偏微分方程式

　本節では、双曲型偏微分方程式として、次の初期値問題：

(3-1)

¶²u —–  ¶t²

- D u = f      ( t > 0 )

(3-2)  u(0, x) = j(x)

(3-3)

¶u —–  ¶t

(0, x) = y(x)

を考えます。ただし、D は n 次元のLaplacian 、x = (x₁ , ¼ , x_n ) は n 次元空間の点で、方程式 (3-1) をD'Alembert方程式と呼ぶことがあります。さて、各関数を空間変数に対してFourier変換して

(3-4)

Ù u(t ,k) =

ò

Rn

e-ik·x u(t, x) dx1¼dxn

(3-5)

Ù  f(t ,k) =

ò

Rn

e-ik·x f(t, x) dx1¼dxn

(3-6)

Ù j(k) =

ò

Rn

e-ik·x j(x) dx1¼dxn

(3-7)

Ù y(k) =

ò

Rn

e-ik·x y(x) dx1¼dxn

と置けば、(3-1)〜(3-3) は次のような常微分方程式の初期値問題になります：

(3-8)

Ù ¶²u —– ¶t²

+ k²

Ù u =

Ù  f(t, k)

(3-9)

Ù u(0, k) =

Ù j(k)

(3-10)

Ù ¶u —– ¶t

(0, k) =

Ù y(k)

　これは２階常微分方程式の初期値問題ですから、唯一つの解を持ちます。具体的には、

(3-11)

Ù u(t, k) =

ò

t 0

sin{k(t-t)} ————– k

Ù  f(t, k) dt + cos(kt)

Ù j(k) +

sin(kt) ——– k

Ù y(k)

と置くと、「数学の基礎」第43節 (43-62) により

(3-12)

Ù ¶u —– ¶t

(t, k) =

ò

t 0

cos{k(t-t)}

Ù  f(t, k) dt - k sin(kt)

Ù j(k) + cos(kt)

Ù y(k)

(3-13)

Ù ¶²u —– ¶t²

(t, k) =

Ù  f(t, k) - k

ò

t 0

sin{k(t-t)}

Ù  f(t, k) dt - k² cos(kt)

Ù j(k) - k sin(kt)

Ù y(k)

となるので、(3-11) は (3-8)〜(3-10) の(唯一の)解になっていることがわかります。そこで、

(3-14)  G(t, x) º

1  ——–  (2p)n

ò

Rn

eik·x

sin(kt) ——– k

dk1¼dkn  º

lim e ¯ 0

1  ——–  (2p)n

ò

Rn

e-ek²+ik·x

sin(kt) ——– k

dk1¼dkn

と置くと、

(3-15)

Ù G(t, k) =

ò

Rn

e-ik·x G(t, x) dx1¼dxn =

sin(kt) ——– k

ですから、(3-11) は

(3-16)

Ù u(t, k) =

ò

t 0

Ù G(t-t, k)

Ù  f(t, k) dt +

Ù ¶G —– ¶t

(t, k)

Ù j(k) +

Ù G(t, k)

Ù y(k)

と書けます。(3-15) は k に関する緩増加関数ですから、G は x に関する急減少超関数です。よって、(3-16) のFourier逆変換をとることにより、u は空間変数に対する畳み込みによって

(3-17)  u(t, x) =

ò

t    dt 0

ò

Rn

G(t-t, r) f(t, ξ)dV +

¶ —–  ¶t

ò

Rn

G(t, r) j(ξ) dV +

ò

Rn

G(t, r) y(ξ) dV

と表わすことができます。ただし r = x - ξ で、dV は ξ を変数とするn次元ユークリッド空間の体積要素です。

　次に (3-14) の G(t, x) を実際に計算してみましょう。(3-14) の積分を極座標で表わして r = | x| と書き、x と k のなす角を q と書くと、

(3-18)  G(t, x) = gn(t, r)

と書かれます。ただし

(3-19)  g1(t, r)	= 1 —– 2p ò  ¥ -¥ eikx  sin(kt) ——– k dk
	= 1 —– 2p ò  ¥ -¥ eikx  eikt - e-ikt ————– 2ik dk
	= 1 —– 2p ò  ¥ -¥ eikx dk ò  t -t 1 —– 2 e-iky dy
	= 1 —– 2p ò  ¥ -¥ eikx dk ò  ¥ -¥ e-iky  1 —– 2 H(t-| y|) dy
	= £ -1£ [ 1 —– 2 H(t-| · |)](x)
	= H(t-|x|) ———– 2
	= H(t-r) ——— 2

(3-20)  g2(t, r)	=   lim e ¯ 0 1 ——– (2p)² ò ¥ 0 e-ek²  sin(kt) ——– k k dk ò  p -p eikr cos q dq
	=   lim e ¯ 0 1 —— 2p² ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) dk ò p 0 eikr cos q dq

