問６ 答

( 1 )　Ω の外部の磁束密度 B の向きを z-軸に取り、平面 Π を x-y 平面に取り、平面 Π' が平面 x = d となるように座標軸を定めます。
　ここで B は Ω の外部だけでなく内部でも z-成分しかなく、かつ x のみに依存するものとしてMaxwell方程式の (M3)：

(P6-1)  rot B = mo J

とLondon方程式：

(P6-2)  rot J = - l B

を解くことにします。まず座標軸のとり方と仮定により B = (0, 0, B(x)) ですから、(P6-1) から

(P6-3)  J =

1  —–  mo

rot (0, 0, B(x)) =

1  —–  mo

(0, - B'(x), 0)

　ゆえに

(P6-4)  rot J =

1  —–  mo

rot (0, - B'(x), 0) =

1  —–  mo

(0, 0, - B"(x))

　ゆえに (P6-4) と (P6-2) により、B(x) の満たすべき方程式として

(P6-5)  B"(x) = l mo B(x)

が得られ、その一般解は

(P6-6)  B(x) = aeax + be-ax       (  a² = l mo  )

で与えられ、B(x) が境界条件：

(P6-7)  B(0) = B(d) = Bo

を満たすことから係数 a と b を求めると、

(P6-8a)  a + b = Bo

(P6-8b)  aead + be-ad = Bo

　ゆえに (P6-8b) - e^-ad ´ (P6-8a) と e^ad ´ (P6-8a) - (P6-8b) を考えることにより

(P6-9a)  a =

Bo(1 - e-ad ) —————– 2 sinh (ad)

(P6-9b)  b =

Bo(ead - 1) ————— 2 sinh (ad)

　ゆえにこれらを (P6-6) に代入すれば

(P6-10)  B(x) =

Bo(eax - ea(x-d) + ea(d-x) - e-ax ) —————————————– 2 sinh (ad)

= Bo

sinh (ax) + sinh (a(d-x)) —————————— sinh (ad)

(  0 < x < d  )

という結果が得られます。従って、

(P6-11a)  Bx = 0

(P6-11b)  By = 0

(P6-11c)  Bz = Bo

sinh (ax) + sinh (a(d-x)) —————————— sinh (ad)

(  0 < x < d  )

(P6-12a)  Jx = 0

(P6-12b)  Jy =

aBo  ——  mo

cosh (a(d-x)) - cosh (ax) ——————————– sinh (ad)

(  0 < x < d  )

(P6-12c)  Jz = 0

となります。

( 2 )　ベクトル場 B を

(P6-13)  B = Bo + a grad div

Bo —–  r

(  r > R  )

で定義すると、

(P6-14)  div B = a div grad div

Bo —–  r

= a D div

Bo —–  r

= a div ( Bo D

1 —–  r

) = 0       (  r > R  )

(P6-15)  rot B = a rot grad div

Bo —–  r

= 0       (  r > R  )

ですから、あとは r = R の球表面 S において div B = 0 による境界条件 B // S すなわち

(P6-16)  B · r = 0       (  r = R  )

が成り立つように定数 a を定めればよいことがわかります。そこで、まず (P6-13) を変形すると、

(P6-17)  B	= Bo + a grad div  Bo —–  r
	= Bo + a grad ( Bo · grad 1 —–  r )
	= Bo - a grad Bo · r ———  r³
	= Bo - a grad ( Bo · r ) —————–  r³ - a ( Bo · r ) grad 1 —–  r³
	= Bo - a  Bo —–  r³ + 3a ( Bo · r )  r  —–  r5

　ゆえに

(P6-18)  B · r = ( Bo · r )

æ è

1 -

a —–  r³

+ 3a

r² —–  r5

ö ø

= ( Bo · r )

æ è

1 + 2

a —–  r³

ö ø

　これが r º | r | = R のとき 0 となるためには、

(P6-19)  a = -

R³ —– 2

と取ればよく、従って B は

(P6-20)  B = Bo -

R³ —– 2

grad div

Bo —–  r

= Bo +

R³ —– 2

Bo —–  r³

-

3R³ —– 2

( Bo · r )

r  —–  r5

(  r > R  )

となります。

( 3 )　B と J は周期関数：

(P6-21a)  B = Bw cos (wt)

(P6-21b)  J = Jw cos (wt)

であるものとして考えます（w = 0 の場合を考えれば、これは定常である場合を含みます）。
　c が Ω_h の外で 0 となることと (11-25) が Ω_h で成り立つことから、(11-25) に c / k を乗じて t で微分すれば

(P6-22)

c — k

¶²J —–  ¶t²

= c

¶E —– ¶t

が全空間で成り立ちます。ゆえに、これとMaxwell方程式 (M1) と (P6-21b) から

(P6-23)  c rot B = mc rot H = mc

æ è

J + e

¶E —– ¶t

ö ø

= mc

æ è

J +

e — k

¶²J —–  ¶t²

ö ø

=

æ è

m -

mew² —— k

ö ø

c J = m*c J

　ただし

(P6-24)  m* º m -

mew² —— k

= m -

w² —– kc²

です。ゆえに、¶Ω 上で c = 0 ですから、

(P6-25)  0	= ò ¶Ω (B ´ J )c · dS
	= ò Ω div (B ´ c J ) dV
	= ò Ω {c J · rot B - B · rot (cJ )} dV
	= ò Ω c J · rot B dV - ò Ω \ Ω2h B · rot (cJ ) dV - ò Ω2h B · rot J dV
	³ ò Ω c J · rot B dV - ò Ω2h B · rot J dV       (  ∵ B · rot (cJ ) £ 0   in   Ω2h  )
	= ò Ω m*c J · J dV + k ò Ω2h B · B dV       ( ∵ (P6-23), (11-28) )
	= m* ò Ω c | J |² dV + k ò Ω2h | B |² dV

　従って、w < cÖkm すなわち m_* > 0 なら

(P6-26)  0 ³ m*

ò

Ω

c | J |² dV + k

ò

Ω2h

| B|² dV ³ 0

となるので

(P6-27a)  B = 0     in   Ω2h

(P6-27b)  J = 0     in   Ω2h

となり、Ω_2h の内部では磁束密度 B も電流密度 J も共に完全に 0 になることがわかります。