問９ 答

( 1 )　一般に空間変数の関数であるようなスカラー場 a とベクトル場 V に対し、W º aV と置けば、第４節 (4-3) により

(P9-1)  div	V#W ——– 2	= div V#(aV ) ———— 2
		=  rot V ´ (aV ) + rot (aV ) ´ V + V div (aV ) + (aV ) div V ———————————————————————– 2
		=  rot V ´ (aV ) + (a rot V + grad a ´ V ) ´ V + V div (aV ) + V {div (aV ) - grad a · V } ——————————————————————————————————— 2
		= rot V ´ (aV ) + V div (aV ) + V ´ (V ´ grad a) - (V · grad a) V —————————————— 2
		= rot V ´ W + V div W -  V · V ——– 2 grad a

が成り立つので、T_e と T_m を第５節 (5-25) と同様に

(P9-2a)  Te º

E#D ——– 2

(P9-2b)  Tm º

H#B ——– 2

で定義して、これらの発散を取り、(P9-1) で a , V をそれぞれ e , E とし、Maxwell方程式を用いて変形すれば、

(P9-3a)  div Te	= rot E ´ D + E div D -  E · E ——– 2 grad e
	= - ¶B —– ¶t ´ D + rE -  E² —– 2 grad e

となります。また、(P9-1) で a , V をそれぞれ m , H とし、Maxwell方程式を用いて変形すれば、

(P9-3b)  div Tm	= rot H ´ B + H div B -  H · H ——– 2 grad m
	= ¶D —– ¶t ´ B + J ´ B -  H² —– 2 grad m

となります。そこで、

(P9-4)  T º Te + Tm

と置いて発散を取れば、

(P9-5)  div T	= div Te + div Tm
	= rE + J ´ B -  E² —– 2 grad e -  H² —– 2 grad m + ¶ —–  ¶t (D ´ B)
	= åi ri(E + vi ´ B) -  E² —– 2 grad e -  H² —– 2 grad m + ¶g —– ¶t
	= åi  fi -  E² —– 2 grad e -  H² —– 2 grad m + ¶g —– ¶t

　ゆえに、第５節 (5-30) の運動量保存則を、媒体に働く電磁力密度 f も含んだ形に拡張した式：

(P9-6)  div T = åi  fi +  f  +

¶g —– ¶t

が成り立つためには、

(P9-7)   f  = -

E² —– 2

grad e -

H² —– 2

grad m

が成り立つことが必要十分です。

　なお、T は対称テンソルなので、(P9-6) の左から s ´ を施して第４節 (4-7) を用いれば、第５節 (5-38) の角運動量保存則を、媒体に働く電磁力密度 f も含んだ形に拡張した式：

(P9-8)  div(s ´ T ) = åi s ´ fi + s ´ f  +

¶ —–  ¶t

(s ´ g)

が得られます。

( 2 )　電磁エネルギー密度 u を

(P9-9)  u =

E · D ——– 2

+

H · B ——– 2

=

D · D ——– 2e

+

B · B ——– 2m

と変形して時間微分を取れば、

(P9-10)	¶u —– ¶t	=  D —– e · ¶D —– ¶t +  B —– m · ¶B —– ¶t +  D · D ——– 2 ¶ —–  ¶t æ è 1 — e ö ø +  B · B ——– 2 ¶ —–  ¶t æ è 1 — m ö ø
		= E · (rot H - J ) - H · rot E - D² —— 2e² ¶e —–  ¶t - B² —— 2m² ¶m —–  ¶t           ( ∵ (M1), (M3) )
		= - div (E ´ H ) - J · E -  E² —– 2 ¶e —–  ¶t -  H² —– 2 ¶m —–  ¶t
		= - div S - åi vi · fi -  E² —– 2 ¶e —–  ¶t -  H² —– 2 ¶m —–  ¶t           ( ∵ 第５節 (5-10) )

　ゆえに、第５節 (5-11) のエネルギー保存則を、媒体に働く電磁力密度 f と媒体の運動速度 v も含んだ形に拡張した式：

(P9-11)  div S +

¶u —– ¶t

+

åi vi · fi + v · f = 0

が成り立つためには、

(P9-12)

E² —– 2

¶e —–  ¶t

+

H² —– 2

¶m —–  ¶t

= v · f  = v ·

æ è

-

E² —– 2

grad e -

H² —– 2

grad m

ö ø

が成り立つことが必要十分です（ただしここで (P9-7) を使いました）。これはまた

(P9-13)

E² —– 2

æ è

¶e —–  ¶t

+ v · grad e

ö ø

+

H² —– 2

æ è

¶m —–  ¶t

+ v · grad m

ö ø

= 0

と書くことができるので、これが任意の電場 E と磁場 H に対して成り立つためには

(P9-14a)

de —–  dt

º

¶e —–  ¶t

+ v · grad e = 0

(P9-14b)

dm —–  dt

º

¶m —–  ¶t

+ v · grad m = 0

すなわち誘電率と透磁率が媒体の運動に連動することが必要十分であることがわかります。