(3-21)  gn(t, r)	=   lim e ¯ 0 1  ——–  (2p)n ò ¥ 0 e-ek²  sin(kt) ——– k kn-1 dk ò p 0 eikr cos q sinn-2 q dq ò p 0 sinn-3 q' dq' ¼ ò p 0 sin q" dq" ò  p -p dq'''
	=   lim e ¯ 0 2  ——–  (2p)n In-3 ¼ I1I0 ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) kn-2 dk ò p 0 eikr cos q sinn-2 q dq      ( n ³ 3 )

　ただし

(3-22)  In =

ò

p 0

sinn q dq

と置きました。まず明らかに

(3-23)  I0 = p

(3-24)  I1 = 2

で、n ³ 2 なら、部分積分により、

(3-25)  In = -

ò

p 0

sinn-1 q

d cos q ——— dq

dq =

ò

p 0

d sinn-1 q ————  dq

cos q dq = (n-1)

ò

p 0

sinn-2q cos²q dq = (n-1)

ò

p 0

sinn-2q (1 - sin²q) dq = (n-1)(In-2 - In )

　ゆえに

(3-26)  In =

n-1 —— n

In-2

　したがって、

(3-27)  In =	ì ï ï í ï ï î	(n-1)·(n-3)·¼·2 ——————— n·(n-2)·¼·3	´ 2     ( n は奇数 )
		(n-1)·(n-3)·¼·1 ——————— n·(n-2)·¼·2	´ p     ( n は偶数 )

となりますから、

(3-28)

InIn-1 =

2p —–  n

が得られます。
　さて、(3-21) で形式的に n = 2 と置くと (3-20) が得られることに注意して、n ³ 2 のとき、(3-21) を r で微分すると、

(3-29)	¶gn(t, r) ———–  ¶r	=   lim e ¯ 0 2i  ——–  (2p)n In-3 ¼ I1I0 ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) kn-1 dk ò p 0 eikr cos q sinn-2 q cos q dq
		=   lim e ¯ 0 2i  ————– (2p)n(n-1) In-3 ¼ I1I0 ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) kn-1 dk ò p 0  eikr cos q d sinn-1 q ————  dq  dq
		=   lim e ¯ 0 -2i  ————– (2p)n(n-1) In-3 ¼ I1I0 ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) kn-1 dk ò p 0 d eikr cos q ————–  dq  sinn-1q dq
		=   lim e ¯ 0 -2r  ————– (2p)n(n-1) In-3 ¼ I1I0 ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) kn dk ò p 0 eikr cos q sinnq dq
		=   lim e ¯ 0 -2r  ——— (2p)n+1 In-1In-2In-3 ¼ I1I0 ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) kn dk ò p 0 eikr cos q sinnq dq
		= - 2pr gn+2(t, r)

　ただし、最後から２番目の等号で、(3-28) の n に n-1 を代入した式を用いました。また、(3-21) で n = 3 と置くと、

(3-30)  g3(t, r)	=   lim e ¯ 0 2I0 ——–  (2p)³ ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) k dk ò p 0 eikr cos q sin q dq
	=   lim e ¯ 0 i ——— (2p)²r ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) dk ò p 0 d —– dq eikr cos q dq
	=   lim e ¯ 0 i ——— (2p)²r ò ¥ 0 e-ek² sin(kt) ( e-ikr - eikr ) dk
	=   lim e ¯ 0 1 ———– (2p)²2r ò ¥ 0 e-ek² ( eikt - e-ikt ) ( e-ikr - eikr ) dk
	=   lim e ¯ 0 1 ———– (2p)²2r ò  ¥ -¥ { e-ek²+ik(t-r) - e-ek²+ik(t+r) } dk
	= 1 —— 4pr {£ -1[1](t-r) - £ -1[1](t+r) }
	= 1 —— 4pr {d(t-r) - d(t+r)}
	= d(t-r) ——– 4pr
	= - 1 ——  2pr ¶g1(t, r) ———–  ¶r

　ゆえに (3-29),(3-30) により、n ³ 1 に対して

(3-31)  gn+2(t, r) = -

1 ——  2pr

¶gn(t, r) ———–  ¶r

が成り立つことがわかりました。ゆえに、H(t-r) = H(t² - r²) に注意すれば、(3-19) と (3-31) により、n が奇数の場合、

(3-32)  G(t, x) =

æ è

-1 —— 2pr

¶ —–  ¶r

ö ø

n-1 —— 2

H(t-r) ——— 2

=

æ è

-1 —– p

¶ ——  ¶(r²)

ö ø

n-1 —— 2

H(t² - r²) ———— 2

=

æ è

1 —– p

¶ ——  ¶(t²)

