問12 答

( 1 )　物質に固定された座標を (t', x', y', z' ) 、荷電粒子に固定された座標を (t, x, y, z) とすれば、g_o = 1 / Ö________
1 - v²/c² と置いて

(P12-1)	ì ï ï ï ï í ï ï ï ï î	t = go	æ ç è	t' +	vx' —– c²	ö ÷ ø
		x = go(x' + vt' )
		y = y'
		z = z'

となります。

　さて、物質に固定された座標におけるポテンシャルを j' , A' と書くことにします。
　v < c' º 1/Öem のときは、g = 1 / Ö———— 
1 - emv² と置き、第７節 (7-26) を用い、v の向きが逆であることに注意すれば、

(P12-2a)  j' =

q —— 4pe

1 –————————————– Ö( y' ² + z' ²)/g² + (vt' + x' )²

=

q —— 4pe

1  –—————————– Öx²/go² + ( y² + z²)/g²

(P12-2b)  A'x = -

mqv —— 4p

1 –————————————– Ö( y' ² + z' ²)/g² + (vt' + x' )²

= -

mqv —— 4p

1  –—————————– Öx²/go² + ( y² + z²)/g²

(P12-2c)  A'y = A'z = 0

　ゆえに、荷電粒子に固定された座標におけるポテンシャル j , A は、第34節 (34-44) により

(P12-3a)  j = go (j' + vA'x) =

goq(1 - emv²) —————–  4pe

1  –—————————– Öx²/go² + ( y² + z²)/g²

=

q ——– 4pea

1  –——————– Öa²x² + y² + z²

( a = g/go )

(P12-3b)  Ax = go

æ è

A'x +

j' v —— c²

ö ø

= go

æ è

- m +

1 —– c²e

ö ø

qv —– 4p

1  –—————————– Öx²/go² + ( y² + z²)/g²

= - gog

æ è

1 -

c' ² —– c²

ö ø

mqv —— 4p

1  –——————– Öa²x² + y² + z²

(P12-3c)  Ay = A'y = 0

(P12-3d)  Az = A'z = 0

となります。

　また、v > c' のときは、g' = 1 / Ö———— 
emv² - 1 と置けば、第７節 (7-31) を用いることにより、領域 Ö————–
 y' ² + z' ² / g' < vt' + x' すなわち Ö————
 y ² + z ² / g' < x / g_o において

(P12-4a)  j' =

q —— 2pe

1 –————————————— Ö(vt' + x' )² - ( y' ² + z' ²)/g' ²

=

q —— 2pe

1  –—————————— Öx²/go² - ( y² + z²)/g' ²

(P12-4b)  A'x = -

mqv —— 2p

1 –————————————— Ö(vt' + x' )² - ( y' ² + z' ²)/g' ²

= -

mqv —— 2p

1  –—————————— Öx²/go² - ( y² + z²)/g' ²

(P12-4c)  A'y = A'z = 0

となるので、

(P12-5a)  j = go (j' + vA'x) =

goq(1 - emv²) —————–  2pe

1  –—————————— Öx²/go² - ( y² + z²)/g' ²

= -

q ——–  2pea'

1  –——————— Öa' ²x² - y² - z²

( a' = g'/go )

(P12-5b)  Ax = go

æ è

A'x +

j' v —— c²

ö ø

= go

æ è

- m +

1 —– c²e

ö ø

qv —– 2p

1  –—————————— Öx²/go² - ( y² + z²)/g' ²

= - gog'

æ è

1 -

c' ² —– c²

ö ø

mqv —— 2p

1  –——————— Öa' ²x² - y² - z²

(P12-5c)  Ay = A'y = 0

(P12-5d)  Az = A'z = 0

となります。

( 2 )　媒体に固定された座標 (t, x, y, z) で見たCoulombゲージのベクトルポテンシャルを A º a e^{ik·s - iwt} （ a は定ベクトル）とするとき、

(P12-6)  0 = div A = i k · a eik·s - iwt

すなわち k · a = 0 が成り立ち、この座標系で見た電磁界 E , D , H , B は、

(P12-7a)  E =

D —– e

= -

¶A —–  ¶t

= iw a eik·s - iwt

(P12-7b)  B = moH = rot A = i k ´ a eik·s - iwt

となりますが、J = 0 と置いたMaxwell方程式 (M1) と k · a = 0 により、

(P12-8)  0 = rot H -

¶D —–  ¶t

=

ì í î

-

1  —–  mo

k ´ ( k ´ a ) - ew²a

ü ý þ

eik·s - iwt =

k² - emow² ————–  mo

a eik·s - iwt

ですから、k , e , w の間には

(P12-9)  k² = emow²

の関係があることがわかります。第34節 (34-31) によれば、誘電体が速度 v で動いて見える座標系におけるベクトルの成分は、誘電体に固定された座標における成分にLorentz変換：

