問８ 答

( 1 )　原点に E_ex と平行な双極子 p があるときの電界 E_p は、

(P8-1)  Ep = - grad

p · r ——— 4peor³

= -

grad( p · r) ————– 4peor³

-

p · r ——– 4peo

grad

1 —  r³

= -

p  ——— 4peor³

+

3( p · r)r ———– 4peor5

=

- aEex + 3a(n · Eex)n ————————— 4peor³

となります。ただし p = aE_ex および n = r / r と置きました。
　そこで、誘電体を置いたことにより、誘電体外部の電界が E_ex から E_ex + E_p に変化し、誘電体内部に一様な電界 E_in = bE_ex が発生するものとして、境界条件により未知数 a , b を求めてみましょう。

　まず、球表面 r = R における D に対する境界条件 n · e_o(E_ex + E_p) = n · e E_in（第26節 (26-5b) 参照）により、

(P8-2)  eon · Eex +

- an · Eex+ 3an · Eex —————————  4pR³

= ben · Eex

　また、球表面 r = R における E に対する境界条件 n ´ (E_ex + E_p) = n ´ E_in（第26節 (26-10a) 参照）により、

(P8-3)  n ´ Eex -

an ´ Eex ———— 4peoR³

= bn ´ Eex

　したがって (P8-2),(P8-3) を共に満たすためには

(P8-4)  eo +

a ——– 2pR³

= be

(P8-5)  1 -

a  ——— 4peoR³

= b

が成り立つように a , b を選べばよいことがわかります。まず (P8-4) + 2e_o ´ (P8-5) を作れば

(P8-6)  3eo = b(e + 2eo )

　また、(P8-4) - e ´ (P8-5) を作れば

(P8-7)  eo - e +

a ——– 4pR³

æ è

2 +

e  — eo

ö ø

= 0

　ゆえに、(P8-7),(P8-6) を解けば、

(P8-8)

a  —— 4peo

= R³

e - eo ——— e + 2eo

(P8-9)  b =

3eo ——— e + 2eo

となるので、電界 E は、

(P8-10)  E =	ì ï ï í ï ï î	Eex +	e - eo ——— e + 2eo		R³ —– r³	{3(n · Eex )n - Eex }		( r > R )
		3eo Eex ———– e + 2eo						( r < R )

で与えられます。

( 2 )　誘電体外部（ r > R ）の電界が E_ex と

(P8-11)  Ep = - a grad

Eex · r ———– 4peor³

=

- aEex + 3a(n · Eex)n ————————— 4peor³

の和で与えられるものとし、誘電体部分（ R' < r < R ）の電界が E₁ = bE_ex と

(P8-12)  E2 = - c grad

Eex · r ———–  4per³

=

- cEex + 3c(n · Eex)n —————————  4per³

の和で与えられるものとし、導体内の空洞部における電界が E_in = dE_ex で与えられるとします。

　まず r = R における境界条件により

(P8-13)  eon · Eex +

- an · Eex+ 3an · Eex —————————  4pR³

= ben · Eex +

- cn · Eex+ 3cn · Eex —————————  4pR³

(P8-14)  n ´ Eex -

an ´ Eex ———— 4peoR³

= bn ´ Eex -

cn ´ Eex ————  4peR³

　すなわち

(P8-15)  eo +

a ——– 2pR³

= be +

c ——– 2pR³

(P8-16)  1 -

a  ——— 4peoR³

= b -

c ——– 4peR³

　また、r = R' における境界条件により

(P8-17)  ben · Eex +

- cn · Eex+ 3cn · Eex —————————  4pR' ³

= deon · Eex

(P8-18)  bn ´ Eex -

cn ´ Eex ————  4peR' ³

= dn ´ Eex

　すなわち

(P8-19)  be +

c ——– 2pR' ³

= deo

(P8-20)  b -

c ——— 4peR' ³

= d

　さて、(P8-19) + 2e ´ (P8-20) を作れば

(P8-21)  3be = d(eo + 2e)