ö ø

n-1 —— 2

H(t² - r²) ———— 2

=

æ è

1 —— 2pt

¶ —–  ¶t

ö ø

n-1 —— 2

H(t-r) ——— 2

という結果が得られます。

　次に n が偶数の場合を考えるため、n+1次元の空間変数を x' = (x, x_n+1) と書き、n+1次元の G を G'(t, x') と書いて、求めるべき n次元の G を G' から構成する方法を考えます。

　k を n次元の x に共役な変数とするとき、x' に共役な n+1次元の変数を k' = (k, k_n+1) と書けば、(3-15) に対応して

(3-33)

Ù G'(t, k') =

ò

Rn

e-ik'·x' G'(t, x') dx1¼dxndxn+1 =

sin(k't) ——— k'

　この式で k_n+1 = 0 と置くと、k' = k となるので、(3-33) の右辺は (3-15) の右辺に一致します。また、このとき k' · x' = k · x ですから

(3-34)

ò

Rn

e-ik·x G'(t, x') dx1¼dxndxn+1 =

sin(kt) ——– k

=

ò

Rn

e-ik·x G(t, x) dx1¼dxn

　ゆえにこれを k についてFourier逆変換すると、

(3-35)  G(t, x) =

ò

¥ -¥

G'(t, x') dxn+1

　ところで n+1 は奇数なので、G' に対しては (3-32) の結果が使えます。したがって r' º |x'| と書けば、

(3-36)  G(t, x) =

ò

¥ -¥

æ è

1 —— 2pt

¶ —–  ¶t

ö ø

n —– 2

H(t-r') ——— 2

dxn+1 =

æ è

1 —— 2pt

¶ —–  ¶t

ö ø

n —– 2

ò

¥ -¥

H(t-r') ——— 2

dxn+1 =

æ è

1 —— 2pt

¶ —–  ¶t

ö ø

n —– 2

Ö_______ (t² - r²)+

となります。ただし Ö_______
(t² - r²)₊ は r < t のとき Ö______
t² - r² 、そうでないとき 0 を表わします。また、最後の等号は、H(t-r') = 1 Û r² + x_n+1² = r' ² < t² Û - Ö______
t² - r² < x_n+1 < Ö______
t² - r² により明らかです。ゆえに、n が偶数の場合、

(3-37)  G(t, x) =

æ è

1 —— 2pt

¶ —–  ¶t

ö ø

n —– 2

Ö_______ (t² - r²)+

=

æ è

1 —– p

¶ ——  ¶(t²)

ö ø

n —– 2

Ö_______ (t² - r²)+

=

æ è

-1 —– p

¶ ——  ¶(r²)

ö ø

n —– 2

Ö_______ (t² - r²)+

=

æ è

-1 —— 2pr

¶ —–  ¶r

ö ø

n —– 2

Ö_______ (t² - r²)+

が成り立ちます。
　これらの式 (3-32),(3-37) により、G の台は、光錐の内部( r £ t )に含まれ、特に n が 3 以上の奇数のときは、(3-32) により

(3-38)  G(t, x) =

d((n-3) / 2)(t² - r²) —————— 2p(n-1) / 2

ですから、G の台は光錐 r = t 上のみに存在することがわかります。
　この事実と解の表示式 (3-17) により、初期値問題 (3-1)~(3-3) の解 u の時刻 t における値は、観測点 x から距離 t 以内の範囲にある点における初期値 j , y の値と、正の各時刻 t' < t における距離 t - t' 以内の所にある点におけるソース f の値のみで定まる、言い換えると「情報が速度 1 以内で伝わる」ことがわかります。
　更に、次元 n が 3 以上の奇数の場合は、観測点 x から距離が丁度 t にある点における初期値 j , y の値と、正の各時刻 t' < t における距離が丁度 t - t' の所にある点におけるソース f の値のみで定まる、言い換えると「情報が丁度速度 1 で伝わる」ことがわかります。

　さてここで、n = 1, 2, 3 の場合に対し、初期値問題 (3-1)〜(3-3) の解 (3-17) の具体的な表示式を求めておきましょう。

　まず n = 1 の場合ですが、

(3-39)  G(t, x)

=

H(t - r) ———– 2

ですから、(3-17) は、r = |x - x| と置いて、

(3-40)  u(t, x)	= 1 —– 2 ò  t    dt 0  ò  ¥ -¥ H(t-t-r) f(t, x)dx + 1 —– 2 ò  ¥ -¥ d(t-r)j(x)dx + 1 —– 2 ò  ¥ -¥ H(t-r)y(x)dx
	= 1 —– 2 ò  t    dt 0  ò x+t-t x-t+t  f(t, x)dx + j(x-t) + j(x+t) ——————– 2 + 1 —– 2 ò x+t x-t y(x)dx
	= 1 —– 2 ò òD(t, x)  f(t, x)dtdx + j(x-t) + j(x+t) ——————– 2 + 1 —– 2 ò x+t x-t y(x)dx