(P12-10)  Λv º	æ è	g	c- 2gv†	ö ø	= Λ-v-1         (  g-2 º 1 - v²/c²  )
		gv	Γv

を施せば得られるので、誘電体が速度 v で動いて見える座標系における量の成分を ' を付けて表わせば、

(P12-11)  k†· s - wt = (- w, k†)

æ è

t

ö ø

= (- w, k†) Λv-1

æ è

t'

ö ø

= (- w, k†)

æ è

g

-c- 2gv†

ö ø

æ è

t'

ö ø

º (- w', k' †)

æ è

t'

ö ø

= k' †· s' - w't'

s

s'

-gv

Γv

s'

s'

　ゆえに

(P12-12a)  w' = g(w + v · k)

(P12-12b)  k' =

gwv —— c²

+ Γv k

となります。まず (P12-12a) から、変換前後の角振動数の比として

(P12-13)

w' —– w

= g(1 + v · κ) = g(1 + n² v · vp /c²)

が得られます。ただし k = wκ と置き、屈折率 n = cκ を導入し、v · κ = κ² v · v_p = n²v · v_p /c² を使いました。
　また k' = w'κ' と置き、(P12-12b) の両辺を w' で割れば、

(P12-14)  κ' =

w —–  w'

æ è

gv —– c²

+ Γv κ

ö ø

=

v/c² + g-1Γvκ —————– 1 + v · κ

　さらに両辺に c² を乗じ、n' = cκ' と置き、c²κ' = c²κ' ²v'_p = n' ²v'_p 及び c²κ = n²v_p に注意して (P12-13) を用いれば、

(P12-15)  n' ²v'p =

v + g-1n²Γvvp —————— 1 + n² v · vp /c²

が得られ、これは、位相速度そのものではなく、それに屈折率の２乗を乗じたものが、相対論的な速度の合成則（「相対性理論」第１節 (1-38) 参照）に従うことを意味しています。

　さて、位相速度そのものの変換則を知るには n' を求めなければなりません。ところで (P12-11) によれば、(- w, k^†) は共変ベクトル、すなわち Λ_v の転置行列による変換を受けますが、第34節 (34-5) により G = Λ_-v^†GΛ_-v であり、両辺の逆行列をとると、同 (33-36) により G ^-1 = Λ_vG ^-1Λ_v^† ですから、これの左から (- w', k' ^†) を、右からその転置ベクトルを掛ければ

(P12-16)  c²k' ² - w' ² = c²k² - w²

が得られます。したがって、両辺を w' ² で除して、c²k²/w² = c²κ² = n² 及び c²k' ²/w' ² = n' ² に注意して (P12-13) を用いれば、

(P12-17)  n' ² - 1 =

æ è

w —–  w'

ö ø

2

(n² - 1) =

n² - 1 ———————– g²(1 + n² v · vp /c²)²

=

(1- b²)(n² - 1) ——————— (1 + n² v · vp /c²)²

　ただし b = v/c と置きました。ゆえに両辺に 1 を加えれば n' ² が求まるので、それを (P12-15) に代入すれば、位相速度の変換則として

(P12-18)  v'p =

(1 + n² v · vp /c²)(v + g-1n²Γvvp) —————————————— (1 + n² v · vp /c²)² + (1- b²)(n² - 1)

が得られます。

　次に群速度の変換則を求めるため、(P12-12) を逆に解きます。これは、(P12-12) で座標を入れ替え、v を - v に置き換えればよいので、

(P12-19a)  w = g(w' - v · k')

(P12-19b)  k = -

gw'v —— c²

+ Γv k' = -

gw'v —— c²

+ k' +

g - 1 ——– v²

(v · k')v

となります。ここで (P12-12a) を k'_i で微分すれば、

(P12-20)  v'gi = g

¶kj —–  ¶k'i

(vgj + v j)

　また、(P12-19b) の第 j 成分を k'_i で微分すれば、

(P12-21)

¶kj —–  ¶k'i

= -

gv'giv j ——–  c²

+ dij +

g - 1 ——– v²

viv j

　これを (P12-20) に代入すれば、

(P12-22)  v'g = -

g²v · (vg + v) —————  c²

v'g + g(vg + v) + g

g - 1 ——– v²

{v · (vg + v)}v

　右辺第一項を移項して両辺に g^-2 = 1 - v²/c² を乗じれば、

(P12-23)

