , 0 ö ø
	=  æ è - 2yi d(r² - x² - y²) , 2xi d(r² - x² - y²) , 0 ö ø

となり、これは、円柱の境界面 x² + y² = r² 以外では 0 になっています。また、各点 s º (x, y, z) において、s と z-軸を通る平面 Π 内の任意のベクトルは、(x, y, a) の形のベクトルの定数倍と表せますが、これと H の内積を計算すると、

(P5-14)  (x, y, a) · rot H = (x, y, a) ·

æ è

- 2yi d(r² - x² - y²)

,

2xi d(r² - x² - y²)

,

0

ö ø

= 0

となるので、rot H は、円柱の境界面上で平面 Π に垂直、すなわち円柱の側面に平行かつ円柱の軸に垂直な方向を向いていることがわかります。
　また、任意に R > r を取り、面 S º { (x, 0, z) | 0 < x < R , 0 < z < 1 } において

(P5-15)  rot H =

æ è

0

,

2xi d(r² - x²)

,

0

ö ø

=

æ è

0

,

2xi

d(r - x) ———– 2r

,

0

ö ø

=

æ è

0

,

i d(r - x)

,

0

ö ø

ですから、

(P5-16)

òS

rot H · dS =

æ è

0

,

òS

i d(r - x) dxdz

,

0

ö ø

= ( 0 , i , 0 )

　一方、m º m_o あるいはもっと一般に m º m(x, y) を z に依存しない任意のスカラーとすると、

(P5-17)  div (m H ) = div {m(x, y) H(r² - x² - y²) (0, 0, i)} =

¶ —–  ¶z

{m(x, y) H(r² - x² - y²) i} = 0

　従って、この H が与えられた電流によって生じる磁界の強さであることがわかります。
　この H は円柱の内部のみに存在し、しかも円柱の中心軸に平行で一様ですから、前問 ( 3 ) と同じ形になっています。これは、コイルの導線を密に巻きつければ円柱の境界を流れる一様な電流になるので、当然の結果といえます。

( 5 )　円筒座標 (r, q, z) を用いることにすると、ドーナツ状の領域 Ω は { (r, q, z) | (r - a)² + z² < b² } と表せます。

　そこで、

(P5-18)  H º H(b² - (r - a)² - z²)

æ è

0

,

nI —— 2pr

,

0

ö ø

と置きます。ここで「微分多様体」第29節 (29-47) により rot H を計算すれば、

(P5-19a)  rotr H =

1 — r

¶Hz —–  ¶q

-

¶Hq —–  ¶z

= -

¶ —–  ¶z

H(b² - (r - a)² - z²)

nI —— 2pr

=

nIz —— pr

d(b² - (r - a)² - z²)

(P5-19b)  rotq H =

¶Hr —–  ¶z

-

¶Hz —–  ¶r

= 0

(P5-19c)  rotz H =

1 — r

¶ —–  ¶r

( r Hq ) -

¶Hr —–  ¶q

=

1 — r

¶ —–  ¶r

H(b² - (r - a)² - z²)

nI —– 2p

= -

nI(r - a) ———– pr

d(b² - (r - a)² - z²)

となり、これは、Ω の境界面 (r - a)² + z² = b² 以外では 0 になっています。また、この ¶Ω に平行なベクトル (dr, dq, dz) は、方程式 0 = d{(r - a)² + z²} = 2(r - a)dr + 2zdz を満たすベクトルですから、¶Ω は、その各点でベクトル (r - a, 0, z) に垂直であることがわかりますが

(P5-20a)  (r - a, 0, z) · rot H = (r - a, 0, z) ·

æ è

nIz —— pr

d(b² - (r - a)² - z²)

,

0

,

-

nI(r - a) ———– pr

d(b² - (r - a)² - z²)

ö ø

= 0

となるので、rot H は、¶Ω 上で ¶Ω に平行であることがわかり、更に

(P5-20b)  (0, 1, 0) · rot H = (0, 1, 0) ·

æ è

nIz —— pr

d(b² - (r - a)² - z²)

,

0

,

-

nI(r - a) ———– pr

d(b² - (r - a)² - z²)

ö ø

= 0

ですから、rot H は Ω に巻き付いているコイルを構成する導線に平行であることがわかります。

　また、z-軸に中心を持ち、z-軸に直交する円板 S で、その周 C が Ω に含まれるものを任意に取ると、S は、¶Ω において n 本の導線と同じ方向に交わり、従って S を通る電流は nI ですが、

(P5-21)

òS

rot H dS =

òC

H · ds =

ò

2p 0

Hq r dq =

ò

2p 0

nI —— 2pr

r dq = nI

となっています。

　また、真空中の場合も、Ω 内が一様な透磁率の磁性体の場合も、いずれの場合も透磁率 m º m(r, z) は q に依存せず、従って m H_r = 0 , m H_z = 0 で、m H_q は q に依存しません。ゆえに 「微分多様体」第29節 (29-41) によって div (m H ) を計算すれば、