　また、(P8-19) - e_o ´ (P8-20) を作れば

(P8-22)  b(e - eo) +

c ——– 4pR' ³

æ è

2 +

eo — e

ö ø

= 0

　ゆえに、

(P8-23)

c —— 4pe

= bR' ³

eo - e ——— eo + 2e

(P8-24)  d =

3be  ——— eo + 2e

　ここで (P8-23) を (P8-15),(P8-16) に代入すると、

(P8-25)  eo +

a ——– 2pR³

= be + 2be

R' ³ —– R³

eo - e ——— eo + 2e

(P8-26)  1 -

a  ——— 4peoR³

= b - b

R' ³ —– R³

eo - e ——— eo + 2e

　ゆえに (P8-25) + 2e_o ´ (P8-26) を作れば

(P8-27)  3eo = b(e + 2eo) - 2b

R' ³ —– R³

(eo - e)² ———– eo + 2e

=

b  ——— eo + 2e

ì í î

(e + 2eo)(eo + 2e) - 2

R' ³ —– R³

(eo - e)²

ü ý þ

　よって (P8-24) と (P8-27) により

(P8-28)  d = 9eeo

ì í î

(e + 2eo)(eo + 2e) - 2

R' ³ —– R³

(eo - e)²

ü ý þ

- 1

< 9eeo{(e + 2eo)(eo + 2e) - 2(eo - e)²}- 1 = 1

がわかり、E_in = dE_ex となります。また明らかに、e ® ¥ のとき d ® 0 となります。

( 3 )　境界面が y-z平面になり、y < 0 の部分が誘電率 e₁ の誘電体、y > 0 の部分が誘電率 e₂ の誘電体になり、点電荷の位置が (-L, 0, 0) となるように座標をとります。ここで a , b を未知数として

(P8-29)  E =	ì ï ï í ï ï î		(x + L, y, z)Q ———–—————————––  4pe1Ö{(x + L)² + y² + z²}³	+	(x - L, y, z)a ———–—————————––  4pe1Ö{(x - L)² + y² + z²}³	( x < 0 )
			(x + L, y, z)b ———–—————————––  4pe2Ö{(x + L)² + y² + z²}³			( x > 0 )

と置くと、境界面における境界条件 (25-10a) により、x = 0 と置いたときの E の y 成分と z 成分が一致することから

(P8-30)

Q + a  ——– e1

=

b  —– e2

　また、境界面における境界条件 (25-5b) により、x = 0 と置いたときの D の x 成分が一致することから

(P8-31)  Q - a = b

　ゆえに e₂(Q + a) = e₁(Q - a) すなわち (e₁ + e₂)a = (e₁ - e₂)Q ですから

(P8-32a)  a =

e1 - e2 ——— e1 + e2

Q

(P8-32b)  b =

2e2 ——— e1 + e2

Q

と置けばよいことがわかります。

( 4 )　誘電体が領域 0 < x < d で表わされ、点電荷の位置が (-L, 0, 0) となるように座標をとります。

(P8-33a)  Q0 =

2e  ——– e0 + e

Q

(P8-33b)  L0 = L

から出発して、一般に、L_n > 0 と Q_n および誘電体内部に電界

(P8-34)  E =

(x + Ln , y , z)Qn —————————————  4pe Ö{(x + Ln)² + y² + z²}³

が与えられたとき、( 3 ) によれば、境界 x = d において境界条件を満たすように、誘電体内に

(P8-35)  E' =

(x - ln , y , z)qn —————————————  4pe Ö{(x - ln )² + y² + z²}³

æ è

ln = Ln + 2d ,  qn =

e - e0 ——— e + e0

Qn

ö ø

の“反射”電界が生じ、誘電体の右側の半空間に

(P8-36)  E" =

(x + Ln , y , z)Qn ————————————— 4pe0Ö{(x + Ln)² + y² + z²}³

2e0 ——– e + e0

の“透過”電界が生じます。

　今度は誘電体内部に生じた電界 (P8-35) に対し、( 3 ) によれば、境界 x = 0 において境界条件を満たすように、誘電体内に

(P8-37)  E'" =

(x + Ln+1 , y , z)Qn+1 —————————————— 4pe Ö{(x + Ln+1)² + y² + z²}³

æ è

Ln+1 = ln ,  Qn+1 =

e - e0 ——— e + e0

qn

ö ø

の“反射”電界が生じ、誘電体の左側の半空間に

(P8-38)  E''" =

(x - ln , y , z)qn —————————————  4pe Ö{(x - ln )² + y² + z²}³

2e0 ——– e + e0

の“透過”電界が生じます。

　ゆえに、このプロセスを無限に繰り返せば、誘電体の右側の半空間に

(P8-39)  ER =

1  —— 4pe0

2e0 ——– e + e0

¥ å n=0

(x + Ln , y , z)Qn –—————————— Ö{(x + Ln)² + y² + z²}³

の電界が生じることになりますが、

(P8-40)  Ln = L + 2nd

(P8-41)  Qn =

æ è

e - e0 ——— e + e0

ö ø

n

2e  ——– e0 + e

Q

ですから、求める電界は、

(P8-42)  ER =

e Q ———— p(e + e0)²

¥ å n=0

æ è

e - e0 ——— e + e0

ö ø

n

(x + L + 2nd, y, z) –————————————–– Ö{(x + L + 2nd)² + y² + z²}³

となります。さて、任意の h > 0 に対し、自然数 N が存在して、すべての n > N と x > d , y , z に対し、

(P8-43)

