問10 答

( 1 )　r = 0 ですから連続の式により div J = 0 となるので、J = rot M となる台がコンパクトなベクトル場 M が存在します。この電流の受ける力のモーメント N_m は、M の台を含む領域 Ω をとり、積分範囲の Ω を省略すれば、

(P10-1)  Nm	= ò s ´ (J ´ B) dV
	= ò J(s · B) dV - ò B(s · J ) dV
	= ò (s · B) rot M dV - B ò s · rot M dV
	= ò rot {(s · B) M }dV - ò grad (s · B) ´ M dV + B ò div (s ´ M ) dV - B ò M · rot s dV
	= - ò¶S (s · B) M ´ dS - ò B ´ M dV + B ò¶S (s ´ M ) · dS
	= ò M ´ B dV
	= m ´ B

　ただし

(P10-2)  m =

ò

M dV =

1 — 2

ò

s ´ J dV

はこの円電流の作る磁気モーメントです。一方、一様な電界 E から分極電荷 r が受ける力のモーメント N_e は

(P10-3)  Ne =

ò

s ´ (rE) dV =

ò

rs dV ´ E = p ´ E

　ただし

(P10-4)  p =

ò

rs dV

はこの双極子が作る双極子モーメントです。(P10-1) は (P10-3) と同じ形をしています。

　次に、電流を剛体と仮定し、その慣性モーメントを I とします。m は、剛体上に固定された一点 s と定数 a により m = as と表わせますから、「古典力学」第４節 (4-35) により

(P10-5)

dm —–  dt

= a

ds —–  dt

= aω ´ s = ω ´ m

となるので、

(P10-6)

d —–  dt

Iω² —– 2

= ω ·

d —–  dt

(Iω) = ω · Nm = ω · (m ´ B) = (ω ´ m) · B =

dm —–  dt

· B =

d —–  dt

(m · B)

　すなわち電流の力学的エネルギー保存則として

(P10-7)

Iω² —– 2

- m · B = 一定

が得られますから、ポテンシャル・エネルギー U_m は

(P10-8)  Um = - m · B

となります。これは m が B と同じ向きのときに最小値を取って安定することを意味します。

　なお、双極子と電界についても、電荷が偏在する分子からなる流体については、同様なメカニズムにより電界と同じ向きの分極が生じます。この場合の双極子のポテンシャル・エネルギーは、(P10-8) と同様に

(P10-9)  Ue = - p · E

となります。

　なお、本問の常磁性は、（摩擦などにより）エネルギー最小が実現したあとの結果として成立するものですから、電磁場が激しく変化する高周波の電磁界の場合には適用できません。

( 2 )　B の向きを z-軸の正の向きに取り、荷電粒子の速度ベクトルを v = (x, h, z) とすると、荷電粒子の運動方程式は、

(P10-10)  m

dv —– dt

= qv ´ B

となり、これを成分ごとに書き下せば

(P10-11a)

dx —–  dt

= wh

(P10-11b)

dh —–  dt

= - wx

(P10-11c)

dz —–  dt

= 0

　ただし

(P10-12)  w =

qB —–  m

です。(P10-11a),(P10-11b) はまとめて

(P10-13)

d —–  dt

(x - hi) = iw(x - hi)

と書けるので、その一般解は、ある実定数 C と t により

(P10-14)  (x - hi) = Ceiw (t - t)

　したがって、ある定数 b により

(P10-15a)  x = C cos w(t - t)

(P10-15b)  h = - C sin w(t - t)

(P10-15c)  z = b

と書けます。ゆえに、荷電粒子の位置ベクトルは、原点を適当に選ぶことにより

(P10-16a)  x = a sin w(t - t)

(P10-16b)  y = a cos w(t - t)

(P10-16c)  z = bt

となります。これは、【問４】の (3) により、時間平均を考えれば、z-軸のまわりの半径 |a| の円筒状のコイルに流れる電流と同じ効果を持ち、近似的に、この円筒内に、z-軸の負の方向の一様な磁界が発生します。この磁界の強さを M と書けば、rot M = J となり、磁化 M が生じたのと同じ効果をもたらします。

( 3 )　B の向きを z-軸の正の向きに取り、導体の中心を原点にとると、電磁誘導の法則により

(P10-17)  pr²

dB —–  dt

=

dΦ —–  dt

= - V = - RI

　この電流の作る磁気モーメント m は、

(P10-18)  m =

I — 2

ò

s ´ ds = (0, 0, pr²I )

　ゆえに

(P10-19)  m = -

p²r4 ——  R

dB —–  dt

という関係があることがわかります。特に B が周期的に

(P10-20)  B = Bo cos (wt)

と変化する場合を考えると、

(P10-21)  m =

p²r4w ——–  R

Bo sin (wt)

という位相のずれた変化をし、常磁性と反磁性が混じった性質を持つことがわかります。