(P5-22)  div (m H ) =

1 — r

¶ —–  ¶r

( r m Hr ) +

1 —  r

¶(m Hq ) ———–  ¶q

+

¶(m Hz ) ———–  ¶z

=

1 —  r

¶(m Hq ) ———–  ¶q

= 0

　以上により、この H は、与えられた状況下におけるMaxwell方程式を満たし、従って与えられた電流によって生じる磁界の強さであることがわかります。

　次に、Ω に巻き付けた導線 Γ に沿った磁束 Φ を求めてみましょう。
　Ω の x-z 平面の x > 0 の部分による断面を Σ と書くと、Γ は ¶Σ を少しずつずらして n 個重ねたものとして表され、

(P5-23)  Σ = { (r, 0, z) | a - b < r < a + b , - Öb² – (a – r)² < z < Öb² – (a – r)² }

ですから、Φ_¶Σ = Φ_Σ と B = m H に注意すれば

(P5-24)  ΦΓ  = n ΦΣ = n

òΣ

m H · dS = nm

òΣ

Hq dS = nm

ò

a+b      dr a-b

ò

Öb²–(a–r)² - Öb²–(a–r)²

nI —— 2pr

dz =

n²m I ——– p

ò

a+b a-b

Öb² – (a – r)² —————– r

dr

　また

(P5-25)	ò	a+b a-b	Öb² – (a – r)² —————– r	dr	= ò  1 -1 b² Ö1 - t² ———— a + bt dt       (  r = a + bt  )
					= ò  p/2 -p/2 b² cos²f ————– a + b sin f df       (  t = sin f  )
					= ò  p/2 -p/2 b² - b² sin²f ————— a + b sin f df
					= ò  p/2 -p/2 æ è a² - b² sin²f ————— a + b sin f - a² - b² ————– a + b sin f ö ø df
					= ò  p/2 -p/2 (a - b sin f) df - (a² - b²) ò  p/2 0 æ è 1 ————– a + b sin f + 1 ————– a - b sin f ö ø df
					= (af + b cos f) | | |  p/2 -p/2 - 2a(a² - b²) ò  p/2 0 df ————— a² - b² sin² f
					= ap - 2a(a² - b²) ò p/2 0 sec² f df ———————— a² sec² f - b² tan² f
					= ap - 2a(a² - b²) ò ¥ 0 ds ———————– a² (1 + s²) - b² s²       (  s = tan f  )
					= ap - 2Öa² – b² ò ¥ 0 dx ——– 1 + x²       (  x = Öa² – b² s / a  )
					= ap - 2Öa² – b² p — 2
					= p(a - Öa² – b² )
					= pb² ————— a + Öa² – b²
					» pb² —— 2a       (  b << a  )

　ゆえに (P5-24),(P5-25) により

(P5-26)  ΦΓ  = L I

となります。ただし L は自己インダクタンスで

(P5-27)  L = m n²(a - Öa² – b² ) »

m n²b² ——– 2a

=

m n²pb² ——— 2pa

=

m n²S ——– l

(  b << a  )

で与えられます。ただし l はドーナツ Ω の周長 2pa を、S はドーナツ Ω の断面積 pb² を表します。

( 6 )　１次コイルを Γ 、２次コイルを Γ' と書き、１次コイルを流れる電流の強さを I 、２次コイルを流れる電流の強さを I' と書くと、磁界の強さの q 成分は、(P5-18) のかわりに

(P5-28)  Hq =

nI + n'I' ———– 2pr

となるので、(P5-24) のかわりに

(P5-29a)  ΦΓ  = n m

òΣ

Hq dS =

n m (nI + n'I' ) —————– p

ò

a+b a-b

Öb² – (a – r)² —————– r

dr

(P5-29b)  ΦΓ'  = n' m

òΣ

Hq dS =

n' m (nI + n'I' ) —————— p

ò

a+b a-b

Öb² – (a – r)² —————– r

dr

となるので、これらと (P5-25) により

(P5-30a)  ΦΓ  = L I + M I'

(P5-30b)  ΦΓ'  = M I + L' I'

と書けることがわかります。ただし L と L' は自己インダクタンス、M は相互インダクタンスで、それぞれ

(P5-31a)  L = m n²(a - Öa² – b² ) »

m n²S ——– l

(P5-31b)  L' = m n' ²(a - Öa² – b² ) »

m n' ²S ——– l

(P5-31c)  M = m nn' (a - Öa² – b² ) »

m nn' S ——— l

で与えられ、これらの間には

(P5-32)  L L' = M ²

の関係があることがわかります。