æ è

1 +

v · vg ——  c²

ö ø

v'g = g-1Γv(vg + v) = v + g-1Γvvg

　すなわち

(P12-24)  v'g =

v + g-1Γvvg ————— 1 + v · vg /c²

が得られ、位相速度の場合と異なり、群速度は相対論的な速度の合成則に従います。

　次に座標変換後の電磁界を求めます。

　まず電場は、第34節 (34-53) で v を - v に置き換えたものにより

(P12-25a)  E'	= g(E - v ´ B) + 1 - g ——– v² (v · E)v
	= i ì í î g{w a - v ´ (k ´ a)} + 1 - g ——– v² w(v · a)v ü ý þ eik·s - iwt
	= i ì í î g(w + v · k) a + (v · a) æ è 1 - g ——– v² wv - gk ö ø ü ý þ eik'·s' - iw' t'

　また、変換後の電束密度は、第34節 (34-57) で v を - v に置き換えたものにより

(P12-25b)  D'	= g æ è D - v — c² ´ H ö ø + 1 - g ——– v² (v · D)v
	= eg(E - v ´ B) + e 1 - g ——– v² (v · E)v + g æ è e -  1  ——  c²mo ö ø v ´ B
	= eE' + i g(e - eo) v ´ (k ´ a) eik'·s' - iw' t'

となります。更に b º (k ´ a)/(wm_o) と置くと、明らかに k · b = 0 が成り立ち、(P12-9) と k · a = 0 により、

(P12-26)  k ´ b =

k ´ (k ´ a) ————– wmo

= -

k²a ——  wmo

= - ewa

ですから、これと (P12-7) により

(P12-27a)  H =

B —–  mo

= iw b eik·s - iwt

(P12-27b)  D = eE = - i k ´ b eik·s - iwt

となりますから、変換後の磁場は、第34節 (34-55) で v を - v に置き換えたものにより

(P12-28a)  H'	= g(H + v ´ D) + 1 - g ——– v² (v · H)v
	= i ì í î g{w b - v ´ (k ´ b)} + 1 - g ——– v² w(v · b)v ü ý þ eik·s - iwt
	= i ì í î g(w + v · k) b + (v · b) æ è 1 - g ——– v² wv - gk ö ø ü ý þ eik'·s' - iw' t'

　また、変換後の磁束密度は、第34節 (34-56) で v を - v に置き換えたものにより

(P12-28b)  B'	= g æ è B + v — c² ´ E ö ø + 1 - g ——– v² (v · B)v
	= mog(H + v ´ D) + mo 1 - g ——– v² (v · H)v - g æ è mo  - 1 —– c²e ö ø v ´ D
	= moH' + ig  mo —–  e  (e - eo) v ´ (k ´ b) eik'·s' - iw' t'

となります。

　さて、誘電体に固定した座標では、誘電率がスカラーですから、第31節 (31-41) 直後の注意により、光線速度と位相速度は一致します。
　また、誘電体の誘電率 e は一般に w の関数ですが、これを、考えている特定の w における e の値に固定して定数とみなしたときの群速度を w と置くと、第31節 (31-36) 直後の注意により、光線速度と w は一致します。すなわち

(P12-29)  vr = w = vp =

κ —– κ²

=

wk —– k²

　ゆえに、このようにして誘電率を固定した場合の、誘電体が運動して見える座標系における群速度を w' と書くと、(P12-24) により

(P12-30)  h w' = v + g-1Γvw = v +

w — g

+

g - 1 ——– gv²

(v · w)v =

æ è

1 +

w(g - 1) ———– k²gv²

v · k

ö ø

v +

wk —– gk²

　ただし

(P12-31)  h º 1 +

v · w —— c²

= 1 +

v · vr ——  c²

= 1 +

w —— c²k²

v · k

です。一方、(P12-25a) と k · a = 0 により、

(P12-32a)  v · E' = i {gw(v · a) + (1 - g)w(v · a)}eik'·s' - iw' t'  = i w(v · a) eik'·s' - iw' t'

(P12-32b)  k · E' = i (v · a)

æ è

1 - g ——– v²

wv · k - gk²

ö ø

eik'·s' - iw' t'