|(x + L + 2nd, y, z)| –————————————–– Ö{(x + L + 2nd)² + y² + z²}³

=

1 —————————– (x + L + 2nd)² + y²+ z²

<

1 ——– 4N²d²

< h

となります。したがって、

(P8-44)  | ER |	£ e | Q | ———— p(e + e0)² N å n=0 |(x + L + 2nd, y, z)| –————————————–– Ö{(x + L + 2nd)² + y² + z²}³  + e | Q | ———— p(e + e0)² ¥ å n=N+1 æ è e - e0 ——— e + e0 ö ø n   h
	£ e | Q | ———— p(e + e0)² N å n=0 1 —————————– (x + L + 2nd)² + y² + z² + e | Q | ———— p(e + e0)² ¥ å n=0 æ è e - e0 ——— e + e0 ö ø n   h
	£ e | Q | ———— p(e + e0)² N + 1 ——— (d + L)² + e | Q | ———— p(e + e0)² e + e0 ——— 2e0 h

　ここで e ® ¥ とすると、(P8-44) の右辺第１項は 0 となり、第２項は ( | Q |h)/(2pe₀) となりますが、h は任意なので、(P8-44) の左辺は e ® ¥ のとき 0 に限りなく近づくことがわかります。

( 5 )　電荷分布を r とすると、(P8-42) に対応する式は、半空間 z < 0 を Ω と書いて

(P8-45)  ER =

e ———— p(e + e0)²

¥ å n=0

æ è

e - e0 ——— e + e0

ö ø

n

òòòΩ

(x - x + 2nd, y - h , z - z) r(x, h, z) ———————————————————–– Ö{(x - x + 2nd)² + ( y - h)² + (z - z)²}³

dxdhdz

となりますから、| r | の Ω における積分を Q と書けば、(P8-44) のかわりに

(P8-46)  | ER |

£

e Q ———— p(e + e0)²

N + 1 ——— d²

+

e Q ———— p(e + e0)²

e + e0 ——— 2e0

h

が言えて、これもやはり e ® ¥ のときに 0 に収束することがわかります。

　最後に磁界の場合を考えます。Ω における任意の電流分布 J に対し、Ω に台を持つベクトル場 M が存在して J = rot M となるので、r_m = - m₀ div M と置けば、rot (H - M) = 0 , div{m₀(H - M)} = r_m となります。
　そこで、前問において r を r_m に、e₀ を m₀ に、e を m に、E を H - M に置きかえれば、反対側の半空間では M = 0 ですから、E について成り立ったことは H についても成り立つことがわかります。

( 6 )　「微分多様体」第24節後段で定義した超関数 c_Ω , σ_S 及び s_S を使うことにします。

　まずコンデンサの方ですが、両極に挟まれたコンデンサ部分の領域を Ω と書き、±Q に帯電している電極を S ^± 、S ^- の外向き法線を n とすると、電束密度 D は、

(P8-47)  D = Q cΩ n

で表わされます。実際、grad c_Ω = - σ_¶Ω = - ns_¶Ω ですから

(P8-48)  div D = Q grad cΩ · n = - Qs¶Ω = QsS+ - QsS- = r

(P8-49)  rot D = Q grad cΩ ´ n = - Q n ´ ns¶Ω = 0

となるので、コンデンサが誘電体で満たされている場合は E = D/e 、真空の場合は E = D/e_o と置けば、これらは静電場のMaxwell方程式を満たすので、解になることがわかります。ゆえに真空の場合に対する誘電体で満たされた場合の電界の強さの比は e_o /e となり、e > e_o の場合、この比は 1 より小さくなります。

　次にコイルの方ですが、コイルの内部を Ω' と書き、コイルの円筒の軸の向きを e とすると、磁界の強さ H は、

(P8-50)  H = I cΩ' e

で表わされます。実際、grad c_Ω = - σ_¶Ω = - ns_¶Ω で、単位法線ベクトル n は e と直交しますから

(P8-51)  rot H = I grad cΩ' ´ e = I e ´ n s¶Ω = J

(P8-52)  div H = I grad cΩ' · e = - I n · e s¶Ω = 0

となるので、コイルが磁性体で満たされている場合は B = mH 、真空の場合は B = m_oH と置けば、これらは静磁場のMaxwell方程式を満たすので、解になることがわかります。ゆえ真空の場合に対する磁性体で満たされた場合の磁束密度の比は m/m_o となり、m > m_o の場合、この比は 1 より大きくなります。