と書けます。ただし D(t, x) = { (t, x)ÎR² | 0 < t < t , |x-x| < t-t } です。

　次に n = 2 の場合ですが、(3-37) と、(1-63) で a = 1/2 と置いた式により、

(3-41)  G(t, x) =

1 —– p

¶ ——  ¶(t)²

Ö_______ (t² - r²)+

æ è

1 ——–———– 2pÖt² - r²

ö ø

+

ですから、(3-17) は、r = |ξ - x| と置いて、

(3-42)  u(t, x)	= ò  t    dt 0  òr < t f(t-t, ξ) dS ——–———– 2pÖt² - r² + ¶ —–  ¶t òr < t j(ξ) dS ——–———– 2pÖt² - r² + òr < t y(ξ) dS ——–———– 2pÖt² - r²
	= ò òD(t, x) f(t-t, ξ) dtdS ——————— 2pÖt² - r² + ¶ —–  ¶t òr < t j(ξ) dS ——–———– 2pÖt² - r² + òr < t y(ξ) dS ——–———– 2pÖt² - r²

と書けます。ただし D(t, x) = { (t, ξ)ÎR³ | 0 < t < t , |ξ-x| < t } で、dS は ξ を変数とする２次元ユークリッド空間の面積要素です。

　最後に n = 3 の場合ですが、(3-18) と (3-30) により

(3-43)  G(t, x) = g3(t, r) =

d(t-r) ——– 4pr

ですから、(3-17) は、r = |ξ - x| と置いて、

(3-44)  u(t, x)	= ò  t    dt 0  òR³ d(t-t-r) ———– 4pr f(t, ξ)dV + ¶ —–  ¶t òR³ d(t-r) ——– 4pr j(ξ)dV + òR³ d(t-r) ——– 4pr y(ξ)dV
	= òr < t f(t-r, ξ) ———– 4pr dV + ¶ —–  ¶t òr = t j(ξ) —— 4pt dS + òr = t y(ξ) —— 4pt dS

と書けます。ただし dV は ξ を変数とする３次元ユークリッド空間の体積要素、dS は３次元球面の面積要素です。この右辺第１項を遅延ポテンシャルといいます。

　正定数 c に対して t を ct に、y を y/c に置き換えて (3-40),(3-42),(3-44) を書き換えると、次のようにまとめられます。

　なお、時間変数の変換により、（実際これらの解の具体的表示式から明らかなように）情報の伝達速度は、確かに c （ n = 3 の場合）もしくは c 以内（ n = 1, 2 の場合）になっています。

　本節の最後に双曲型方程式の基本解について考察します。(3-14),(3-15) において、t < 0 に対して G = 0 と置いて G の定義域を拡張すれば、

(3-51)

Ù G(t, k) = H(t)

sin(kt) ——– k

(3-52)

Ù ¶G —– ¶t

(t, k) = H(t)cos(kt) + d(t)

sin(kt) ——– k

= H(t)cos(kt)

(3-53)

Ù ¶²G —— ¶t²

(t, k) = - kH(t)sin(kt) + d(t)cos(kt) = - k²

Ù G(t, k) + d(t)

　よって、空間変数についてFourier逆変換を行えば、

(3-54)

æ è

¶² —– ¶t²

- D

ö ø

G = d      ( d = d(t)d(x) )

が得られ、G は双曲型方程式 (3-1) の基本解になっていることがわかります。
　なお、(3-54) の両辺で t を ct に置き換えると、「微分多様体」第13節 (13-38) から得られる d(ct) = d(t)/c により、右辺が 1/c 倍になることに注意すると、方程式 (3-45) の基本解 G_c は

(3-55)  Gc(t, x) = cG(ct, x)

で与えられることがわかります。特に n = 1, 2, 3 に対しては、

(3-56)  Gc(t, x) = cG(ct, x) =

cH(ct - r) ————– 2

=

cH(t - r/c) ————– 2

( n = 1 )

(3-57)  Gc(t, x) = cG(ct, x) =

c —————— 2pÖc²t² - r²

=

1 ——–————–  2pÖt² - r²/c²

( n = 2 )

(3-58)  Gc(t, x) = cG(ct, x) =

cd(ct - r) ———— 4pr

=

d(t - r/c) ———— 4pr

( n = 3 )

となります。ただし (3-57) では r > ct では 0 と置きます。

　これらの基本解を用いて、方程式 (3-45) の特殊解を求めると、

　この (3-62) の右辺も遅延ポテンシャルといいます。
　これらの解は、初期値問題の解 (3-48)~(3-50) で、初期値がすべて 0 であるような初期値問題における、時刻の基準点 t = 0 が“無限の過去”である場合の極限になっています。