偏微分方程式

　本節では、放物型偏微分方程式として、次の初期値問題：

(2-1)

¶u —–  ¶t

- D u = f      ( t > 0 )

(2-2)  u(0, x) = j(x)

を考えます。ただし、D は n 次元のLaplacian：

(2-3)  D =

n å i=1

¶²  —–  ¶xi²

で、x = (x₁ , ¼ , x_n ) は n 次元空間の点です。方程式 (2-1) は拡散方程式と呼ぶこともあります。さて、各関数を空間変数に対してFourier変換して

(2-4)

Ù u(t ,k) =

ò

Rn

e-ik·x u(t, x) dx1¼dxn

(2-5)

Ù  f(t ,k) =

ò

Rn

e-ik·x f(t, x) dx1¼dxn

(2-6)

Ù j(k) =

ò

Rn

e-ik·x j(x) dx1¼dxn

と置けば、(2-1)〜(2-2) は次のような常微分方程式の初期値問題になります：

(2-7)

Ù ¶u —– ¶t

+ k²

Ù u =

Ù  f(t, k)

(2-8)

Ù u(0, k) =

Ù j(k)

　これは１階常微分方程式の初期値問題ですから、唯一つの解を持ちます。具体的には、

(2-9)

Ù u(t, k) =

ò

t 0

e-k²(t-t)

Ù  f(t, k) dt + e-k²t

Ù j(k)

と置くと、「数学の基礎」第43節 (43-62) により

(2-10)

Ù ¶u —– ¶t

(t, k) =

Ù  f(t, k) - k²

ò

t 0

e-k²(t-t)

Ù  f(t, k) dt - k²e-k²t

Ù j(k)

となるので、(2-9) は (2-7)〜(2-8) の(唯一の)解になっていることがわかります。そこで、

(2-11)  U(t, x) =

1  ——–  (2p)n

ò

Rn

eik·xe-k²t dk1¼dkn

と置くと、

(2-12)

Ù U(t, k) =

ò

Rn

e-ik·x U(t, x) dx1¼dxn = e-k²t

ですから、(2-9) は

(2-13)

Ù u(t, k) =

ò

t 0

Ù U(t-t, k)

Ù  f(t, k) dt +

Ù U(t, k)

Ù j(k)

と書けます。(2-12) は k に関する急減少関数ですから、U は x に関する急減少関数です。よって、(2-13) のFourier逆変換をとることにより、u は空間変数に対する畳み込みによって

(2-14)  u(t, x) =

ò

t    dt 0

ò

Rn

U(t-t, r) f(t, ξ)dV +

ò

Rn

U(t, r)j(ξ)dV

と表わすことができます。ただし r = x - ξ で、dV は ξ を変数とするn次元ユークリッド空間の体積要素です。

　次に (2-11) の U(t, x) を実際に計算すると、(1-15) により、

(2-15)  U(t, x) =£-1gt, 0, 0(x) =

£gt, 0, 0(-x) —————  (2p)n

=

æ è

p —–  t

ö ø

n — 2

g1/(4t), 0, 0(-x) ——————  (2p)n

=

e-x²/(4t)  —–——––  Ö(4pt)n

　正定数 k に対して t を kt に、f を f/k に置き換えて (2-1),(2-2),(2-14) を書き換えると、次のようにまとめられます。

　本節の最後に放物型方程式の基本解について考察します。(2-11),(2-12) において、t < 0 について U = 0 と置いて U の定義域を拡張すれば、

(2-19)

Ù U(t, k) = H(t)e-k²t

(2-20)

Ù ¶U —– ¶t

(t, k) = - k² H(t)e-k²t + d(t)e-k²t = - k²

Ù U(t, k) + d(t)

　よって、空間変数についてFourier逆変換を行えば、

(2-21)

æ è

¶ —–  ¶t

- D

ö ø

U = d      ( d º d(t)d(x) )

が得られ、U は放物型方程式 (2-1) の基本解になっていることがわかります。
　t を kt に置き換えた場合は、d(kt) = d(t)/k に注意すると、方程式 (2-16) の基本解 U_k は

(2-22)  Uk(t, x) = U(k t, x)

で与えられることがわかります。

　この基本解を用いて、方程式 (2-16) の特殊解を求めると、

　また、この基本解は

(2-24)

Ù Uk(s, k)

Ù Uk(t, k) =

e-k²k s e-k²k t = e-k²k (s+t) =

Ù Uk(s+t, k)

を満たすので、これの空間部分に対するFourier逆変換をとることにより、

(2-25)  Uk(s+t, x) =

ò

Rn

Uk(s, x-ξ)Uk(t, ξ) dV

が成り立つことがわかります。