　ゆえに、(P12-30) と (P12-32) により

(P12-33a)  w' · E' = 0

がわかります。同様にして

(P12-33b)  w' · H' = 0

もわかるので、w' は誘電体が運動して見える座標系における電界にも磁界にも垂直なので、Poynting vector に平行、すなわち光線速度 v'_r と平行であることがわかります（この結論は、第31節の結果から直ちに自明とすることはできません。なぜならこの誘電体が運動して見える座標系では透磁率が同節で前提としていたようなスカラーではなく、また誘電率・透磁率テンソルの対称性も証明していないからです）。
　ここでさらに

(P12-34)  v'r = w'

が成り立つことを証明しましょう。両者は平行なので、第31節 (31-5) により

(P12-35)  κ' · w' = 1

を証明すれば十分です。(P12-12a) と (P12-19a) により

(P12-36)  v · k + v · k' =

w' — g

- w + w' -

w — g

=

g + 1 —— g

(w' - w)

ですから、これと (P12-30),(P12-19b) により、

(P12-37)  h w'	= æ è 1 + w(g - 1) ———– k²gv² v · k ö ø v + w —– gk² æ è - gw'v —— c² + k' + g - 1 ——– v² (v · k')v ö ø
	= ì í î 1 + w —— k²gv² æ è (g - 1)(v · k + v · k') - gw'v² —— c² ö ø ü ý þ v + wk' —– gk²
	= ì í î 1 + w —– k²v² æ è (1 - g-2)(w' - w) - w'v² —— c² ö ø ü ý þ v + wk' —– gk²
	= æ è 1 - w² —— k²c² ö ø v + wk' —– gk²         æ è ∵ 1 - g-2 = v² —– c² ö ø
	= æ è 1 - 1 — n² ö ø v + wk' —– gk²

　ゆえに、これと k' の内積を取って、(P12-30),(P12-19b),(P12-16),(P12-31) を用いれば、

(P12-38)  hk' · w'	= æ è 1 - w² —— k²c² ö ø v · k' + wk' ² —— gk²
	= æ è 1 - w² —— k²c² ö ø æ è w' - w — g ö ø + wk' ² —— gk²
	= æ è 1 - w² —— k²c² ö ø w' - (k²c² - w²)w ————— k²c²g + wk' ² —— gk²
	= æ è 1 - w² —— k²c² ö ø w' - (k' ²c² - w' ²)w —————— k²c²g + wk' ² —— gk²
	= ì í î 1 + w —— k²c² æ è  w' — g - w ö ø ü ý þ w'
	= ì í î 1 + w —— k²c² v · k ü ý þ w'
	= hw'

　となって、(P12-35) は証明されました。よって、(P12-34),(P12-30),(P12-29),(P12-31) により

(P12-39)  v'r = w' = h-1(v + g-1Γvw) =

v + g-1Γvvr ————— 1 + v · vr /c²

となって、光線速度についても相対論的な速度の合成則に従うことがわかりました。

　ここで (P12-37) を解釈すると、w' は光線速度と同じ方向を向き、k' は位相速度と同じ方向を向いており、屈折率 n が 1 より大きければ 1 - 1/n² > 0 ですから、光線速度は、位相速度の方向に比べて v の方向に流された向きを持つということがわかります。

　最後に、誘電体に固定した座標におけるこれらの速度が - v に等しい場合を考えてみましょう。
　一般に v + g^-1Γ_v(- v) = 0 が成り立ちますから、群速度が v_g = - v となれば、(P12-24) により v'_g = 0 となります。
　また、v · κ = - 1 ならば w + v · k = w(1 + v · κ) = 0 なので (P12-12a) により w' = 0 となりますが、これは誘電体が運動して見える座標では、電磁場は変動部分が時間を含まない“止まった波”として観測されることを意味します。しかも v'_p = 1/κ' = w'/k' = 0 となり、(P12-25a),(P12-28a) の中括弧の中の第１項は共に消えるので、E' と H' は平行になり、これらの外積であるPoynting vectorは消え、従って v'_r = 0 となります。
　ところで誘電体に固定された座標における位相速度と光線速度は (P12-29) により一致しますが、これが - v に等しければ v_p · κ = v_pκ = 1 により上記の条件が成り立つので、誘電体が運動して見える座標では位相速度も光線速度も 0 になり、かつ電磁場は時間的に定常になります。ところがこの場合は更に、v が k と平行であるため v · a = v · b = 0 となるので、(P12-25a) と (P12-28a) により、E' = H' = 0 、すなわち誘電体が運動して見える座標では、電界と磁界は消えることがわかります（ちなみに、(P12-25b),(P12-28b) により、電束密度と磁束密度は消えません）。