　このように、D や H の強さは誘電体や磁性体の有無に依存しませんが、荷電粒子や電流に働く力は E や B の強さに比例するので、電界の場合は誘電体の存在が電磁力を弱めるように働き、磁界の場合は逆に磁性体の存在が電磁力を強めるように働くことになります（電磁石に強磁性体である鉄心を入れるのはこのためです）。

( 7 )　磁性体を Ω とし、Ω の境界面を S(i) ( i = ± 1, 2, 3 ) と書き、M に垂直な境界面のうち、外向き法線が M の向きが同じ方を i = + 1 、反対の方を i = - 1 とします。このとき、磁化ベクトルは c_Ω M ですから

(P8-53)  rm = - modiv (cΩ M) = - mo grad cΩ · M = mo

+3 å i=-3

σS(i) · M = moM(sS(+1) - sS(-1))

　すなわち面 S(±1) に面密度 ± m_oM の磁荷が生じていることがわかります。

　次に、磁性体が面 S(±2) に垂直に S(-2) から S(+2) の方向に、速度 v で運動している場合を考えます。観測系の座標を (t, s) 、磁性体に張り付いた座標を (t', s') とすれば、後者から見た前者の運動速度は - v であることに注意して 第34節 (34-31) のLorentz変換：

(P8-54)

æ è

t'

ö ø

=

æ è

g

-c- 2gv†

ö ø

æ è

t

ö ø

=

æ è

gt - gs · v

ö ø

s'

-gv

Γv

s

Γvs - gtv

を使って座標変換すれば、観測系から見た磁化 M' は、第34節 (34-62) で M が進行方向に垂直な成分しかないことに注意して、P を 0 とし、v のかわりに - v とした式により、

(P8-55)  M' = g cΩ(s') M = g cΩ(Γvs - gtv) M

となりますから、まず磁荷は

(P8-56)  rm = - modiv {g cΩ (s') M} = - mog grad cΩ (s') · M = mog

+3 å i=-3

{ΓvσS(i)(s')} · M = mogM{sS(+1)(s') - sS(-1)(s')}

となり、進行方向にLorentz収縮し、更に密度も g 倍されていること以外は静止している場合と同じです。また、磁化の時間変化により生じる磁流は、

(P8-57)  mo

¶ —– ¶t

{g cΩ(s') M} = - mog{v · grads' cΩ (s')}M = mog{v ·

+3 å i=-3

σS(i)(s')}M = mog v{sS(+2)(s') - sS(-2)(s')}M

　すなわち進行方向に垂直な面を、正面は磁化の方向に、背面は磁化と反対の方向に流れる磁流が現れます。
　一方、第34節 (34-63) で P を 0 とし、v のかわりに - v とした式により、観測系において、磁性体の運動による分極：

(P8-58)  P' = g

v —– c²

´ cΩ(s') M = geo mo cΩ(s') (v ´ M)

が生じます。
　一見すると、磁化を持つ物体が運動しただけで分極が発生するのは奇妙に思われますが、磁化の構成要素である微小電流を考えると、荷電粒子が進行方向と逆方向に動いている部分では、動いている電荷（電子）は速度が差し引きで遅くなるためLorentz収縮率が減少するので電荷密度が小さくなり、逆に物体に固定されている電荷（原子核）は速度を持つことによりLorentz収縮が起こって電荷密度が増加するため、この部分の電流は物体に固定された電荷の方が勝って（この場合はプラスに）帯電することになります。
　逆に、荷電粒子が進行方向と同方向に動いている部分については、動いている電荷の方が勝って（この場合はマイナスに）帯電します。これは各微小電流が分極することを意味します。

　さて、(P8-58) の分極による磁流は、

(P8-59)  -	1  —–  eo	rot P'	= - mog grad cΩ(s') ´ (v ´ M)
			= mog +3 å i=-3 σS(i)(s') ´ (v ´ M)
			= mog +3 å i=-3 {σS(i)(s') · M}v - mog +3 å i=-3 {v · σS(i)(s')}M
			= mogM{sS(+1)(s') - sS(-1)(s')}v - mog v{sS(+2)(s') - sS(-2)(s')}M

　ゆえに (P8-57) と (P8-59) を加えると、キャンセルする項が出て、求める磁流は

(P8-60)  Jm = mo

¶ —– ¶t

cΩ(s') M -

1  —–  eo

rot P' = mogM{sS(+1)(s') - sS(-1)(s')}v

となり、(P8-56) と (P8-60) を比較すれば、分極による磁流も考慮すると

(P8-61)  Jm = rm v

が成り立っていることがわかります。