問11 答

( 1 )　カソードを y-z平面にとり、そのx座標を 0 、プレートのx座標を l とします。また、単位面積あたりのx-軸方向の電子の個数密度を c ³ 0 、電荷を - e 、質量を m とし、x-軸方向の電子の速度を v 、x-軸の逆向きに計った電界の強さを E とすると、r = - ec と h = mc を使えば、

(P11-1)  eoE' = - div D = - r = ec

(P11-2)  e(cv)' = - div(rv) = - div J = 0

(P11-3)  ecE = rE = f = ¶i(hvvi) = (hv²)' = m(cv²)' = mcvv'

となります。(P11-2) により

(P11-4)  ecv º I > 0

　ただし I はx-軸の逆方向に流れる単位面積あたりの電流で、定数です。ゆえに (P11-3) に (P11-4) を代入すると

(P11-5)  ecE =  mIv'
——
e

　この両辺に v/I を乗じて (P11-4) を用いると

(P11-6)  E =  mvv'
——
e

　一方、(P11-5) の左辺に (P11-1) を代入すれば

(P11-7)  eoEE' =  mIv'
——
e

すなわち

(P11-8)  {eeoE ² - 2mIv}' = 0

　ゆえに

(P11-9)  eeoE ² = 2mIv + a

　　さて、x = 0 における境界条件として v = 0 を仮定すると、v' があまり強い特異性を持たなければ (P11-6) により E = 0 となるはずですから、これを (P11-9) に代入すると a = 0 がわかります：

(P11-10)  eeoE ² = 2mIv

　これと (P11-1) を辺々乗じれば、

(P11-11)  eeo²E'E ² = 2mIvec = 2mI ²

　ただし２番目の等号で (P11-4) を使いました。両辺を3倍して x について積分すれば、

(P11-12)  eeo²E ³ = 6mI ²(x - xo)

　ここで x = 0 と置けば v も E も 0 となることから、xo = 0 がわかります。すなわち

(P11-13)  E = k1/3 I 2/3 x 1/3       ( 0 < x < l )

　ただし

(P11-14)  k = 6m
——
eeo²

です。ゆえに (P11-13) を x について 0 から l まで積分すれば、

(P11-15)  V = ò l

0		 Edx = k1/3 I 2/3 ò l

0		 x1/3 dx = 3
—–
4		 k1/3 I 2/3 l 4/3

　両辺を3/2乗して移項すれば、

(P11-16)  I = GV 3/2

という3/2乗則が得られます。ただし G はパービアンスとよばれる定数で、

 
(P11-17)  G =		  
8
———
3Ö3k l ²		  
=		 __
4Ö2eeo
———
9Öm l ²

で与えられます。

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( 2 )　カソードの電位を 0 とすると、プレートの電位は VP 、グリッドの電位は - VG ですから、電位係数 cP と cG により

(P11-18)  Q = cPVP + cGVG

となります。Gaussの定理により、Q と電流が流れ出す前のカソード付近の電界の強さ E の間には、カソードの面積を S として 2ES = Q の関係があり、カソードから流れ出す電流 I は、近似的にはこの E によって定まると考えられますから、I は、E の、従って Q の関数で与えられます：

(P11-19)  I = f(Q) = f(cPVP + cGVG)

　ゆえに I を一定にして微分すれば、

(P11-20)  0 = d f(cPVP + cGVG) = f'(cPVP + cGVG){cPdVP + cGdVG}

　ゆえに、増幅率は、電位係数を用いて

(P11-21)  m = - æ
è		 VP
——
VG		 ö
ø

I		 = cG
—–
cP

と表わされます。また、相互コンダクタンスは

(P11-22)  gm = æ
è		 I 
——
VG		 ö
ø

VP

　プレート抵抗は

(P11-23)  rP = æ
è		 VP
——
I 		 ö
ø

VG

ですから、３個の従属変数に関する公式（「熱・統計力学」第２節 (2-30) 参照）：

(P11-24)  æ
è		 VP
——
VG		 ö
ø		 I æ
è		 VG
——
VP		 ö
ø		 I = 1

及び公式（「熱・統計力学」第２節 (2-34) 参照）：

(P11-25)  æ
è		 VG
——
VP		 ö
ø		 I æ
è		 I 
——
VG		 ö
ø

VP		 æ
è		 VP
——
I 		 ö
ø

VG		 = - 1

により、

(P11-26)  - 1
—
m		 gm rP = - 1

すなわち

(P11-26)  gm rP = m

という関係があることがわかります。

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