( 3 )　静止した誘電体と運動する誘電体の間に、厚さ d の真空の領域があるものとして考え、d ® 0 の極限を取ることにします。

　一般に、電磁波の波面の法線と v を含む面内に含まれる任意のベクトルを、v に平行な成分（v の進行方向を正に取る）と、それに直交する方向（電磁波の進行方向を正に取る）の２つの成分からなる順序対で表わすことにします。
　真空中を進む電磁波の κ = (x, h) に、これが静止した屈折率 n の誘電体に進入してできる電磁波の κ' = (x', h') を対応させる変換を R_n と書くと、n²κ² = κ' ² が成り立ち、Snellの法則（第32節 (32-23) 参照）により x' = x ですから、

(P12-40)  Rn(x, h) = (x, Ö_______________  (n² - 1)x² + n²h² )

　また、ある座標で見た電磁波の κ = (x, h) に、この座標が速度 v で動いて見える座標における κ' = (x', h') を対応させる変換を V_v と書くと、(P12-14) により

(P12-41)  Vv(x, h) =

1 ——— 1 + vx

(v/c² + x , g-1h)

　ゆえに、屈折率 n の静止した誘電体を進む電磁波の κ = (x, h) に、屈折率 n' の速度 v で運動する誘電体を進む電磁波の κ' = (x', h') を対応させる変換は、間に真空の層を考えることにより、V_v R_n' V_-v R_n^-1 で与えられます。

(P12-42)  Rn' V-v(x, h) =

1 ——— 1 - vx

(- v/c² + x , Ö_____________________________  (n' ² - 1)(- v/c² + x)² + n' ²h²/g² )

で、

(P12-43)

1 ——————————– 1 + v(- v/c² + x)/(1 - vx)

=

1 - vx ————————— 1 - vx + v(- v/c² + x)

= g²(1 - vx)

ですから

(P12-44)  Vv Rn' V-v(x, h)	= g²(1 - vx)(v/c² + (- v/c² + x)/(1 - vx) , g-1Ö_____________________________  (n' ² - 1)(- v/c² + x)² + n' ²h²/g² /(1 - vx) )
	= g²( (1 - vx)v/c² - v/c² + x , g-1Ö_____________________________  (n' ² - 1)(- v/c² + x)² + n' ²h²/g² )
	= ( x , gÖ____________________________________  (n' ² - 1)(- v/c² + x)² + n' ²(1 - v²/c²)h² )

　また

(P12-45)  Rn-1(x, h) = (x, Ö_____________  (1 - n²)x² + h²/n)

　ゆえに

(P12-46)  Vv Rn' V-v Rn-1(x, h) = ( x , gÖ____________________________________________________  (n' ² - 1)(- v/c² + x)² + (n'/n)²(1 - v²/c²){(1 - n²)x² + h²} )

となって、v に平行な成分は変化しません。ゆえにこのような運動する誘電体の場合もSnellの法則が成り立つことがわかります。
　ここで両誘電体が同一物質、すなわち n' = n の場合を考え、(P12-46) の右辺を κ' º (x', h') とするとき、入射波の κ º (x, h) と屈折波の κ' の大きさを比較してみましょう。

(P12-47)  κ' ² - κ²	= x² + g²(n² - 1)(- v/c² + x)² + (1 - n²)x² + h² - x² - h²
	= g²(n² - 1){(- v/c² + x)² - (1 - v²/c²)x²}
	= g²(n² - 1){v²/c4 - 2vx/c² + v²x²/c²}
	= (g²/c²)(n² - 1){v²x² - 2vx + v²/c²}
	= (g²/c²)(n² - 1){(1 - vx)² - (1 - v²/c²)}
	= (g²/c²)(n² - 1){(1 - v sin q /c' )² - (1 - v²/c²)}

　ただし q は入射角、c' は入射波の位相速度（＝光線速度）です。よって q ¹ 0 かつ v が c に比べて十分小さいときは、屈折角を q' として

(P12-48)  q' < q  Û  κ' > κ  Û  1 - v sin q /c' > Ö________ 1 - v²/c² » 1 - v²/(2c²)  Û  q » sin q < vc'/(2c²)

　すなわち同じ誘電体間でも、一方が運動していれば、q = 0 又は q » vc'/(2c²) でない限り、位相速度の方向について屈折が生じることがわかります。

　また光線速度については、運動する誘電体中の位相速度が境界面に垂直であると仮定すると、入射波が境界面に垂直なとき、Snellの法則により屈折波の位相速度も境界面に垂直ですが、(P12-39) のあとの注意により、光線速度 w' は境界面に垂直でなく、v の方向に押し流される形で屈折することがわかります。